函数的奇偶性、周期性课件-2027届高三数学一轮复习(浙江版)

第3节函数的奇偶性、周期性强基础•固本增分知识梳理1.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且

关于y轴对称奇函数

关于原点对称f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)

2.函数的周期性(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=

,那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数

就叫做这个函数的周期.

并非所有周期函数都有最小正周期(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

[教材知识深化]若T是函数f(x)的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.f(x)T最小

B

B

3.设a∈R,且f(x)=x3+a是奇函数,则a=

.

0解析

∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,即03+a=0,解得a=0.研考点•精准突破考点一函数奇偶性的判定

解

由题知,f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.

解

(方法一

定义法)当x>0时,f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).所以f(x)为奇函数.(方法二

图象法)作出函数f(x)的图象,由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数.

B

B

考点二函数奇偶性的应用例2(1)已知函数f(x)=x5+ax3+bx+8,且f(-2)=10,那么f(2)等于(

)A.-18 B.-10 C.6

D.10C解析

f(-2)=(-2)5+a×(-2)3+b×(-2)+8=10,令f(2)=25+a×23+2b+8=t,则f(-2)+f(2)=(-2)5+a×(-2)3+b×(-2)+8+25+a×23+2b+8=t+10,即8+8=10+t,可得t=6,即f(2)=6.故选C.

D

(3)定义在R上的奇函数f(x)满足:当0<x<2时,f(x)<0,当x>2时,f(x)>0.则不等式xf(x)>0的解集为(

)A.(2,+∞)B.(-2,0)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2)C

(4)若函数f(x)是偶函数,且当x>0时,f(x)=2x+x+1,则当x<0时,f(x)=

.2-x-x+1解析

因为函数f(x)是偶函数,且当x>0时,f(x)=2x+x+1,所以当x<0时,-x>0,所以f(-x)=2-x-x+1,即f(x)=2-x-x+1,所以当x<0时,f(x)=2-x-x+1.

B解析

由f(x)=x3+x可得f(-x)=-x3-x=-f(x),且函数f(x)的定义域R关于原点对称,所以f(x)为奇函数,所以f(-a)=-f(a)=-b,故选B.

(-∞,-2)∪(0,2)

考点三函数的周期性

C解析

由f(x+1)=f(x-1),得f(x