2025-2026学年江苏无锡市洛社高级中学高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学第I卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求．1.设，则复数的虚部为（）A. B.2 C. D.2.，若，则实数为（）A. B. C. D.3.在中，，则角的大小为（）A. B.或 C. D.或4.下列关于向量，，说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则与夹角为钝角D.5.已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.若斜二测画法的直观图是边长为2的正三角形，则原图形的面积为（）A. B. C. D.7.已知非零向量与满足且，则为（）A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形8.设复数（为虚数单位）.若对任意实数，，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.有下列说法，其中正确的说法为（）A.若，，则B.若，则P是三角形的垂心C.两个非零向量，，若，则与共线且反向D.若，则存在唯一实数使得10.如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中（）A.与异面 B.与相交C. D.11.的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则是等腰三角形C.若，则是锐角三角形D.若，则是等腰直角三角形第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量对应的复数为，将绕点按顺时针方向旋转，得到OZ'→，则向量OZ'→13.若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______．14.某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知复数是关于的方程的一个复数根.（1）求，的值；（2）若为纯虚数，求的值.16.已知，.（1）设向量，的夹角为，求的值；（2）求向量在向量上的投影向量；（3）若和互相垂直，求k的值.17.在中，角的对边分别为，若．（1）求；（2）若为边上一点，满足，且，求的面积最大值．18.如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．19.如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为.（1）求的大小；（2）若外接圆半径为1，求的周长最大值.（3）若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

数学第I卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求．1.设，则复数的虚部为（）A. B.2 C. D.答案：A解析：思路：由复数虚部的定义，可得答案.解答过程：由题意可得复数的虚部为-2.故选：A.2.，若，则实数为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.解答过程：因为，由，可得，解得.故选：B．3.在中，，则角的大小为（）A. B.或 C. D.或答案：B解析：解答过程：由正弦定理可得：，即，由于，故，又，则或.4.下列关于向量，，说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则与夹角为钝角D.答案：D解析：思路：对于A：根据向量的定义判断即可；对于B，当时，不一定等于；对于C，当时，满足；对于D，根据向量的运算性质即可判断.解答过程：对于A：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，只能比较向量的模长，A错误.对于B：当时，，但不一定等于，B错误.对于C：当时，满足，此时与夹角为，不是钝角，C错误.对于D：根据向量的运算性质可知3a5.已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：举反例可说明充分性不成立，利用两平面有公共点，则公共点在两平面的交线上可说明必要性成立.解答过程：如图所示，空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，且三点共线，但直线不共面，所以“三点共线”是“直线共面”的不充分条件；若直线共面，设其为，则均在平面内，也在平面内，则在平面与的交线上，所以三点共线，所以“三点共线”是“直线共面”的必要条件；所以“三点共线”是“直线共面”的必要不充分条件.故选：B.6.若斜二测画法的直观图是边长为2的正三角形，则原图形的面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据斜二测画法求出原三角形的高后可得其面积.解答过程：如图，直观图是边长为的正三角形，则其高，过作轴，交于，则，则在原中，，边上的高为，故的面积为，故选：D.7.已知非零向量与满足且，则为（）A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形答案：D解析：思路：将变形可得，从而可知的角平分线与垂直，故.再结合向量数量积的定义及可得，即可判断的形状.解答过程：∵和分别是与和同向的单位向量，∴表示在的角平分线上的向量.∵，∴，∴的角平分线与垂直，∴.又，∴，∴为等边三角形.故选：D.8.设复数（为虚数单位）.若对任意实数，，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由可知，令，即可求出的范围.解答过程：因为对任意，，则,，，解得.故选：C.方法提示：本题考查向量模的大小关系，以及不等式的恒成立问题，属于中档题.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.有下列说法，其中正确的说法为（）A.若，，则B.若，则P是三角形的垂心C.两个非零向量，，若，则与共线且反向D.若，则存在唯一实数使得答案：BC解析：思路：利用零向量与共线向量的定义可判断ACD，利用向量数量积的运算法则可判断B.解答过程：对于A，当时，与不一定共线，故A错误；对于B，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，故B正确；对于C，由共线向量的性质可知，若，则与共线且反向，故C正确；对于D，当，时，显然有，但此时不存在，故D错误.故选：BC10.如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中（）A.与异面 B.与相交C. D.答案：ABD解析：思路：把展开图还原成正方体，逐项分析即可判断选项是否正确.解答过程：由题意，把展开图还原成正方体，如图所示：从而可得，与异面，与相交.11.的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则是等腰三角形C.若，则是锐角三角形D.若，则是等腰直角三角形答案：AD解析：解答过程：对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确；对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误；对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误；对于D，由正弦定理，结合条件，得，，，，，，又，，所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量对应的复数为，将绕点按顺时针方向旋转，得到OZ'→，则向量OZ'→答案：解析：解答过程：向量对应的复数为，即向量OZ⃗=3向量绕点按顺时针旋转，得到向量OZ'⃗=即向量对应的复数是.13.若一个半径为的球与一个高为1的圆柱表面积相等，则该圆柱的侧面积为______．答案：解析：思路：由球的表面积和圆柱的表面积相等得出圆柱的底面半径，再计算圆柱的侧面积即可.解答过程：设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为.由题，故，即故（负根舍去），所以.14.某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________.答案：60解析：思路：设，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可.解答过程：由题设，设，则，在中，由余弦定理有，故，同理，而，故，所以，故，故.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知复数是关于的方程的一个复数根.（1）求，的值；（2）若为纯虚数，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）将代入方程化简，然后根据复数相等的条件列出方程组，求解即可得出答案；（2）根据复数的除法化简得出.进而根据纯虚数的概念列出方程组，求解即可得出答案.（1）因为，所以有.所以有，解得.（2）由（1）得，则，所以，.因为为纯虚数，所以有，解得．16.已知，.（1）设向量，的夹角为，求的值；（2）求向量在向量上的投影向量；（3）若和互相垂直，求k的值.答案：（1）（2）（3）或解析：思路：（1）根据条件计算，和，利用可得结果.（2）利用投影向量的公式计算可得结果.（3）根据两向量垂直可得，利用数量积的坐标运算可得结果.（1）∵，，∴，，，∴.（2）向量在向量上的投影向量为.（3）由题意得，，，∵和互相垂直，∴，即，解得或.17.在中，角的对边分别为，若．（1）求；（2）若为边上一点，满足，且，求的面积最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理将边化为角，再根据及辅助角公式得到，根据的范围即可求出答案；（2）由题意知，两边同时平方化简，结合基本不等式可得，再利用三角形面积公式即可求解.（1）由正弦定理可将原式化为，又，所以，又，故，所以，即，又，则A−π所以，即.（2）因为为边上一点，且，所以，两边同时平方得AD2又，，所以4=1所以，当且仅当19c2=49所以S△所以的面积最大值为.18.如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由向量的线性运算法则计算；（2）由题意得，由共起点的三向量终点共线的充要条件求出，即可得出答案；（3）由题意，可设，代入中并整理可得，又，根据平面向量基本定理得出方程组，然后结合二次函数的性质可得结论．（1）由向量的线性运算法则，可得，①，②因为M为线段中点，则，联立①②得：，整理得：．（2）由AM与BD交于点N，得，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：．所以，即．（3）由题意，可设，代入中并整理可得．又，故，可得：，．因为，所以，．在单调递增，则当时，，当时，，所以，的取值范围为．19.如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为.（1）求的大小；（2）若外接圆半径为1，求的周长最大值.（3）若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）（2）（3）存在，解析：思路：(1)利用余弦定理即三角形的面积公式，结合已知条件即可求出；(2)利用