2025-2026学年江苏无锡市第三高级中学高二下册期中数学试题 含解析

/数学一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.2.已知函数满足（为的导函数），则（）A. B. C.1 D.3.将4位老师分配到3个学校去任教，共有分配方案（）A.81种 B.12种 C.64种 D.256种4.若函数有两个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.5.从混有5件次品的20件产品中依次抽取2件，在第1次抽到次品的条件下，第2次抽到次品的概率为（）A. B. C. D.6.若是函数的极值点，则的极小值为A. B. C. D.17.的展开式中的系数为（）A. B. C.120 D.2008.定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.对于二项式的展开式，下列结论正确的是（）A.各项系数之和为0 B.二项式系数的最大值为C.不存在常数项 D.x的系数为－2810.某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A、B、C、D四个社区参与志愿活动,以下说法正确的是（）A.5人中选出四个人安排到四个社区,每个社区都有人,则不同方法数为120B.每人都只安排到一个社区,每个社区至少有一人,则不同的方法数为480C.每人都只安排到一个社区,如果D社区不安排,其余三个社区至少安排一人,则这5名老师全部被安排的不同方法数为150D.每人都安排到一个社区,每个社区至少有一人,其中甲、乙不去A社区,其余三位老师四个社区均可安排,则不同安排方案的种数是12611.已知函数,则（）A.当或时,有且仅有一个零点B.当或时,有且仅有一个极值点C.若为单调递减函数,则D.若与x轴相切,则三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若，则的值为________.13.已知，则______．14.已知函数，若恒成立，则的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.某种产品的加工需要经过、、、、共5道工序．（1）如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（2）如果工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（3）如果和工序相邻，和不能相邻，那么有多少种加工顺序？16.已知的展开式中，所有二项式系数的和为256.（1）求n的值，并求展开式中第5项的二项式系数；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中各项系数的最大值（结果用数字表示）.17.有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？18.已知函数（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，单调递增，求a的取值范围；（3）若恒成立，求a的取值范围.19.已知函数，，其中.（1）若，求函数在上的值域；（2）若，恒成立，求实数的取值范围.

数学考试总分：150分一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用组合数性质，即可求出结果．解答过程：由组合数性质，得，．故选：A．2.已知函数满足（为的导函数），则（）A. B. C.1 D.答案：D解析：思路：求导，代入求出，从而得到的解析式，求出答案.解答过程：，当时，，解得，故，所以.故选：D3.将4位老师分配到3个学校去任教，共有分配方案（）A.81种 B.12种 C.64种 D.256种答案：A解析：解答过程：将4位老师分配到3个学校去任教，每位老师都可以去这3个学校中的1个学校，故每位老师都有3种分配方案，则这4位老师分配到3个学校去任教共有分配方案为种，故选择A.4.若函数有两个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题，再画出的图像，根据图像求参数范围即可.解答过程：函数的定义域为，由，得，

设，则，由得，此时函数单调递增，

由得，此时函数单调递减，即当时，函数取得极小值，当时，∴函数有两个零点，即方程有两个不同的根，即函数和有两个不同的交点，则，

故选：C.5.从混有5件次品的20件产品中依次抽取2件，在第1次抽到次品的条件下，第2次抽到次品的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用条件概率的公式求解即可.解答过程：设第1次抽到次品为事件A，则设第2次抽到次品为事件B，则故第1次抽到次品的条件下，第2次抽到次品的概率.故选：D6.若是函数的极值点，则的极小值为A. B. C. D.1答案：A解析：思路：求出函数的导数，是导函数等于零的一个根，这样可以求出的值，进而求出函数的极小值点.解答过程：,是函数的极值点，所以是的根，代入方程中，得，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，因此，是函数的极小值点，，故本题选A.方法提示：本题考查了已知函数极值的情况，求参数，进而再研究函数的极值问题.解决此类问题的关键是正确求出导函数，利用极值的定义进行分析判断.7.的展开式中的系数为（）A. B. C.120 D.200答案：A解析：思路：由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数.解答过程：展开式的通项公式为，当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；据此可得：的系数为.故选：A.方法提示：关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题.8.定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据不等式结构特征构造函数，研究该函数的单调性即可求解.解答过程：令，则，因为，所以，则在上单调递减，所以，即，故，，故选：C.二、多选题：本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.对于二项式的展开式，下列结论正确的是（）A.各项系数之和为0 B.二项式系数的最大值为C.不存在常数项 D.x的系数为－28答案：AC解析：思路：对A，令可得；对B，由可判断；对C，求出通项公式，令的指数为0，求解可判断；对D，令的指数为1可求出.解答过程：对于A，令，则可得各项系数之和为，故A正确；对于B，二项式系数最大的为，故B不正确；对于C，的展开式的通项公式为，令，解得，不是非负整数，故不存在常数项，故C正确；对于D，，令，解得，则的系数为，故D错误.故选：AC.10.某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A、B、C、D四个社区参与志愿活动,以下说法正确的是（）A.5人中选出四个人安排到四个社区,每个社区都有人,则不同方法数为120B.每人都只安排到一个社区,每个社区至少有一人,则不同的方法数为480C.每人都只安排到一个社区,如果D社区不安排,其余三个社区至少安排一人,则这5名老师全部被安排的不同方法数为150D.每人都安排到一个社区,每个社区至少有一人,其中甲、乙不去A社区,其余三位老师四个社区均可安排,则不同安排方案的种数是126答案：ACD解析：思路：利用排列求解选项A,先选出一个社区安排两人，然后再将剩下的社区安排好求解即可求解选项B，选项C分两类一类是3人安排在一个社区，其余两个社区各一人，另一类是两个社区各两人，然后另外一个社区一人利用排列组合求解即可，选项D：分两类：第一类社区安排两人，第二类A社区只安排一人，然后利用排列与组合求解即可.解答过程：5人中选出四个人安排到四个社区,每个社区都有人,则不同方法数为A5先选出2人组成一组然后再选一个社区安排，则有C52⋅则一共有，则选项B错误.选项C：先将5名老师分成3组，人数可为1,1,3或1,2,2，若人数为1,1,3时,则有C5若人数为1，2，2时，则有种不同的安排方法，由分类计数原理得，共有种不同的安排方法，所以C正确；选项D：每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去A社区，若社区安排两人，则有种不同的安排方法；若A社区只安排一人，则有C3由分类计数原理得，共有种不同的安排方法，所以D正确.11.已知函数,则（）A.当或时,有且仅有一个零点B.当或时,有且仅有一个极值点C.若为单调递减函数,则D.若与x轴相切,则答案：ACD解析：思路：零点问题可化为，即研究函数的图像与常数的交点个数，极值点和单调性由导函数决定，与轴相切需要同时满足解答过程：由得选项A，由得因为定义域为，所以只需讨论即设则当时当时当时所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值又所以的大致图像为：因此：当时，由于在上单调递增，且从增大到，故方程只有一个解；当时，方程，只有一个解；当时，方程只有一个解，因此，当或时，有且仅有一个零点，所以A正确.选项B，极值点由的零点及其左右符号决定，当时，此时则在上单调递增，又因为故只有一个解，则有且仅有一个极值点.当时，有此时则在上单调递增，又故方程也有且仅有一个解，因此有且仅有一个极值点.当时，有由不等式知当且仅当时取等号，因此在上单调递减，而处有驻点，但该点两侧导数不变号，因此不是极值点，故当时，没有极值点.综上，选项B错误.选项C，若为单调递减函数，则必须有即移项得设则故在上单调递增，在上单调递减，于是它在处取得最大值因此要使恒成立，必须有即故C正确.选项D，若与轴相切，设切点为，则由得由得两式相减，得代回，得所以进而所以D正确.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若，则的值为________.答案：2或3解析：思路：根据组合数的性质解方程即可求出结果.解答过程：由题意可得或，解得或，故2或3.13.已知，则______．答案：8088解析：思路：先求导数，再利用赋值法进行求解.解答过程：对两边求导，再令=可得，.故808814.已知函数，若恒成立，则的取值范围是______.答案：解析：思路：解法一，利用反函数的性质确定，得到，利用导数求函数的最值解决恒成立问题.解法二，由，可得，则，构造函数，利用函数单调性解题.解答过程：解法一：由题知恒成立，函数与函数互为反函数，由反函数图象的性质，可得恒成立，即，令函数，则，当时，，当时，，所以在单调递增，在上单调递减，，，故的取值范围是.解法二：由，可得，则.令函数，则，因为是增函数，所以，即，令函数，则，当时，，当时，，所以在单调递增，在上单调递减，，，故的取值范围是.故方法提示：结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.四、解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.某种产品的加工需要经过、、、、共5道工序．（1）如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（2）如果工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（3）如果和工序相邻，和不能相邻，那么有多少种加工顺序？答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）特殊元素优先法，先排工序，其余工序全排列；（2）首先排工序和工序，，其余工序全排列；（3）相邻问题用捆绑，不相邻问题用插空法.（1）因为工序不能放在最后，首先排工序，有种排法，其余工序全排列即可，有种排法，按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；（2）因为工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后，首先排工序和工序，有种排法，其余工序全排列即可，有种排法，按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；（3）如果和工序相邻，和不能相邻，把和工序捆绑作为一组，与工序排列，有种排法，再将和插入所形成的个空中的个空，有种排法，按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；16.已知的展开式中，所有二项式系数的和为256.（1）求n的值，并求展开式中第5项的二项式系数；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中各项系数的最大值（结果用数字表示）.答案：（1），展开式中第5项的二项式系数为；（2），，，，；（3）1792.解析：思路：（1）先列方程，求解，再代入展开项第5项的值，求二项式系数；（2）先确定有理项中的范围，再求解有理项；（3）利用系数的单调性，求出系数的最大值即可.（1）二项式系数和为，所以展开式中第5项的二项式系数为（2）当，时，展开项为有理项因为且，所以展开项为有理项时（3）设第项的系数为，则所以当时，，，即；当时，，，即；当时，，，即；综上，当取最大值时，或所以展开式中各项系数的最大值为1792.17.有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？答案：（1）；（2）2.解析：思路：(1)利用全概率公式来求解即可；(2)利用贝叶斯公式来求解即可得到最大概率的判断.（1）利用全概率公式可知，任取一个零件，它是次品的概率为：；（2）利用贝叶斯公式可知，如果取到的零件是次品，该次品来自第1台车床的概率为：如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率为：如果取到的零件是次品，该次品来自第3台车床的概率为：通过比较，如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率最大.18.已知函数（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，单调递增，求a的取值范围；（3）若恒成立，求a的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用导数公式、导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解.（2）在单调递增时，则对恒成立，再利用分离参数法、导数计算求解.（3）构造函数，根据函数单调性得出函数最值，应用隐零点计算求解.（1）当时，由，得，则，又，所以曲线在处的切线方程为,即．（2）因为时，单调递增，所以时，恒成立，即