小数除法：被除数整数部分小于除数的算理理解与算法构建-小学五年级数学教学设计

小数除法：被除数整数部分小于除数的算理理解与算法构建——小学五年级数学教学设计

  一、单元整体视域下的教学内容深度解析

  本节课隶属于“小数除法”大单元，处于整数除法向小数除法扩展、除数为整数的小数除法向除数为小数的小数除法过渡的关键节点。在此之前，学生已熟练掌握整数除法（包括有余数除法）的算法，理解了“包含除”与“等分除”的意义，并初步学习了“除数是整数的小数除法”中“商的小数点与被除数的小数点对齐”的算法。然而，当被除数的整数部分小于除数，即整数部分“不够商1”时，对学生而言是一个显著的认知拐点。它打破了学生原有的“从高位除起，每一位商都应至少为1”的整数除法思维定势，引入了“在某一位上商0”这一新的算法步骤，其核心是理解“为什么商0”以及“商0之后如何继续除”的算理逻辑。这不仅是算法程序上的补充，更是对除法意义和位值制理解的深化，是构建完整小数除法认知结构的基石，直接影响后续学习“一个数除以小数”（需移动小数点转化为除数是整数）时的理解深度与迁移能力。

  二、基于学习科学的核心素养目标定位

  （一）知识与技能目标：学生能在具体问题情境中，理解并掌握“被除数整数部分不够商1”的小数除法计算方法，能正确书写竖式过程，特别是整数部分商0和小数点对齐的规范；能熟练解决相关的简单实际问题，并能够通过估算判断商的大致范围。

  （二）过程与方法目标：经历“现实问题抽象为数学问题——独立尝试探究——多元表征理解算理（操作、图形、语言）——归纳概括算法——解释应用”的完整学习过程。重点发展运用几何直观（如面积模型、线段图）和已有知识（人民币单位换算、计数单位细化）进行算理推演的能力，以及在新旧认知冲突中通过合作辨析实现自我建构的能力。

  （三）情感态度与价值观目标：在解决“不够分”的真实困境中，体验数学与生活的紧密联系，感受数学知识的延展性与统一性（整数除法法则在小数领域的继承与发展）。通过克服认知冲突、获得新知的过程，培养勇于探索、严谨细致（特别是书写规范）的学习品质和理性精神。

  （四）核心素养聚焦：本节课着重发展学生的运算能力（理解算理、掌握算法、准确计算）、推理意识（从具体情境和已有知识出发，合乎逻辑地推演计算过程的合理性）和几何直观（利用直观模型支撑抽象的算理理解）。同时，在问题解决中渗透模型意识（将实际问题抽象为除法算式）和应用意识。

  三、学习者认知起点与潜在障碍诊断

  五年级学生正处于具体运算向形式运算过渡的阶段。其认知起点分析如下：优势方面，已具备较强的整数除法技能和初步的小数意义理解（小数是十进制分数的另一种表示，是更小的计数单位的累积）。潜在障碍与迷思概念可能存在于：第一，心理障碍——“不够除”带来的挫败感与困惑，容易直接放弃或胡乱写商。第二，算理障碍——难以理解为什么可以在整数部分“无中生有”地商0，以及商0后实质上是将整数部分的若干个“1”转化为更低级的计数单位（十分之一、百分之一等）继续“包含除”。第三，算法障碍——竖式书写不规范，容易遗漏整数部分的“0”或忘记点上商的小数点；或者虽知道商0，但不知后续如何继续处理被除数的小数部分。教学需直面这些障碍，设计有效的认知脚手架。

  四、跨学科视野下的教学策略与资源整合

  1.情境创设策略：借鉴经济学中的“成本均摊”和社会学中的“资源公平分配”思想，创设贴近学生经验的真实情境，如“少量材料平均分给多人”、“低电量设备平均使用时长”等，赋予“不够除”以真实意义。

  2.认知表征策略：融合心理学中的“多元表征理论”，引导学生通过动手操作（分实物）、图形绘制（分面积、画线段）、符号记录（竖式）和语言表述四种方式相互印证，打通直观与抽象。借鉴物理学中的“单位换算”思想，将“1元转化为10角”类比为整数部分的“1”转化为10个“0.1”，实现知识的正向迁移。

  3.技术赋能策略：利用交互式白板或平板电脑的拖拽、涂色、动态拆分功能，动态演示“1个整体被细分为10等份”的过程，使“计数单位细化”这一核心算理可视化、可操作。

  五、教学环境与资源准备

  教具准备：交互式电子白板及课件（内含动态分物动画、竖式步骤分步演示工具）、实物投影仪。学具准备：每小组一套人民币学具（1元、1角硬币或纸币模型）、方格纸、彩笔。打印的探究学习单。

  六、教学过程实施与深度互动设计

  （一）第一阶段：锚定情境，制造认知冲突，唤醒已有经验（预计用时：8分钟）

    师：同学们，学校“爱心义卖”后，五年级（1）班用所得款项购买了6本相同的经典绘本，总共花费了28.2元。他们想知道平均每本绘本多少钱？你能帮他们列个算式吗？

    生：28.2÷6。

    师：非常好。请先不计算，凭感觉估一估，每本绘本的价格大概在什么范围？为什么？

    生1：我觉得在4元到5元之间。因为如果是4元，4×6=24元；如果是5元，5×6=30元。总价28.2元在24和30之间。

    师：精彩的估算！这告诉我们商应该在4和5之间。现在请大家尝试用竖式独立计算28.2÷6。老师期待看到你们真实的思考过程。

    （学生独立尝试，教师巡视，有目的地选取具有代表性的几种算法进行投影展示：A.正确算法；B.整数部分直接商4，用28-24=4，不知道怎么处理余数4和后面的2；C.整数部分不知道商几，空着或写0但后续错误；D.忘了点商的小数点。）

    师：大家遇到了不同的情况。我们来看看这几位同学的作品。对于B做法，整数部分商4，用28减24余4，接下来怎么办？这个余数“4”是4个什么？

    生2：是4个“一”。

    师：对，是4个一。现在要把这剩下的4个一，和十分位上的2合起来继续分。可是，4个一和2个十分之一能直接加在一起吗？

    生3：不能，单位不一样。

    师：说得对！就像我们不能直接把4元和2角简单相加成6一样。那在数学计算中，我们如何让它们能“合作”呢？这就是我们今天要攻克的核心问题。

  （二）第二阶段：多元探究，深度建构算理，化解核心难点（预计用时：22分钟）

    活动一：模型操作，实现“单位换算”的直观化。

    师：让我们回到问题本身。28.2元就是28元2角。请大家小组合作，利用手中的人民币学具，实际分一分：把28元2角平均分给6个小组（代表6本绘本），看看每组分得多少元、多少角？记录下你们的分的过程。

    （小组合作操作：学生发现28元平均分给6组，每组最多分到4元，还剩下4元。这4元没法直接分了。）

    师：操作遇到了困难，剩下的4元怎么办？生活中你会怎么做？

    生4：可以把剩下的4元换成40角！

    师：太棒了！这就是“化整为零”的思路。请你们换一换，继续分。

    （学生将4元换成40角，加上原有的2角，共有42角。将42角平均分给6组，每组得到7角。）

    师：所以，最终每本绘本的价格是？

    生5：4元7角，也就是4.7元。

    师：操作成功！谁能用算式把刚才分钱的过程记录下来？

    生6：28元÷6=4元……4元；4元=40角，40角+2角=42角；42角÷6=7角。所以是4元7角=4.7元。

    师：非常清晰。这个过程，实际上是把除法计算中“剩下的、不够除的整数部分”进行了什么处理？

    生7：把它变成了更小的单位，和后面的小数部分合起来再除。

    活动二：图形表征，实现“计数单位细化”的可视化。

    师：如果我们没有钱币，能用图形表示这个“分”和“换”的过程吗？请看这个正方形代表1元（教师在白板上画一个正方形）。28.2元怎么表示？

    生8：画28个整的正方形，再画0.2个，也就是把第29个正方形平均分成10份，涂其中2份。

    师：好。现在要平均分成6份。我们先把28个整的正方形来分。（动态演示：每6个一圈，圈出4份，剩下4个整的正方形。）这剩下的4个整的正方形，无法再每份分到1个整的了，怎么办？

    生9：把每个正方形都平均分成10份！这样剩下的4个整正方形就变成了40个小长条（十分之一元），原来还有2个小长条，一共是42个小长条。

    （教师动态演示将4个正方形细分成40个小长条，与原有的2个小长条合并。）

    师：现在把这42个小长条（每个代表0.1元）平均分给6份。

    （动态演示分的过程，每份得到7个小长条，即0.7元。）

    师：图形也告诉我们同样的道理：当整的单位不够分时，就将它（）成更小的单位，与后续部分合并再分。

    生（齐）：细化。

    活动三：竖式对接，实现“算理”到“算法”的符号化。

    师：经历了分钱和画图，我们再看竖式，能不能看懂其中的奥秘？观看课件动画演示竖式计算步骤与分钱、分图形过程的同步对应：

    步骤1：28除以6，商4。对应“先分28个整元”。

    步骤2：4乘6得24，28减24余4。对应“分掉24元，剩下4元”。

    步骤3：剩下的4元（4个一）怎么办？在竖式中，我们将被除数十分位上的“2”落下来。这个“落下来”的动作，在分钱中对应什么？

    生10：对应把剩下的4元换成40角，和原来的2角合起来是42角。

    师：非常准确！但竖式里我们写的是“42”，这个“2”本来就在十分位，代表2个0.1。而那个余数“4”在个位，代表4个1。它们怎么能直接并列成“42”呢？这其实隐含了一个关键的步骤——我们在思想里已经把余数“4”个一，转化成了40个0.1！只是竖式为了简洁，没有把40写出来，而是通过把十分位的“2”落下来，与这个隐形的“40”个0.1相结合，共同组成42个0.1。这就是竖式算法的巧妙与简洁之处。

    步骤4：用42个0.1除以6，商7。这个“7”写在什么位置？为什么？

    生11：写在十分位。因为分的是42个0.1，得到的是7个0.1，所以7应该写在十分位。

    师：所以，商的小数点要点在哪里？

    生12：点在个位的4后面，即商4.7。因为整数部分商4，小数部分商7，用小数点隔开。

    师：谁能完整地说一说，当被除数整数部分不够商1时，竖式是怎么计算的？

    生13：先看整数部分，如果不够除，就在整数部分商0；然后点上小数点；再把小数部分第一位落下来，和整数部分的余数（心里想成更低级的单位）合起来继续除。

    师：总结得非常到位！我们再看一个更典型的例子：如果总价是5.4元，买6本，每本多少元？列式5.4÷6。整数部分5除以6，够商1吗？

    生（齐）：不够。

    师：那整数部分商几？

    生14：商0。

    师：对，然后点上小数点。这时，整数部分余数是5（个一），我们把它看作50个0.1，与十分位落下来的4个0.1，组成54个0.1，除以6商9，9写在十分位。结果是0.9。通过这两个例子，我们共同归纳出算法。（引导学生齐读或复述算法要点）

  （三）第三阶段：分层巩固，促进算法内化，拓展思维深度（预计用时：12分钟）

    基础巩固层：

    1.竖式计算：7.5÷5=？1.8÷12=？0.42÷6=？

    （重点巡视第二、三题，关注整数部分商0和小数点处理，强调“哪一位不够商1，就商0占位”的通用法则。）

    2.纠错小医生：出示典型错误竖式（如整数部分未商0直接落小数；商的小数点位置错；漏写小数点等），请学生诊断并改正。

    综合应用层：

    3.解决问题：一盒铅笔12支共8.4元，平均每支铅笔多少钱？小明买了3支，应付多少钱？

    （引导先求单价，再求总价，巩固计算的同时，训练两步解决问题的能力。鼓励用估算检验：8.4÷12，商应小于1，结果是0.7元，合理。）

    思维拓展层：

    4.探究题：计算0.18÷12。思考：整数部分和小数部分第一位（十分位）都不够商1，怎么办？

    （让学生尝试，引导发现：整数部分商0，点上小数点；十分位商0（占位），然后落下百分位的8，组成18个0.01去除以12。引出“哪一位不够商1，就商0占位”的连续应用场景，为后续学习多位小数除法铺垫。）

  （四）第四阶段：反思总结，结构化认知，布置分层作业（预计用时：8分钟）

    师：同学们，今天我们深入研究了小数除法中的一个特殊但重要的情况。回顾探索之旅，我们是怎么解决“整数部分不够商1”这个难题的？你最大的收获或感悟是什么？

    引导学生从知识（算法）、方法（转化、细化单位）、思想（十进制、位值制）等多维度进行总结。

    教师进行结构化板书梳理，将整数除法与小数除法、够除与不够除的情况进行对比，构建知识网络。

    分层作业设计：

    【必做题】（夯实基础）课本对应练习题，完成5道竖式计算和2道基础应用题。

    【选做题】（能力提升）1.探究“一个数除以大于1的数，商可能小于1；除以1，商等于它本身；除以小于1的数，商可能大于1”的规律（通过计算多组如：4.8÷2，4.8÷1，4.8÷0.5等，初步感知，为后续学习“一个数除以小数”埋下伏笔）。2.结合“低碳出行”主题，调查家庭用电/用水数据，计算日均消耗量，并撰写一份简单的节约建议报告。

  七、教学板书设计（结构化、过程性）

    核心课题：小数除法——整数部分不够商1

    关键问题：28.2÷6=？

    探究路径：

    1.模型支撑（理）：

      人民币模型：28元2角→28元÷6=4元…4元→4元=40角→40角+2角=42角→42角÷6=7角→4元7角=4.7元。

      几何模型：1个“整体”→细化→更小的计数单位。

    2.算法抽象（法）：

      竖式过程（规范书写）：

         4.7

        6)28.2

         24

         ————

          42……（4个一+2个0.1→看作42个0.1）

          42

         ————

           0

    3.算法归纳（结）：

      ①整数部分不够除，商0，点上小数点。

      ②落下小数部分第一位，与整数部分余数（化为低级单位）合除。

      ③除到被除数末尾仍有余数，可添0继续除（为下节课铺垫）。

    4.思想升华（魂）：转化思想——单位细化；十进制计数法的统一与延展。

  八、教学评价与反馈设计

    过程性评价：贯穿于探究活动的观察（小组合作参与度、操作规范性）、对话（提问与回答的逻辑性、语言表达的准确性）、练习（竖式书写的规范性、计算正确率）。利用学习单上的思维留白和“我的发现”栏目，收集学生的个性化思考。

    终结性评价：通过分层作业的完成情况，评估学生对算法掌握的