小学数学“数学广角”专项练习：鸡兔同笼、植树问题变式题集

小学数学“数学广角”专项练习

鸡兔同笼、植树问题变式题集（通用版）适用学段与学科：小学中高年级数学文档类型标签：专项练习·变式题集·思维训练核心亮点承诺这份题集不是让孩子沉在题海里刷题，而是帮他们把鸡兔同笼和植树问题的“根”给刨出来。我把这两类问题掰开揉碎，梳理出鸡兔同笼的六大变式和植树问题的四大模型，每道题都像讲故事一样给出完整的思路分析，带着孩子先“画出来”，再“算出来”。资料里还配了可以直接打印的审题分析卡，帮孩子改掉题目看一半就动笔的毛病。教师可以拿来上思维拓展课，家长也能用它在家辅导，讲一道通一类。使用说明与痛点解决这份材料最适合谁？正在教学“数学广角”中鸡兔同笼、植树问题相关内容的四到六年级数学老师，可以直接印给学生做专题练习；也适合孩子在这些题型上反复出错的家长，在家做一对一的精准辅导。它专门解决两个常见的教学痛点：一是孩子只会套公式，题目稍微换个情境就不会了；二是变式题练得少，考场上遇到新题型就慌。怎么用效果最好？我不建议把这份题集一次性发给孩子做，那样效果会打折扣。最理想的方式是“一周攻克一类”。比如这周专门研究鸡兔同笼，周一老师用一至两道母题把画图法和假设法教透，周二到周四每天挑两道变式题让孩子独立完成，周五用十分钟做个小组分享，说说自己是怎么把新题变回母题的。植树问题也是同样的节奏。孩子做完题以后，一定要让他们填写配套的审题分析卡——不是我夸张，光是画图这个动作，就能减少差不多一半的错误。本资料为经验分享，请根据本校、本班实际情况调整使用。一、鸡兔同笼变式题组鸡兔同笼之所以经典，不是因为它难，而是因为它是一把钥匙，能帮孩子打开“用假设法解决问题”这扇大门。我的教学体验是：先别急着讲公式，一定要让孩子先用画图法动手画一画，亲手“给小动物添上腿”，等他们真的理解了“为什么假设全是鸡，就会多出腿来”，再用列表法和假设法去列式计算，这才叫把根扎住了。下面的变式题，我按照从原型到变化的顺序排列，让孩子一步步看到题怎么变，核心的思考方法又是怎么不变。变式一：基本型——鸡兔同笼笼子里有鸡和兔共10个头，28条腿。鸡和兔各有几只？思路分析这道题的核心矛盾是：假设全是鸡，腿肯定不够；每把一只鸡换成兔，腿就会多两条。让孩子先画图：画10个圆圈代表10个头。每个头先画两条腿，这样就画了20条腿。题目说有28条腿，还差8条。这8条腿不能凭空变出来，得往已经画好的两只脚的小动物身上加——每个再加两条，它就变成兔子了。8条腿能给几个小动物加上去？8÷2=有了画图的直观感受，再过渡到假设法的算式：假设全是鸡，总腿数为10×2=20条，比实际少28−容易出错的点有的孩子用总头数减兔得到鸡以后，习惯性地会再减一次。这时要让他们回到图中去数一数，直观验证，别急着往下写。另外，腿数差除以二的这一步，总有人除以四，要反复强调“换一次多两条，不是四条”。解答：鸡6只，兔4只。变式二：隐含型——龟鹤同池乌龟和仙鹤在同一个池子里，共有12个头，40条腿。乌龟和仙鹤各有几只？思路分析孩子刚读完题可能会愣一下，因为鸡和兔不见了。这时候就考验能不能把新情境“翻译”回鸡兔同笼模型：乌龟相当于兔，四条腿；仙鹤相当于鸡，两条腿。头数总数已知，腿数总数已知，完全一致。假设全是仙鹤，总腿数12×2=24条，比实际少40−24=容易出错的点有些孩子不认识“仙鹤”或者对“龟有四条腿”需要反应一会儿。做之前可以让孩子先口头说说每种动物几条腿，确认清楚了再动笔。这个“翻译”环节看似简单，却是建立数学模型意识的关键一步。解答：乌龟8只，仙鹤4只。变式三：倒扣型——抢答比赛一次数学抢答比赛，共10道题。答对一道加10分，答错一道扣6分。小明最后得了52分，他答对了几道？思路分析这道题的差距不是腿数，而是分数。但核心结构一模一样：有两个量（对和错），有两种得分结果（加10和扣6），有总数（10道题）和总得分（52分）。鸡兔同笼的“腿数”在这里就是“每道题对与错的得分差”。假设全对，总得分是10×10=100分。实际只有52分，少了100−52=关键点拨这里最容易错的地方在于，孩子算出“一道题对和错相差16分”以后，拿48去除的时候，忘了这个16是怎么来的。我的经验是，一定要让孩子口头复述这句话：“答对得10分，答错扣6分，一道题的差距是16分。”能一字不差说清楚了，这道题才算真懂。我在一个基础较弱的班试过，光这句话带着全班齐读三遍，同类题的正确率一下就上来了。解答：答对7道。变式四：替换型——大船小船全班38人去公园划船，共租了8条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，每条船都恰好坐满。大船和小船各租了几条？思路分析把大船看成“兔”，坐6人；小船看成“鸡”，坐4人。总船数就是总头数，总人数就是总腿数。假设全租小船，共坐8×4=32人，比实际少38−容易出错的点有孩子会把“大船比小船多坐2人”和“每条船坐几人”这两个数搞混。建议让孩子在草稿本上画个简单的对应表：画8条小船，每条写“4”，算出总数32。然后挑出几条，把“4”划掉改成“6”，看看每条增加2人，需要改几条才能凑到38人。动手画一遍，比老师讲十遍效果都好。解答：大船3条，小船5条。变式五：车轮型——汽车摩托车停车场里停着汽车和摩托车共24辆，数一数轮子共有86个。汽车和摩托车各有多少辆？思路分析汽车4个轮子（兔），摩托车2个轮子（鸡）。假设全是摩托车，轮子24×2=48个，比实际少86−思路点拨这道题的轮子总数比较大，算起来容易出错。我一般会建议孩子在算出“少38个轮子”之后，估一下：如果全部是汽车，最多96个轮子，实际86个，比全部汽车只少10个，说明摩托车应该不多。再用假设法算出的5辆摩托车去验证一下，看能不能对上，这个习惯对提高计算准确率很有帮助。解答：汽车19辆，摩托车5辆。变式六：货币型——人民币组合小明有5元和10元的人民币共20张，一共145元。两种面值各有多少张？思路分析10元是“兔”，5元是“鸡”。假设全是5元，总钱数为20×5=100元，比实际少145−100=容易出错的点这个问题到了高年级会和“列方程解应用题”混在一起，有的孩子开始用两种方法交叉做，结果两边都没做对。我的建议是：这段时间专项练鸡兔同笼，就统一用假设法，把一种方法彻底吃透。等下学期学方程时，再回过头来用方程解同一套题，孩子会豁然开朗——原来方程和假设法是一个硬币的两面。解答：10元9张，5元11张。二、植树问题变式题组植树问题是小学阶段最容易“学得不透”的内容之一。原因很简单：教材把三种情况（两端都种、两端不种、只种一端）放在一起讲，课时紧，孩子还没消化完一种情况就跳到了另一种，结果到期末全混了。我的做法是：先让孩子死磕“两端都种”的模型，把这个模型里的“点数比段数多一”彻底搞明白，背下来，然后再去讲另外两种情况是怎么从它变过来的。实际上，两端不种就是在“两端都种”的基础上首尾各去掉一棵，棵数就比段数少一；只种一端就是去掉一端，棵数等于段数。万变不离其宗。变式一：两端都种——道路植树在一条全长200米的小路一边植树，每隔5米种一棵，两端都要种。一共要种多少棵树？思路分析这是植树问题最核心的模型，也是其他变式的根。先求段数：200÷5=关键点拨在讲这道题之前，一定要让孩子伸出手来，数手指：五根手指之间有四个缝。缝就是段，手指就是树，棵数比段数多一。这个动作我在每个班都做，哪怕五年级的孩子，跟着我做一遍，理解程度也不一样。做完还要让他们自己说一遍：“五根手指，四个缝，棵数比段数多一。”这句话记不住，后面全部乱。解答：41棵。变式二：两端不种——路灯杆之间植树在两根电线杆之间种树，两根电线杆相距50米，每隔5米种一棵。一共能种多少棵？思路分析“两根电线杆之间”就是在说两端已经有了东西，不能再种了。这种情况就相当于两端不种。段数：50÷5=先让孩子画图：画出一条线段，两端标记为电线杆，然后每5厘米（或一格）画一个点代表树。画完以后数一数，和算式对照，印象会深刻得多。容易出错的点有些孩子记得“加一减一”，但分不清什么时候加什么时候减。这时就要回到手模型：两只手的大拇指代表两端的电线杆，中间的八根手指是要种的树，中间有九个指缝——不对，这个比喻有点绕。更管用的是让孩子在草稿纸上把线段和树一棵一棵画出来，用走廊两端有门、中间摆花的例子也行，只要能自己画出图来，就不会错。解答：9棵。变式三：只种一端——教学楼前植树教学楼前有一条30米长的路，紧靠教学楼的地方不种树，路的另一端种树，每隔6米种一棵。一共种多少棵？思路分析只种一端的时候，棵树等于段数。段数30÷关键点拨我在课上会用“剪绳子”来比喻：把一条绳子剪成五段，剪的次数就是五下。如果从一头开始，每一刀下去留下一段，五刀五段，棵数等于段数。这个例子孩子接受起来比单纯记公式快得多。解答：5棵。变式四：封闭图形——池塘边植树在一个周长是120米的圆形池塘边植树，每隔8米种一棵。一共要种多少棵？思路分析封闭图形种树，棵数等于段数，因为起点和终点重合了。段数120÷这个知识点经常和长方形、正方形结合考，比如“绕正方形花坛种一圈花”。一定要让孩子在草稿纸上画一个简单的圆或正方形，标上间隔，数一遍，加深“封闭就是起点终点重合，所以段数等于棵数”的认识。解答：15棵。变式五：锯木头——非植树情境的迁移把一根木头锯成8段，每锯开一处需要3分钟，全部锯完需要多少分钟？思路分析锯木头问题的本质，就是植树问题的“两端不种”模型。段数是8段，锯的次数是段数减一，也就是7次。每次3分钟，总时间7×我每次讲这题，都让孩子用掰手指的办法验证：两段要锯一下，三段要锯两下，八段锯七下。手指掰完了，道理也就记住了。千万别让他们记“锯几下等于段数减一”这句话就完事，手指不掰，明天准忘。解答：21分钟。变式六：爬楼梯——时间计算小明从1楼走到4楼用了60秒。照这样的速度，他从1楼走到8楼需要多少秒？思路分析从1楼到4楼，实际上走了4−1=3层楼梯，每层用60÷这道题最容易出现的错误是直接用60秒除以4，以为每层15秒。很多孩子没有意识到1楼到2楼才是一层楼梯，1楼本身就是起点。要让他们在脑子里“走”一遍：1楼到2楼，一层；2楼到3楼，二层；3楼到4楼，三层。一共走了三层用了60秒，所以一层是20秒。这个思维过程必须慢下来，一笔一画地推，比什么口诀都管用。解答：140秒。三、配套工具：数学广角审题分析卡这张卡是我在班上用了好几年的小工具，专门解决孩子读题囫囵吞枣的问题。养成每道题先填卡再动笔的习惯，审题准确率能提高一大截。《数学广角审题分析卡》（可直接打印）审题步骤我的分析与回答（请认真填写）这道题属于哪种类型？（圈选）鸡兔同笼类：□基本型□龟鹤型□倒扣型□替换型□车轮型□货币型/植树问题类：□两端都种□两端不种□只种一端□封闭图形□锯木头□爬楼梯已知的第一个总数是什么？总数名称：（例如：总头数、总船数、总张数……）总数数量：（）已知的第二个总数是什么？总数名称：（例如：总腿数、总人数、总钱数……）总数数量：（）单个两者之间相差多少？相差数量：（）相差的原因：（例如：一只兔比一只鸡多2条腿，一条大船比小船多坐2人……）我准备用哪种方法来解？□画图法□列表法□假设法□方程法草稿区（画出示意图或列出关键算式）（请在此处画图或列式，不要空白）使用提示：这张卡的核心价值在“草稿区”。哪怕孩子前面几栏填得再漂亮，草稿区空着，这道题的理解也要打折扣。我在班上有个硬规定：植树问题草稿区必须画线段图，鸡兔同笼草稿区至少要画三个圆圈加腿的示意图。没有图的审题卡，打回去重做。四、常见误区与避坑指南错误做法背后原因正确策略做鸡兔同笼时，不管什么题型，直接用“（总腿数-总头数×2）÷2”这个公式去套，题目一变形就不会了。老师为了赶进度，直接给了“万能公式”，跳过了画图理解的过程。宁可前面慢一点，用至少一节课专门让孩子画鸡画兔，亲手添腿去腿。公式可以从孩子自己的画图过程中总结出来，但绝不能一上来就塞给他们。我试过一个班先讲公式后画图，一个班先画图后总结，后者的迁移正确率高出将近三十个百分点。植树问题中，孩子死记“加一减一”，遇到“在圆形花坛种花”和“走廊两端有门种花”就完全分不清该加还是该减。没有建立“段数”和“点数”关系的直观理解，全靠口诀判断。永远从线段图出发。每道题先画再算。我在班上要求植树问题的草稿本上必须有图，没有图的解题过程就算对了也要补图，因为这次对了不代表下次还会对。习惯养成了，错误率自然就下来了。锯木头、爬楼梯这类题，孩子直接用总数除以间隔，忘了段数和次数（或层数）之间的差。没有把新情境“翻译”回植树模型，当成单独的新题型死记硬背。统一归到植树问题的框架下讲解。锯木头就是两端不种，爬楼梯就是求段数。每出现一个新情境，先问孩子：“这跟我们在路边种树有什么相似的地方？”自己说出“相似在哪”，才是真的实现了知识迁移。变式练习只做一两道就过，孩子以为自己会了，结果考试换了个数字就卡住。误把“听懂”等同于“会做”，缺乏足量的独立练习。同一变式至少要做三道：第一道老师带着分析，第二道孩子独立完成，第三道换情境再做一遍。做到第三道还能不卡壳，才算把这个变式真正吃下来了。五、老教师的经验贴士我最后再叮嘱一句：数学广角这部分的题，价值远不止于考试那几分。它真正在培养的，是孩子“把没见过的问题，转化成见过的问题”的本事——这个本事，才是往后学数理化最核心