2025-2026学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知x+yi=1−i(x,y∈R)，则x+y=(

)A.−1 B.0 C.1 D.22.已知向量a，b满足|a|=|b|=1，a⋅b=A.π6 B.π3 C.π23.函数y=tan(2x+π6)的图象可由函数y=tan2xA.向右平移π6 B.向右平移π12 C.向左平移π6 4.已知正三棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，则它的侧面积是(

)A.421cm2 B.125.已知向量a=(3,1)，b=(0,2)，则b在A.(3,1) B.(0,2) C.(6.一艘船从A处出发，以40nmile/h的速度向正北方向航行.从A处看灯塔S位于船北偏东30°的方向上，30min后船航行至B处，从B处看灯塔S位于船北偏东75°的方向上，则灯塔S与B之间的距离是(

)A.102nmile B.103nmile7.已知点P到平面α的距离是2，A，B∈α，且PA=PB=3，则cos∠APB的最小值是(

)A.19 B.−19 C.78.在△ABC中，已知AB=3，AC=2BC，M为边AB上一点，CM平分∠ACB，且CM=22，则BC=(

)A.5 B.25 C.5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设z=1−2i，则(

)A.z−=1+2i B.|z|=5 C.10.在正方体ABCD−A1B1A.AC1与BC是异面直线 B.BD1⊥CD

C.平面ACD1//平面11.定义变换T(θ,n)为：将向量AB=(x,y)绕点A逆时针旋转nθ(n∈N∗)得到向量AB′=(x′,y′)，其中x′=xcosnθ−ysinnθ，y′=xsinnθ+ycosnθ.已知点P(−1,2)，Q(1,0)，若对说法正确的是(

)A.作T(π3,1)变换，得到PQ′=(3+1,3−1)

B.作T(−π4,2)变换，得到点Q′(−2,−2)

C.作T(π3,3)，T(−π4,n)变换，分别得到PQ1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若tanα=2，则sin2α=______．13.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E为BC中点，点F在边CD上，若AB⋅AF=6，则BF⋅DE14.将一个弧长为2π，圆心角为120°的扇形卷成一个圆锥，则该圆锥的高为

.若将该圆锥放入一个球内，则球的最小体积为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(2,3)，b=(cosθ,sinθ)．

(1)若θ=π3，求|a+b16.(本小题15分)

如图，在三棱锥A−BCD中，∠ACB是二面角A−CD−B的平面角．

(1)证明：AB⊥CD；

(2)已知AB⊥BD，AB=CD=2，BC=1，若M是AC的中点，求异面直线AD与BM所成角的余弦值．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=sinxcosx+3cos2x−32．

(1)证明：f(x+π)=f(x)；

(2)求f(x)图象的对称中心；

(3)若18.(本小题17分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，D为A1C1的中点．

(1)求证：平面BCD⊥平面ACC1A1；

(2)已知AC=2CC1=43，BC=4．

(i)求点B19.(本小题17分)

若一个三角形中存在一个内角是另一个内角的2倍，则称其为倍角三角形.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b+c=2acosB．

(1)求证：△ABC是倍角三角形；

(2)已知△ABC为锐角三角形，c=2．

(i)若△ABC的面积为1，求tanA；

(ii)若D点满足AD=2DB，求线段CD长度的取值范围．

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】ABD

10.【答案】AC

11.【答案】ACD

12.【答案】4513.【答案】−11

14.【答案】2243

15.【答案】13

−16.【答案】因为∠ACB是二面角A−CD−B的平面角，所以AC⊥CD，BC⊥CD，

AC∩BC=C，AC，BC⊂平面ABC，所以CD⊥平面ABC，

因为AB⊂平面ABC，所以AB⊥CD

517.【答案】f(x)=sinxcosx+3cos2x−32

=12sin2x+32cos2x

18.【答案】证明：因为在直三棱柱ABC−A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，

所以C1C⊥BC，又AC⊥BC，且C1C∩AC=C，

所以BC⊥平面ACC1A19.【答案】证明：因为b+c=2acosB，由正弦定理，得sinB+sinC=2sinAcosB，

又C=π−A−B，所以sinC=sin(A+B)，

所以sinB+sin(A+B)=2sinAcosB，

即sinB+s