湖南省长沙市天心区2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版）

湖南省长沙市天心区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案BDBABCCBABDACD题号11答案ACD1．B【详解】由题意，若选中的同学来自高一年级，则有3种选择方案；若选中的同学来自高二年级，则有4种选择方案；若选中的同学来自高三年级，则有5种选择方案．根据分类加法计数原理，则总共可选择的方案有种.2．D【分析】根据散点图中点的分布趋势判断变量间的相关性即得.【详解】对于A，散点图中的点大致分布在从左上角到右下角的带状区域内，故两个变量负相关，即A不合题意；对于B，散点图中的点分布在一条曲线附近，随着的增加，先增加后减少，故两个变量非线性相关，故B不合题意；对于C，散点图中的点分布杂乱无章，无明显规律，故两个变量不相关，即C不合题意；对于D，散点图中的点大致分布在从左下角到右上角的带状区域内，故两个变量正相关，故D符合题意.3．B【分析】求导，由极小值定义得到方程，求出或6，检验后得到结论【详解】，在处有极小值，故，所以，解得或6，当时，，令得或，令得，所以在处取得极小值，满足要求，当时，，令得或，令得，此时在处取得极大值，不合要求，综上，.4．A【详解】注意到，，均在直线上．故，而不在该直线上，即四点不共线，故．于是．5．B【分析】用贝叶斯公式求解，先明确患病、未患病、阳性三类事件的基础概率与条件阳性概率，算出患病且阳性的分子、全体阳性人群的分母，两者相除得到阳性前提下真实患病的概率．【详解】设事件为“实际患病”，事件为“检测结果呈阳性”，，，，，所以．6．C【详解】第一步：将甲、乙全排列有种不同的排法；第二步：将甲、乙看成一个整体再与丙、丁全排列有种不同的排法；由分步计数原理得，共有种不同的排法．故选C．7．C【分析】根据函数是奇函数结合已知得出周期为4，再应用周期结合赋值法得出函数值.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以且，又因为，所以，所以，所以函数的周期为4，因为，令，所以，则；故选：C.8．B【分析】通过分离参数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可.【详解】对任意恒成立等价于对任意恒成立，令，则，故等价于对任意恒成立，即对任意恒成立.令，则，令，即，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得最大值，为.要使对任意恒成立，只需.实数的取值范围为.9．ABD【分析】直接利用线性回归直线以及决定系数、相关系数、正态分布曲线的特点，对选项逐一判断即可.【详解】对于A，线性回归直线必然经过样本中心点，这是线性回归的基本性质，故A正确；对于B，决定系数是衡量回归模型拟合效果的重要指标，其值越大（越接近），说明模型解释因变量变异的能力越强，即拟合效果越好，故B正确；对于C，相关系数的绝对值越接近，表示两个变量的线性相关性越强，故C错误；对于D，正态分布中，当固定时，越小，曲线越“瘦高”，数据越集中；越大，曲线越“矮胖”，数据越分散；故D正确.10．ACD【分析】根据对数函数的定义域判断A，应用对数及二次函数复合的单调性及最值判断B,D，根据二次函数的对称性判断复合函数的对称性判断C.【详解】，解得，即的定义域为，A选项正确．，令，则．二次函数的图象的对称轴为直线，又的定义域为的图象关于直线对称．C选项正确．由复合函数单调性法则知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误．当时，有最大值，，D选项正确．11．ACD【分析】如图，由题设建立空间直角坐标系，对于A，由棱台表面积计算公式结合题设可得答案；对于B，由与不垂直可判断选项正误；对于C，设外接球球心为，然后由可判断选项正误；对于D，由题设结合空间向量知识可判断选项正误.【详解】设上下两底面的中心分别为，的中点为，的中点为，由题意面，设分别为的中点，则，而面，所以，所以两两垂直，所以以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：对于A，因为，过点作于点，则，，所以，同理过点作于点，则，，所以，所以侧面面积之和为，而上下底面之和为，所以该“刍童”的表面积为，故A正确；对于B，由题意知四边形为矩形，，，但，这表明了与不垂直，所以不垂直平面（否则由线面垂直的性质得，导出矛盾），故B错误；对于C，由对称性可知该“刍童”外接球的球心在直线上，不妨设它为，而，所以，由，即得，，解得，所以该“刍童”外接球的球心到平面的距离为，故C正确；对于D，因为，所以，又平面，故取平面的法向量为，不妨设该“刍童”侧棱与平面所成角为，则该“刍童”侧棱与平面所成角的正弦值为，故D正确．12．【详解】法一：给这5个项目分别编号为，对于从五个活动中选三个的情况，有，共10种情况，其中甲选到有6种可能性，则甲参加“整地做畦”的概率为；法二：设甲选到为事件，可得到的概率为.13．【分析】设平面与直线的交点为，由题意可得点在线段的延长线上，进而根据面面平行、线面平行的性质得到，，可得四边形为平行四边形，进而结合空间向量的线性运算可得，进而求解即可.【详解】设平面与直线的交点为，由于平面截所得截面是一个五边形，则点在线段的延长线上，在平行六面体中，平面平面，因为平面，所以平面，又平面，平面平面，则，同理可得，所以四边形为平行四边形，则，，由于点在线段的延长线上，则，即，又点F在棱上，则，且时，点F与点重合，此时截面为四边形，不满足题意，因此，则的取值范围是.14．【分析】可先设出相关事件，在根据已知条件求出各事件发生的概率，最后利用条件概率公式计算即可.【详解】设某人为校内职工为事件，系统判定为“允许通行”为事件，则可得，，，，，.15．（1）.（2）.【详解】试题分析：（1）由题意知，解得，即得所求.（2）由题意知.从而得到.由于.因此应分n为偶数、n为奇数讨论求和具体的，当n为偶数时，当n为奇数时，.试题解析：（1）由题意知，即，解得，所以数列的通项公式为.（2）由题意知.所以.因为.可得，当n为偶数时，当n为奇数时，所以.考点：等差数列、等比数列，数列的求和，分类讨论思想.16．(1)；(2)（i）分布列见解析，数学期望为；（ii）无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化，理由见解析.【分析】（1）根据古典概型计算公式，结合所给的数据进行求解即可；（2）（i）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可；（ii）根据独立重复事件的概率公式，结合小概率事件的性质进行求解即可.【详解】（1）设事件A为“从10所学校中选出的1所学校“自由式滑雪”的参与人数超过40人”．“自由式滑雪”的参与人数超过40人的学校共4所，所以．（2）（i）X的所有可能取值为0，1，2，3，“单板滑雪”的参与人数在45人以上的学校共4所．所以，.所以X的分布列为：X0123P所以．（ii）设事件B为“参训前，该同学考核为‘优秀’”，则．参考答案1：可以认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一旦发生了，就有理由认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．参考答案2：无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：事件是随机事件，比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一般不容易发生，但还是可能发生的，因此，无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．17．(1)；(2)【分析】（1）根据圆柱的特征可得直线与平面的夹角，即为，然后利用圆柱的表面积为求出，求出，进而求解；（2）利用等体积转化法即可求解.【详解】（1）由题意知，直线与平面的夹角，即为，易知，，又，故，进而有，，由圆柱的表面积为，可得，故，故直线与平面的夹角为．（2）设点A到平面的距离为h，则，，，因为平面ABP，，所以BP⊥平面，即，在中，，故，所以，即点A到平面的距离为．18．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面DEFG的法向量，由向量的夹角公式求解即可．（2）在PB上取点H，且满足BH，连接EH，HC，利用比例关系证明CDEH是平行四边形，即可证明DE∥平面PBC，由线面垂直的性质定理可证明DE∥GF，从而证明F为线段PB的中点．【详解】（1）解：过点D作与BC平行的射线l，以l为x轴，以DC为y轴，DP为z轴，建立如图空间直角坐标系D﹣xyz如图所示，则有D（0，0，0），A（3，﹣1，0），B（3，3，0），C（0，3，0），P（0，0，3），，G（0，2，1），设平面DEFG的法向量为，因为，则，即，令x＝1，则y＝1，z＝﹣2，故，又，设直线CP与平面DEFG所成的角的大小为θ，则所以，即直线CP与平面DEFG所成的角的大小为；（2）证明：在PB上取点H，且满足BH，连接EH，HC，则EH∥AB，且EH，因为AB∥CD，所以CD∥EH，且CD＝EH，所以CDEH是平行四边形，所以DE∥CH，又因为CH⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，所以DE∥平面PBC，因为平面DEFG∩平面PBC＝GF，所以DE∥GF，所以GF∥CH，因为CGCP，所以HFHP，即F为线段PB中点，所以F为线段PB的中点．19．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ），，，偶函数，，，，偶函数，由奇偶性知只要证明时即可．即证当时，，当时，由（ⅰ），考虑，，，单调递增，此时，于是，即，故只要证在时成立即可．设，，设，则，由（ⅰ）函数在上单调递增，所以在上单调递减，故，故在上单调