高三预习三角函数的定义、同角三角函数基本关系学生版

高二数学暑假作业精讲精练三角函数的定义、同角三角函数基本关系基础知识复习1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．三个三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}＋－＋－4．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα(α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．5．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【知识拓展】1．同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．典型习题强化题型一 利用定义求三角函数值【例1】在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（

）A． B． C． D．【例2】已知角的终边落在直线上，则的值为（

）A． B． C． D．【变式1-1】已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（

）A． B．C． D．【变式1-2】已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（

）A． B．C． D．【变式1-3】已知角的终边与一次函数的函数图象重合，则的值为．题型二 根据三角函数值求参数【例3】设是第二象限角，为其终边上一点，且，则.【例4】已知为第二象限角，点在其终边上，且，则．【变式2-1】已知角的终边经过点，，且，则（

）A． B． C． D．【变式2-2】若300°角的终边所在直线上一点为，则a的值为．【变式2-3】（多选）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（

）A． B．C． D．题型三 象限的符号问题【例5】设是三角形的一个内角，下列那些值有可能取负值？，，，【例6】当为第四象限角时，（

）A．1 B． C．3 D．【变式3-1】“且”是“为第三象限角”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3-2】已知是第二象限角，则（）A． B．C． D．【变式3-3】（多选）下列函数值符号为正的是（

）A． B．C． D．题型四 弦切知一求二【例7】若，，则的值为（

）A． B． C． D．【例8】若，，则（

）A． B． C． D．【变式4-1】已知，则的值为（

）A． B． C． D．【变式4-2】（1）已知，且为第四象限角，求和的值；（2）已知，求的值；（3）已知，若是第二象限角，求的值．【变式4-3】已知，则cosθ的值是（

）A． B． C． D．题型五 正余弦齐次式的运算【例9】已知，则．【例10】已知，则＝.【变式5-1】已知角的终边经过点，(1)求的值；(2)若是方程的两个根，求的值.【变式5-2】已知，(1)求的值；(2)求的值．【变式5-3】已知，(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．题型六 与关系应用【例11】（多选）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【例12】已知，则，若，则.【变式6-1】已知，，求的值．【变式6-2】已知是关于x的方程的两个根，则．【变式6-3】已知，则．题型七 同角三角函数关系的化简求值【例13】若，则的化简结果是（

）A． B． C． D．【例14】已知是方程的两根，则.【变式7-1】已知，若，则=.【变式7-2】已知角满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．条件①：角的终边与单位圆的交点为；条件②：角满足；条件③：角满足．(1)求的值；(2)求的值．【变式7-3】化简：．题型八 利用诱导公式给角求值【例15】.【例16】计算：(1)；(2)．【变式8-1】=【变式8-2】计算：＝．【变式8-3】已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．题型九 利用诱导公式化简求值【例17】（多选）已知角和的终边关于x轴对称，则（

）A． B．C． D．【例18】点在角终边上，则．【变式9-1】设，均为实数，若，则的值为．【变式9-2】已知角是第三象限角，且满足.(1)求的值；(2)若，求的值.【变式9-3】已知函数．(1)若，求的值；(2)若，且，求的值．题型十 利用互补互余关系求值【例19】若为第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．【例20】若，则（

）A． B． C． D．【变式10-1】已知，则.【变式10-2】已知，，则．【变式10-3】（1）设，计算.（2）已知，求.题型十一 同角三角函数关系与诱导公式的综合【例21】已知为第二象限角，且，则的值是（

）A． B． C． D．【例22】若、是关于的方程的两个根，则.【变式11-1】已知.(