2025-2026学年江苏省苏州市某校高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省苏州市某校高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知事件A，B相互独立，P(A)=0.5，P(B)=0.4，则P(A+B)=(

)A.0.88 B.0.9 C.0.7 D.0.722.已知平面α内有一个点A(2,−1,2)，α的一个法向量为n=(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(

)A.(1,−1,1) B.(1,3,32) C.(1,−3,3.已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向量为S=(0,1,1)，则点P(4,3,2)到l的距离为(

)A.322 B.22 4.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1A.155 B.64 C.5.已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是(

)A.a<0 B.−1≤a<0 C.−1<a<0 D.a≥−16.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，则不同的插入方法种数为(

)A.12 B.18 C.20 D.607.甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为5%，乙加工的次品率为8%，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的40%，60%，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为(

)A.320 B.13 C.388.已知(x+3)(x+2)8=a0A.8 B.10 C.28 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作X～N(μ,σ2).当μ=0，σ=1的正态分布称为标准正态分布，如果令Z=X−μσ，则可以证明Z～N(0,1)，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布如果Z～N(0,1)，那么对任意的a，通常记Φ(a)=P(Z<a)，也就是说，Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(−∞,a)内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布X～N(103,202).则下列说法正确的有(

)

参考数据：可供查询的a0.240.250.260.350.36Φ(a)0.59480.59870.60640.63680.6406A.已知Φ(a)=0.7，则P(|Z|<a)=0.6

B.Φ(a)+Φ(−a)=1

C.按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占40%，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108(精确到整数)

D.已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于3630−3640名之间10.在棱长为2的正四面体ABCD中，过点C且与BD平行的平面α分别与棱AB，AD交于点E，F，点Q为线段CD上的动点，则下列结论正确的是(

)A.AC⊥EF

B.当E，Q分别为线段AB，CD中点时，CF与EQ所成角的余弦值为66

C.线段EQ的最小值为3

D.空间四边形11.设x1，x2(x1<x2A.x1x2<e B.x2lnx1>x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某人上楼梯，每步上1阶的概率为34，每步上2阶的概率为14，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为

．13.两个连续随机变量X，Y满足X+2Y=3，且X～N(3,σ2)，若P(X+1≤0)=0.14，则P(Y+2>0)=

14.设a∈(0,1)，若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ln(x+m)的图象与x轴交于点P，且在P处的切线方程为y=g(x)，g(1)=1，记h(x)=2f(x)−1+4x+1(参考数据：e3≈20.09)．

(1)求g(x)的解析式；16.(本小题15分)

某高校统计的连续5天入校参观的人数(单位：千人)如下：样本号i12345第xi12345参观人数y2.42.74.16.47.9并计算得，i=15xiyi=85.2,i=15xi2=55,x−=3,y−=4.7．

(1)求y关于x的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数；

(2)17.(本小题15分)

如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，△ABD为底面圆O的内接正三角形，且边长为23，点E在母线PC上，且AE=23,CE=2．

(1)求证：PO//平面BDE；

(2)若点M为线段PO上的动点.当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求平面18.(本小题17分)

现有A，B两个不透明的盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n(n∈N∗)次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为Xn，恰有1个红球的概率为pn．

(1)求p1，p2的值；

(2)求pn的值(用n表示)；

19.(本小题17分)

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数f(x)=1x(x>0)，f(x)在区间[a,b]上的图像连续不断，从几何上看，定积分ab1xdx便是由直线x=a，x=b，y=0和曲线y=1x所围成的区域(称为曲边梯形ABQP)的面积，根据微积分基本定理可得ab1xdx=lnb−lna，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即S曲边梯形ABQP<S梯形ABQP，代入数据，进一步可以推导出不等式：a−blna−lnb>21a+1b．

(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：a−blna−lnb<a+b2；

(2)已知函数f(x)=ax2+bx+xlnx，其中

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】BCD

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】131613.【答案】0.86

14.【答案】[−1+15.【答案】解：(1)由题意f(x)=ln(x+m)与x轴的交点P(1−m,0)，又f′(x)=1x+m，

所以在点P处的切线的斜率k=11−m+m=1，

所以在点P处的切线方程为g(x)=x−1+m，

因为g(1)=1，所以m=1，

即切线方程为g(x)=x；

(2)由(1)知f(x)=ln(x+1)，所以h(x)=2ln(x+1)−1+4x+1(x≥−14)，

所以h′(x)=2x+1−21+4x=2(1+4x−x−1)(x+1)1+4x，

令h′(x)=0，得x1=0，x2=2，

当x∈(−14,0)时，h′(x)<0，此时h(x)为单调递减函数，

当x∈(0,2)时，h′(x)>0，此时h(x)为单调递增函数，16.【答案】解：(1)由题意知，b=i=15xiyi−5x−y−i=15xi2−5x−2=85.2−5×3×4.755−5×32=1.47，a=y−−bx−=4.7−1.47×3=0.29，

所以y关于x的回归直线方程为y=1.47x+0.2917.【答案】解：(1)证明：如图，设AC交BD于点F，连接EF，由圆锥的性质可知PO⊥底面ABD，

因为AC⊂平面ABD，所以PO⊥AC，又因为△ABD是底面圆的内接正三角形，

由AD=23，AC为直径，则AF⊥BD，可得AF=3，而ADsin60∘=AC，解得AC=4，

又AE=23,CE=2，

所以AC2=AE2+CE2，即∠AEC=90°，AE⊥PC，

又因为AEAC=AFAE=32，所以△ACE与△AFE相似，所以∠AFE=∠AEC=90°，即EF⊥AC，

又PO，AC，EF⊂平面PAC，直线EF/​/PO，PO⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，

所以直线PO/​/平面BDE．

(2)因为PO/​/EF，PO⊥平面ABD，所以EF⊥平面ABD，

又EF⊂平面BED，所以平面BED⊥平面ABD，

由于AF=3，则OF=FC=1，即F为OC的中点，

知PO=2EF=23，以点F为坐标原点，FA，FB，FE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(3,0,0),B(0,3,0),D(0,−3,0),E(0,0,3),P(1,0,23),O(1,0,0)，

所以AB=(−3,3,0),AE=(−3,0,3),DO=(1,3,0),OP=(0,0,23)，

设平面ABE的法向量为n=(x,y,z)，

则AB⊥nAE⊥n，即AB⋅n=0AE⋅n=0，即−3x+3y=0−3x+3z=0，

令x=1，则n=(1,3,3)18.【答案】p1=59，p2=4981

pn=35−245×(−19)n−1

由(2)得pn=−19pn−1+23，

第n次操作后A盒中恰有2个红球的概率，与第(n−1)次的状态对应关系如下：

qn=C21⋅C11C31⋅C31pn−1+C11⋅X012P1−p1−所以E(Xn)=0×1−pn2+1×p19.【答案】解：(1)证明：在曲线y=1x取一点M(a+b2,2a+b)，

过点M(a+b2,2a+b)作f(x)的切线分别交AP，BQ于M1，M2，

因为S曲边梯形ABQP>S梯形ABM2M1，

所以lnb−lna>12(|AM1|+|BM2|)⋅|AB|=12⋅2⋅(b−a)，

即a−blna−lnb<a+b2;

(2)(i)证明：由题意可得，

f′(x)=2ax+lnx+b+1，

不妨设0<x1<x2，