高三预习三角函数的定义、同角三角函数基本关系教师版

高二数学暑假作业精讲精练三角函数的定义、同角三角函数基本关系基础知识复习1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．三个三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}＋－＋－4．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα(α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．5．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【知识拓展】1．同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．典型习题强化题型一 利用定义求三角函数值【例1】在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对称可得，进而根据三角函数的定义即可求解.【详解】角与角终边关于原点对称，且若角的终边与单位圆⊙交于点，所以角的终边与单位圆⊙交于点，故，故选：B【例2】已知角的终边落在直线上，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数得定义求解即可得出结论.【详解】设直线上任意一点P的坐标为（），则（O为坐标原点），根据正弦函数的定义得：，时，；时，，所以选项D正确，选项A，B，C错误，故选：D.【变式1-1】已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值，结合正切函数的定义进行求解即可.【详解】因为角终边上一点的坐标为，所以有，因为，所以角是第四象限角，所以角的最小正值为，故选：D【变式1-2】已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义求出的三角函数值，再逐一判断即可.【详解】因为角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，所以，所以，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：C.【变式1-3】已知角的终边与一次函数的函数图象重合，则的值为．【答案】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的正切值、正弦值、余弦值，可得要求式子的值．【详解】∵角的终边与一次函数的函数图象重合，则不妨在角的终边上取点，则,∴，，,则，故答案为：．题型二 根据三角函数值求参数【例3】设是第二象限角，为其终边上一点，且，则.【答案】/【分析】由三角函数的定义及角所在象限、终边上的点列方程求参数，进而求正切值.【详解】由题设，则且，可得，所以.故答案为：【例4】已知为第二象限角，点在其终边上，且，则．【答案】【分析】根据根据三角函数定义和所在象限求出x值，再根据三角函数定义求出正切值.【详解】根据三角函数定义，解得，因为为第二象限角，所以，所以.故答案为：.【变式2-1】已知角的终边经过点，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三角函数的定义，有，结合，解出，可求.【详解】由题意可得，所以,又，所以，则.故选：B【变式2-2】若300°角的终边所在直线上一点为，则a的值为．【答案】【分析】根据横坐标判断终边位置，结合三角函数定义可解.【详解】∵，且点在所在直线上，∴点在120°角的终边上，，，得.故答案为：【变式2-3】（多选）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据任意角的三角函数的定义列方程可求出的值，从而可求出角的其它三角函数值.【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，所以，所以，由，可知，所以角为第二象限的角，所以，所以，所以A错误，B正确，所以，，所以CD正确，故选：BCD题型三 象限的符号问题【例5】设是三角形的一个内角，下列那些值有可能取负值？，，，【答案】，有可能取负值【分析】根据题意结合三角函数值的符号分析判断.【详解】因为，所以，恒为正数，可能为负值.【例6】当为第四象限角时，（

）A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】由象限角确定对应函数值符号，进而化简目标式求值.【详解】由为第四象限角，则，所以.故选：B【变式3-1】“且”是“为第三象限角”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据三角函数符号判断即可.【详解】充分性：由可知，由可知或，综上，，即为第三象限角.必要性：若为第三象限角，则且.所以“且”是“为第三象限角”的充要条件.故选：A【变式3-2】已知是第二象限角，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意利用象限角的概念求解即可.【详解】∵θ是第二象限角，∴,∴∴是第一或第三象限角，可得.故选：C.【变式3-3】（多选）下列函数值符号为正的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用三角函数的象限角的符号判断.【详解】解：因为是第二象限角，所以，故A正确；因为是第三象限角，所以，故B正确；因为是第二象限角，所以，故C正确；因为是第三象限角，所以，故D正确；故选：AD题型四 弦切知一求二【例7】若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用商关系和平方关系建立方程组可得答案.【详解】因为，所以；因为，所以，解得；因为，所以，所以.故选：A.【例8】若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得，进而得到，由同角三角函数商数关系可求得结果.【详解】由得：，，解得：或，又，，即，，.故选：C.【变式4-1】已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角三角函数基本关系求解.【详解】因为，所以，故选：C【变式4-2】（1）已知，且为第四象限角，求和的值；（2）已知，求的值；（3）已知，若是第二象限角，求的值．【答案】（1），；（2），；（3）.【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解；（2）由同角三角函数的基本关系求解；（3）由得的值，再由求解.【详解】（1）因为为第四象限角，则，，.（2）因为，所以，则.又，故，则.因为，所以，故，所以.（3），所以，所以，所以,又因为是第二象限角，所以，，所以.【变式4-3】已知，则cosθ的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由同角三角函数平方关系，将已知条件化为求，结合及平方关系求即可.【详解】由题设，，可得或（舍），又，则.故选：C题型五 正余弦齐次式的运算【例9】已知，则．【答案】【分析】首先求，再将所求转化为齐次分式形式，并用表示，即可求解.【详解】因为，则，原式.故答案为：【例10】已知，则＝.【答案】【分析】，再利用可得答案.【详解】因，则，又，则.故答案为：【变式5-1】已知角的终边经过点，(1)求的值；(2)若是方程的两个根，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由三角函数的定义求得，再利用齐次式法即可得解；（2）先利用韦达定理求得关于的表达式，再利用齐次式法即可得解.【详解】（1）因为角的终边经过点，所以，则.（2）因为是方程的两个根，所以，，且，则.【变式5-2】已知，(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）等式左边的分子，分母同除以得到关于正切的方程，求出答案；（2）式子化为，化弦为切，代入求值即可.【详解】（1），等式左边的分子，分母同除以得，，即，解得；（2）【变式5-3】已知，(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据角的范围确定，即可由一元二次方程求解，（2）（3）根据弦切齐次式即可求解.【详解】（1）由于，所以，又得，解得或（舍去），故（2）（3）题型六 与关系应用【例11】（多选）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】通过平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】依题意，，，两边平方得，，所以，A选项错误，B选项正确.则，所以，所以D选项正确.由，两式相减并化简得，所以C选项错误.故选：BD【例12】已知，则，若，则.【答案】/【分析】根据及从而可求出空，又，利用同角三角函数的关系可求出空.【详解】由题意：，得：，所以：，所以：，因为：，所以：，又因为：，得：，所以：，得：又因为：，所以：，，所以：.故答案为：；.【变式6-1】已知，，求的值．【答案】【分析】两边平方得到，进而求出，结合角的范围和得到，从而求出答案.【详解】两边平方得，即，故，，又，，故，，故.【变式6-2】已知是关于x的方程的两个根，则．【答案】/【分析】根据根与系数关系可以求得，然后利用，求出的值，然后即可求解.【详解】由题意得：，是的两个根，即：，解得：或，由根与系数的关系得：，所以：，即：，解得：，（舍去），.故答案为：.【变式6-3】已知，则．【答案】【分析】由立方差公式，得.将两边平方，解得，代入即可得解.【详解】由题知，因为，两边平方有，所以，所以.故答案为：.题型七 同角三角函数关系的化简求值【例13】若，则的化简结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据同角平方和的关系，结合角的范围即可化简求解.【详解】，由于，所以，故，故选：D【例14】已知是方程的两根，则.【答案】【分析】根据一元二次方程根与关系，结合同角的三角函数关系式进行化简即可.【详解】，因为是方程的两根，所以，因此，所以故答案为：【变式7-1】已知，若，则=.【答案】【分析】将所求式利用同角的三角函数基本关系式进行三角恒等变换化简即得.【详解】由知于是，故故答案为：.【变式7-2】已知角满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．条件①：角的终边与单位圆的交点为；条件②：角满足；条件③：角满足．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)时，原式；时，原式；【分析】（1）利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得；（2）将分母看成“1”，将表达式化为只含有的式子代入计算即可求得结果.【详解】（1）条件①：因为角的终边与单位圆的交点为，可得，，由三角函数的定义可得条件②：因为角满足，又因为，即可得所以，可得条件③：因为角满足，又因为，即，可得又，∴，即（2）易知由（1）可知：，当时，原式；当时，原式.【变式7-3】化简：．【答案】答案见详解【分析】先根据式子有意义求的范围，然后利用平方关系化简目标式，再根据进行分类去绝对值，利用辅助角公式化简.【详解】由题知，，得且，当时，，原式；当时，，，原式；当的终边不在坐标轴上时，有，所以，原式当为第一象限角时，原式；当为第二象限角时，原式；当为第三象限角时，原式；当为第四象限角时，原式.综上，当时，原式；当为第二象限角时，原式；当为第三象限角时，原式；当为第四象限角时，原式.题型八 利用诱导公式给角求值【例15】.【答案】【分析】利用余弦函数的诱导公式化简即可得解.【详解】.故答案为:.【例16】计算：(1)；(2)．【答案】(1)0(2)0【分析】（1）将原式重新两两组合，将互为补角的两个角的余弦值放在一起，再利用诱导公式计算；（2）利用诱导公式将大角化小角，小角化锐角，同样把互为补角的两个角的正切值放在一起计算即可.【详解】（1）.（2）.【变式8-1】=【答案】【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.【详解】故答案为：【变式8-2】计算：＝．【答案】1【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.【详解】．故答案为：1【变式8-3】已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接由诱导公式分别计算出的大小即可得解.【详解】由题意，，，所以.故选：B.题型九 利用诱导公式化简求值【例17】（多选）已知角和的终边关于x轴对称，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据题意，然后根据诱导公式逐项判断即可.【详解】因为角和的终边关于x轴对称，可得.对于A，由，A正确；对于B，由，B错误；对于C，由，C正确；对于D，由，D错误.故选：AC【例18】点在角终边上，则．【答案】【分析】应用诱导公式化简目标式为，再由三角函数定义可得，即可求值.【详解】，由题设，并根据三角函数定义得，则.故答案为：【变式9-1】设，均为实数，若，则的值为．【答案】6【分析】代入，结合诱导公式得到，从而得到.【详解】因为，所以，解得，又所以.故答案为：6【变式9-2】已知角是第三象限角，且满足.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据同角三角函数平方关系求出，进而求出正弦和正切；（2）利用诱导公式化简得到，结合（1）中所求得到答案.【详解】（1），故，又，所以，即，解得或，因为角是第三象限角，所以，故，所以，；（2），由（1）得，故.【变式9-3】已知函数．(1)若，求的值；(2)若，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）化简得到，根据计算得到答案.（2）确定，根据计算，解得答案.【详解】（1），，即，解得；（2），即，，则，所以，则，而，，所以，故，，故，．题型十 利用互补互余关系求值【例19】若为第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】确定，得到，确定，计算得到答案.【详解】，故，故，故，.故选：C.【例20】若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.【详解】依题，令，则，，所以.故选：A【变式10-1】已知，则.【答案】/【分析】利用换元法结合诱导公式直接求解即可.【详解】令，则，则.因为，所以.故答案为：.【变式10-2】已知，，则．【答案】【分析】先化简，再利用同角的平方关系求解．【详解】，，故，，则，故，．故答案为：．【变式10-3】（1）设，计算.（2）已知，求.【答案】（1）（2）或【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系化为正切即可求值；（2）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系转化为关于的一元二次方程求解.【详解】（1）因为，所以.（2）因为，即，解得或.题型十一 同角