圆周运动中的绳杆模型

圆周运动中的绳杆模型第1页，共28页。圆周运动知识是高考中的重要考点之一，历年的压轴题目都涉及圆周运动知识，并且该知识点成为解答高分值题目的关键知识桥接点。圆周运动知识板块中既能考查中学阶段很重要的受力分析能力，又能考查圆周运动的相关知识，更重要的是，能考查学生构建模型、从图象中获取信息进行解题的能力。我们应该熟练掌握圆周运动以在高考中体现出自己的能力，特别是物体在竖直平面内的圆周运动（翻滚过山车、水流星、杂技节目中的飞车走壁等）中通过最高点和最低点的情况，经常出现的临界状态的具体分析。2第2页，共28页。绳球模型杆球模型模型推广及应用教学目标第3页，共28页。向心力公式：向心加速度公式：知识回顾：竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。两类模型——轻绳类和轻杆类。第4页，共28页。一、绳球模型长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动。oALv1Bv2试分析：（1）当小球在最低点A的速度为v1时，绳的拉力与速度的关系如何？（2）当小球在最高点B的速度为v2时，绳的拉力与速度的关系又如何？第5页，共28页。v1omgT1思考：小球过最高点的最小速度是多少?最低点：最高点：v2当v=v0，小球刚好能够通过最高点；当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点；当v>v0，小球能够通过最高点。mgT2第6页，共28页。（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的拉力刚好为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有，式中的（2）质点过最高点的最小向心加速度（3）质点能通过最高点的条件是当质点的速度小于这一值时，质点将运动不到最高点。是质点通过最高点的最小速度，叫临界速度；第7页，共28页。例1、“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为轻绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图所示，已知绳长为L，重力加速度为g，忽略空气阻力，则（）A．当v0＞6B．当v0＜C．小球的速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大 D．小球运动到最低点Q时，处于失重状态时，小球一定能通过最高点P时，轻绳始终处于绷紧状态L第8页，共28页。练1、如图所示，不少同学都看过杂技演员表演的“水流星”，一根细绳系着盛水的杯子，演员抡起绳子，杯子在竖直平面内做圆周运动。杯子可视为质点，杯子与圆心O的距离为1m，重力加速度大小为10m/s2．为使杯子运动到最高点时（已经杯口朝下）水不会从杯里洒出，则杯子通过最高点时的速度大小可能为（）A．2m/s B．3m/s C．4m/s D．5m/s第9页，共28页。例2、如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝0.4m，最低点处有一小球（半径比r小的多），现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应满足（g＝10m/s2）（）①v0≥0②v0≥4m/s③v0≥2m/s④v0≤2m/sA．①④ B．②④ C．③④ D．②③第10页，共28页。【解答】解：对于第（1）种情况，当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg≤m，又根据机械能守恒定律有mv2+2mgr＝，可求得v0≥2对于第（2）种情况，当v0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处，速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr≥可知v0≤2故选：C。m/s；m/s。第11页，共28页。练2、如图所示，一个质量为0.6kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧（不计空气阻力，进入圆弧时无机被能损失）．已知圆弧的半径R＝0.6m，θ＝60°，小球到达A点时的速度vA＝8m/s．g取10m/s2，求：（1）小球做平抛运动的初速度v0（2）P点与A点的高度差（3）小球刚好能到达圆弧最高点C，

求此过程小球克服摩擦力所做的功。第12页，共28页。例3、如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T﹣v2图象如图乙所示，则（）A．当地的重力加速度为B．轻质绳长为C．小球在最低点受到的最小拉力为5a D．若把轻绳换成轻杆，则从最高点由静止转过90°的过程中杆始终对小球产生支持力第13页，共28页。【解答】解：A、B、在最高点时，绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力，则得：mg+T＝m得：T＝由图象知，T＝0时，v2＝b．图象的斜率k＝，则得：＝得绳长

L＝当v2＝0时，T＝﹣a，由①得：﹣a＝﹣mg，得g＝C、只要v2≥b，绳子的拉力大于0，根据牛顿第二定律得：最高点：T1+mg＝m②最低点：T2﹣mg＝m从最高点到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得：联立②③④解得：T2﹣T1＝6mg，即小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a，故C错误；D、若把轻绳换成轻杆，则从最高点由静止转过90°的过程中开始时杆对小球的作用力为支持力；当转过90°后，小球的向心力必定由杆的拉力提供，所以可知，在小球从最高点由静止转过90°的过程中，杆对小球的作用力开始时是支持力，然后是拉力。故D错误。故选：AB。-mg…①；故A正确，B正确；＝2mgL…④③第14页，共28页。二、杆球模型：长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动。试分析：（1）当小球在最低点A的速度为v2时，杆的受力与速度的关系怎样？（2）当小球在最高点B的速度为v1时，杆的受力与速度的关系怎样？AB第15页，共28页。v1o思考:最高点的最小速度是多少?杆球模型：AB最低点：最高点：拉力支持力v2mgF2F3mgF116第16页，共28页。

运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆能对质点提供支持力和拉力，所以质点过最高点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平衡状态。所以质点过最高点的最小速度为零。（1）当时，轻杆对质点有竖直向上的支持力，其大小等于质点的重力，即（2）当时，（3）当（4）当时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向上的支持的增大而减小。力，支持力随，质点的重力不足以提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力，且拉力随速度的增大而增大；17第17页，共28页。例4、一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是（）A．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零 B．球过最高点时，最小速度为C．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反 D．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力第18页，共28页。例5、如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（）A．小球能够到达最高点时的最小速度为0 B．小球能够通过最高点时的最小速度为gC．如果小球在最低点时的速度大小为D．如果小球在最高点时的速度大小为2则此时小球对管道的内壁的作用力为3mg则小球通过最低点时对管道的外壁的作用力为6mg第19页，共28页。练3、如图所示，一个半径为R＝1.5m的金属圆环竖直固定放置，环上套有一个质量为m的小球，小球可在环上自由滑动，与环间的动摩擦因数为0.75．不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2．当小球向右滑动经过环的最高点时：（结果可用根号表示）（1）若此刻环对小球的摩擦力为零，求此刻小球的速率．（2）若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻环对小球的作用力大小．（3）若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻小球的速率．20第20页，共28页。【解答】解：（1）摩擦力f＝0，则环对小球的弹力N＝0，对小球受力分析有：解得小球速率（2）滑动摩擦力f＝μN，将f＝0.3mg、μ＝0.75代入解得环对小球的弹力由勾股定理，环对小球的作用力（3）由第二小题可知，环对小球的弹力N＝0.4mg，当环对小球的弹力向上时：当环对小球的弹力向下时：解得小球的速率N＝＝0.4mg解得小球的速率

v1＝3m/s21第21页，共28页。例6、如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动。在转动的过程中，忽略空气的阻力。若球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，则下列说法正确的是（）A．球B转到最低点时，其速度为vB＝B．球B在最低点时速度为C．球B在最高点时，杆对水平轴的作用力为1.5mg D．球B在最高点，杆对水平轴的作用力为0.75mggL第22页，共28页。【解答】解：球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有：得：两球的角速度相等，故球A的速度为：再以A为研究对象由向心力公式得：B球转到最低点时，设当球B运动到最低点时球的速度vB′，则球A的速度为：由系统的动能定理得：解得：故AC正确，BD错误；故选：AC。解得：F＝1.5mg＝2mgL第23页，共28页。

竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类，如竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动，水流星的运动，过山车运动等，可化为竖直平面内轻绳类圆周运动；汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，可化为轻竖直平面内轻杆类圆周运动。最高点情况分类讨论

（拉力）最低点：

（支持力）（只有重力）24第24页，共28页。竖直平面内圆周运动的临界问题物理情景图示在最高点的临界特点做圆周运动条件细绳拉着小球在竖直平面内运动T=0

在最高点时速度应不小于小球在竖直放置的光滑圆环内侧运动N=0

在最高点时速度应不小于小球固定在轻杆上在竖直面内运动V>0F向>0F向=FT+mg或F向=mg-Fn在最高点速度应大于0小球在竖直放置的光滑管中运动V>0F向>0F向=FT+mg或F向=mg-Fn在最高点速度应大于025第25页，共28页。练3、如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图象中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是（）A．数据a与小球的质量无关 B．数据b与小球的质量无关 C．比值D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量

和圆周轨道半径只与小球的质量有