高三预习函数的基本性质教师版

函数的基本性质基础知识复习1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【知识拓展】函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0⇔f(x)在D上是增函数，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的增区间为(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)，减区间为[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]．(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．3．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称4.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【知识拓展】1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．典型习题强化1．下列函数中，是偶函数且在区间0,+∞上为增函数的是（

A．y=3x B．y=log【答案】B【解析】y=3x为非奇非偶函数，y=1y=log在0,+∞上y=log3x递增，而y故选：B2．已知函数fx是奇函数，且当x>0时，fx=10A．110xC．110x【答案】B【解析】解：当x<0时，则-x又因为函数fx是奇函数，所以-所以当x<0时故选：B3．已知函数f(x)=lg(|x|A．(-∞,-1)∪(1,+∞) B【答案】C【解析】函数f(x)显然有f(-x当x>0时，f(∀x1,x2因0<x1<x2，则1<2x1<又y=lg(x+1)在(0,于是得f(x+1)<所以不等式f(x+1)<故选：C4．定义在R的奇函数fx满足fx+3=f-x-2A．4 B．2 C．-52 D【答案】D【解析】因为fx所以fx+所以fx是以2为周期的周期函数，且f令x=-2，又f-1故f4043故选：D5．已知y=f(x),(x∈R)A．[22,1)C．(22,1)【答案】C【解析】因为y=f(x),(所以当x=0时，当x>0时，则-x因为y=f(x)是奇函数，所以-fx=综上所述：fx令t=log2x，则t当t=0时，f当t>0时，对于因为y=x3在0,+∞上递增，y=-log1又f1所以由f(t)<0t≥0故选：C6．若函数fx=gx,A．-1 B．0 C．1 D．【答案】A【解析】函数为奇函数且f-1=所以g-1=故选：A7．已知定义在R上的偶函数fx满足f-x+fx-2=A．fB．fC．fD．f【答案】B【解析】因为定义在R上的偶函数fx满足f则fx+fx-2=0当-1≤x≤0时，f所以，函数fx在-1,0上为增函数，则该函数在且当-1<x因为π4<7∵-1=lnf2022=f且-1<tan7π因此，f2022故选：B.8．函数fx的定义域为R，若fx+1是奇函数，fA．fx是奇函数 B．fC．f3=0【答案】B【解析】因为fx+∴fx+∵fx-∴fx-1=∴-f则fx+8=-另一方面fx+∴fx+3=f故选：B.9．如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l与半圆相交于F，G两点，与△ABC两边相交于E，D两点，设弧FG的长为x(0<x<π)，y=EBA． B．C． D．【答案】D【解析】由题，∠FOG=x，点O到FG所以f(f'(故f(x)故选：D.10．已知函数f(x)A．f(x)C．f(x)【答案】B【解析】观察函数图象可得该函数图象关于原点对称，所以函数f(x)对于函数f(因为f(所以函数f(x)对于函数f(x)所以函数f(x)=x对于函数f(x)所以函数f(x)=x对于函数f(x)所以函数f(x)=x故选：B.11．定义在R上的偶函数fx满足f2+x=f2-x，当xA．函数fx图像关于直线x=2对称 B．函数C．f7=-1 D．fx【答案】AD【解析】∵f2+x=f2-x，∴又∵f(x)为偶函数，∵f2+x=f2-x做出f(x)由图可知，当-2<x<6时，f(x)与g(x)共有4个交点，f(故选：AD.12．fx是定义在R上的函数，若fx+x2是奇函数，fA．当x∈1,2时，gx=-2C．g2k+1【答案】AD【解析】因为fx+x2是奇函数,fx-x对于A：任取x∈1,2，则x-1∈0,1对于B：任取x∈2,3，则x-1∈1,2对于C:当x∈(2,3)时,有x-1∈(1,2),x-2∈(0,1).所以gx=2gx-1=4gx-2对于D：由C的结论,g(2k-12)=故选：AD13．设x∈R，x表示不超过x的最大整数，例如：-3.5=-4，2.1A．fx是偶函数 B．fC．fx在R上是增函数 D．fx【答案】BC【解析】根据题意知，fxf1=e所以，f1≠f所以，函数fx既不是奇函数，也不是偶函数，A∵f所以，函数fx为奇函数，B因为函数y=1+ex为R故函数fx=1因为ex>0，则1+e所以，函数fx的值域为-1,0，D故选：BC.14．已知函数fx=lnx2+a【答案】1【解析】由题设f(所以lnax2故答案为：115．已知定义在R上的奇函数y=fx满足f1+x=f1-x，当【答案】12【解析】因为f1+x=f1又函数y=fx在R为奇函数，且当-由此画出fx在区间-2,6fx由图可知，y=-12与f其中两个关于直线x=1对称，两个关于直线所以方程fx+12=故答案为：1216．已知函数y=fx，x∈D，若存在实数m，使得对于任意的x∈D，都有fx≥m，则称函数y=fx，x∈D有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的x∈D①若函数y=fx②若定义在R上的奇函数y=③对于函数y=fx④若函数y=fx【答案】②③【解析】解：①当x>0时，f(x)=1x，则②若定义在R上的奇函数y=f(x)有上界，不妨设当x⩾0时，f即-f(x)⩽M，则f(③对于函数y=f(x)，若函数y=|④函数f(x)=tan则函数f(x)的值域为0，+∞故答案为：②③．17．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(-x(1)已知二次函数f(x)=ax2+3(2)若f(x)=3x-m是定义在区间(3)若f(x)=9x-2m⋅【答案】(1)f(x)为“(2)m∈(3)[-【解析】(1)f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程当f(x)方程f(x)+f所以x=±2，从而f(x(2)当f(x)=3因为f(x)的定义域为[-1,1]，所以方程令t=3x，则t设g(t)=t+1t因为g13=103所以t∈13所以2m∈2,(3)当f(f(x)设s=3x+3从而只需要关于s的方程s2-2ms令F(当F(2)≤0时，s由F(2)≤0，即m当F(2)>0时，sΔ=4m综上，所求实数m的取值范围为[-18．已知二次函数fx(1)若fx在区间1,+∞上单调递增，求实数(2)若fx≥2在x【答案】(1)k(2)k【解析】(1)解：因为fx在x所以--解得k≤(2)因为fx≥2所以x2-2即2k≤x令gx=x当且仅当x=所以k≤19．已知函数f(x)(1)求a的值；(2)求函数f((3)判断函数f(【答案】(1)a=(2)f(x)的定义域为R(3)奇函数，证明见解析.【解析】(1)依题意，函数f(x)的图象过点1,13所以a的值是1.(2)由（1）知函数f(x)=2x-而22x+1∈(3)函数f(x)因f(x)的定义域为R，且f(20．已知函数f((1)写出函数f((2)求证：函数f(x)(3)某同学经研究发现，函数f(x)的图像为双曲线，x=0和y【答案】(1)((2)证明见解析(3)A1(-3,-3)【解析】(1)解：由题意，函数f(x)令f'(x)>0，即所以函数fx的单调递增区间为((2)证明：设P(x0,y0)为函数fx的图像上一点，点由直线y=3x垂直且平分线段PQ因为y0=3将x0=3x1即点Q也在函数f(x)的图像上，所以函数f((3)解：由（2）得直线y=3x于是y=33x+因为y=33那么双曲线的两个顶点一定只能是A1于是半实轴a的值