一元流体动力学课件

1一元流体动力学2§3.1

研究流体运动的两种方法

一.拉格朗日方法拉格朗日方法着眼于流体质点，跟踪每个流体质点的运动全过程及描述运动过程中各质点、各物理量随时间变化的规律。又称轨迹法。通常以流体质点的初始坐标点作为区别不同的流体质点的标志。设t=t0时，流体质点的坐标值是（a，b，c）。流体质点的空间位置、密度、压强和温度可表示为：

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流体质点速度为：流体质点加速度为：4

二.欧拉法欧拉法的着眼点不是流体质点，而是空间点。欧拉法是设法在空间的每一点上描述出流体运动参数随时间的变化情况。观测先后流过各空间点的各个质点的物理量变化情况，便能了解整个或部分流场的运动情况，故又称空间点法或流场法。例如在气象观测中广泛使用欧拉法。

由欧拉法特点可知，各物理量是空间点x，y，z，t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：5

加速度可表示为：

式中右端第一项称为时变加速度，表示某空间定点处流体质点速度变化率；右端的后三项称为位变加速度，表示由于流体质点所在的空间位置变化而引起的速度变化率。6§3.2

流体运动的基本概念一.定常流动和非定常流动流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。二.均匀流动和非均匀流动流体运动过程中，若所有物理量皆不随空间点坐标而变，则称此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。三.一维、二维、三维流动在设定坐标系中，有关物理量依赖于一个坐标，称为一维流动，依赖于二个坐标，称为二维流动，依赖于三个坐标，则称为三维流动。平面运动和轴对称运动是典型的二维运动。7

四.迹线与流线迹线是流体质点在空间运动时描绘的轨迹。它给出了同一流体质点在不同时刻的空间位置。流线是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线上每一点的切线都与速度矢量相重合。由流线定义可推出流线的微分方程：空间点的速度与流线相切，即空间点的速度矢量v与流线上微元弧矢量ds的矢量积为零。又：所以：

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即：

上式即为流线微分方程。因为流体中一点不能同时有两个速度方向，流线除在绕流中的驻点等特殊情况外，流线不能相交，也不能转折，只能是光滑曲线。五.流管、过流断面、流量、断面平均流速和水力半径

流管：在流场中任取一条非流线的封闭曲线c，通过此封闭曲线上的每一点作某一瞬时的流线，由这些流线所构成的管状曲面称为流管。由流线定义可知，位于流管表面上的各流体质点的速度与流管表面相切，没有其法向速度分量，因而流体质点不穿越流管壁。

元流：当封闭曲线c所包围的面积无限小时，充满微小流管内的流体称为元流或微小流束。

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总流：当封闭曲线c取在运动流体的边界上时，则充满流管内的流体称为总流。过流断面：与流束或总流的流线相垂直的断面称为过流断面。当流线是平行的直线时，过流断面是平面，否则它是不同形式的曲面。

流量：单位时间内通过过流断面的流体量称为流量。流体量可以用体积、质量和重量表示，其相应的流量分别是体积流量qv（由于体积流量使用较多，故简写为q）

、质量流量qm和重量流量qG。对于元流，由于过流断面dA非常小，可以近似认为元流过流断面上各点的流速在同一时刻是相同的，因此元流的流量为。式中v为点流速。总流的流量则为：10

断面平均流速：作为一维流动，常采用断面平均速度值代替各点的实际流速，称为断面平均流速。断面平均流速是体积流量与过流断面面积之比，即

水力半径：在总流的过流断面上与流体相接触的固体边壁周长称为湿周，用χ表示。总流过流断面面积与湿周χ之比称为水力半径R，即11§3.3

连续性方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表达式。

一、三维流动连续性方程假定流体连续地充满整个流场，从中任取出以点为中心的微小六面体空间作为控制体如右图。控制体的边长为dx，dy，dz，分别平行于直角坐标轴x，12y，z。设控制体中心点处流速的三个分量为,液体密度为。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点M的质点在x方向的分速度为通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。所以单位时间内沿x轴方向流入控制体的质量为13

流出控制体的质量为于是，单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为同理可得在单位时间内沿y，z方向流出与流入控制体的质量差为和由连续介质假设，并根据质量守恒原理知：单位时间内流出与流入控制体的质量差的总和应等于六面体在单位时间内所减少的质量。所以14

整理得此式即为连续性微分方程的一般形式。适用于定常流及非定常流。对于定常流：，上式成为对于均质不可压缩流体，则不论定常流或非定常流均有对二维流动连续性微分方程为

上面四个方程对于理想流体和实际流体均适用。15

二、一维不可压缩流体定常总流连续性方程如图，从总流中任取一段，进、出口断面的面积分别为A1、A2，在从总流中任取一个元流，其进、出口断面的面积和流速分别为dA1、v1；dA2、v2。根据质量守恒原理，单位时间内从dA1流进的流体质量等于从dA2流出的流体质量，即对于不可压缩均质流体，。上式变为

总流是流场中所有元流的总和，所以由上式可写出总流连续性方程16§3.4

欧拉运动微分方程

欧拉运动微分方程是理想流体的运动微分方程，是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用。这里采用微元体积法导出欧拉运动微分方程。如图，在流场中建立直角坐标系oxyz，任取一微元六面体，其边长分别为dx，dy，dz。形心为。a处的压强为，速度为，，，六面体平均密度为，作用在六面体上的力有表面力和质量力。17

以x方向为例进行分析：

1、x方向的表面力由于讨论的流体是理想流体，作用在流体表面上的力只有法向力，其方向为内法线方向。作用在六面体x方向的表面力只在ABCD、EFGH两个面上有分力其余各面为0。则作用在ABCD上的表面力为

作用在EFGH上的表面力为

因此作用在该微元体x方向的表面力为：

182、x方向的质量力设作用在六面体上沿x轴的单位质量力为，则流体质量力在x方向的投影为。根据牛顿第二定律，作用在流体上的诸力在任一轴投影的代数和应等于流体的质量与该轴上加速度投影的乘积。故对x轴有同理可得y、z方向方程。将各式除以微元体质量得理想流体运动微分方程，也称欧拉运动微分方程（见右式）。此式对可压缩及不可压缩或定常流及非定常流的理想流体均适用。19§3.5

伯努利能量方程

一、理想流体运动微分方程的伯努利积分

欧拉运动微分方程只能在满足某些特定条件的情况下才能求其解。这些特定条件为：定常流均质不可压缩流体，即；质量力有势，设W（x、y、z）为质量力势函数，则：

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对定常的有势质量力沿流线积分在定常流条件下沿流线积分就是沿迹线积分，沿流线取微元位移ds（dx，dy，dz）则有上述积分条件称为伯努利积分条件。将流线上所取的ds的三个分量dx，dy，dz分别乘欧拉运动微分方程式，然后将三个等式相加得21

利用上述四个积分条件得因为常数，故上式可以写为积分得此式即为欧拉运动微分方程的伯努利积分，它表明：对于不可压缩理想流体，在有势质量力作用下作定常流时，在同一条流线上值保持不变，该常数值称为伯努利积分常数。对于不同的流线伯努利积分常数一般不相同。22

二、重力作用下理想流体元流的伯努利方程

当元流的过流断面面积趋于0时，元流便是流线。所以前式也适用于元流。若作用在理想流体上的质量力只有重力，则有将其代入前式得对元流任意两断面的中心点或一条流线上的任意两点1与2，上式可改写为此式即为理想流体元流或流线的伯努利方程。23

三、理想流体元流伯努利方程的几何意义与能量意义

1、几何意义伯努利方程式每一项的量纲与长度相同，都表示某一高度。如图：：表示研究点相对某一基准面的几何高度，称位置水头。：表示研究点处压强大小的高度，表示与该点相对压强相当的液柱高度，称压强水头。：称测压管水头。：表示研究点处速度大小的高度，称流速水头。：称总水头。

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伯努利方程表明重力作用下不可压缩理想流体定常流动过程中三种形式的水头可互相转化，但总水头沿流程守恒。

2、能量意义：表示单位质量流体对某一基准具有的位置势能。：表示单位质量流体具有的压强势能。：表示单位质量流体具有的动能。伯努利方程也表明重力作用下不可压缩理想流体定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。

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例题：（毕托管）毕托管是一种测定空间点流速的仪器。如图，若要测定管流液体中A点的流速v，可由测压管测出该点的测压管液柱高度，并在A点下游相距很近的地方放一根测速管。测速管是弯成直角而两端开口的细管，一端的出口置于与A点相距很近的B点处，并正对来流，另一端向上。在B点处由于测速管的阻滞，流速为0，动能全部转化为压能，测速管中液面升高为。

B点称为滞止点或驻点。应用理想流体定常流沿流线的伯努利方程于A、B两点，并取

AB连线所在平面作为基准面，则有26

得即对于实际液体在应用上式计算A点流速时，需考虑液体粘性对液体运动的阻滞作用，以及毕托管放入流场后对流动的干扰，应使用修正系数，对该式的计算结果加以修正。一般小于1，即式中为流速系数，其值一般由试验率定。27

四、实际流体定常元流伯努利方程实际流体具有粘性，因此流动过程中会有能量损失（如发热、发声等）。设元流中单位重量流体由1-1断面流到2-2断面的能量损失为，根据能量守恒定律有，可以写出实际流体元流伯努利方程为：五、实际流体定常总流伯努利方程

1、实际流体总流伯努利方程实际工程的管道或渠道中的流动，都是有限断面的总流。因此，应将元流的伯努利方程推广到总流中去。如后图为实际流体的总流，1-1和2-2为两个过流断面。任取一微元流管，其流管的两个微元断面为dA1i和dA2i，其中的28

微元流束为i，当不可压缩实际流体作定常流动，且质量力只有重力时，列出微元流束中单位重量流体在1-1和2-2断面之间的伯努利方程，得将上式两边乘以重量流量，得

则单位时间流过过流断面1-1和2-2流体的伯努利方程为29

因渐变流过流断面上流体压强按静压强规律分布，即为对上式进行积分运算，需将过流断面取在渐变流过流断面上。这样另外，若以平均流速计算单位时间内通过过流断面的流体动能，则其中为动能修正系数。动能修正系数定义为用真实速度计算的动能与平均流速计算的动能间比值。

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单位时间内流体克服摩擦阻力消耗的能量不易通过积分确定，可令上式为总流从1－1至2－2断面流动中，单位质量流体的平均能量损失，对水而言称水头损失。经前面处理后，可得重力作用下不可压缩实际流体定常总流伯努利方程：即由实际流体总流伯努利方程的各种水头关系图可知，实际流体在流动过程中单位重量流体总机械能沿程减少。31

总流伯努利能量方程是在一定条件下推导出来的，所以应用这一方程时要满足以下限制条件：流动定常；流体上作用的质量力只有重力；流体不可压缩；列伯努利方程的过流断面上的流动必须是渐变流；与断面流速分布有关，因而受流态影响。在渐变流情况下，可取1。

322、有分流或汇流时实际流体总流伯努利方程如图为沿程有分流或汇流的情况。在分流时，。可分别列出断面1、2及断面1、3之间可伯努利方程

将上面第一、二个方程两边分别乘以再相加，得总能量守恒的伯努利方程对于汇流情况，也可分别列出1、3及2、3的伯努利方程，同33

理可得总能量守恒的伯努利方程

3、有机械能输入或输出时总流伯努利方程沿总流两过流断面间装有水泵、风机或水轮机等装置，流体流经水泵或风机时将获得能量，流经水轮机时将失去能量。设流体获得或失去能量头为，则总流伯努利方程为式中前的正、负号，获得能量为正，失去能量为负。34

例题：（文丘里管）文丘里管用于测量管道中的流量。如图，文丘里管由入口段、收缩段、喉部和扩散段组成。在文丘里管入口断面1和喉部处断面2两处测量压差，设断面1、2的平均速度、平均压强和断面面积分别为和，流体密度为。由伯努利方程（忽略能量损失）和连续性方程可得出：取，可得计算流量的公式35

在应用中，考虑到粘性引起的截面上速度分布的不均匀以及流动中的能量损失，计算流量时，还应乘上修正系数，即称为文丘里流量系数，由实验标定。36§3.6动量方程和动量矩方程

一、动量方程

动量方程是动量守恒定律在流体力学中的具体表达。本节讨论流体作定常流动时的动量变化和作用在流体上的外力之间的关系。一般力学中动量定理表述为：物体动量的时间变化率等于作用在该物体上的所有外力的矢量和。在此先建立控制体的概念：所谓控制体是空间的一个固定不变的区域，它的边界面称为控制面。37

如图，现以总流的一段管段为例。取断面1和2以及其间管壁表面所组成的封闭曲面为控制面，内部的空间为控制体。流体从控制面1流入控制体，从控制面2流出，管壁可看成流管，无流体进出。在t时刻流段所具有的动量为经过dt时段后，流段移动到，这时流段所具有的动量为对定常流有

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所以在此流段的总流中任取一元流，设进、出口断面1-1和2-2上的过水面积为dA1、dA2，则

令动量修正系数，则上式可进一步写成其中。将这些关系代入动量定理的表达式中，可得39

上式为恒定流总流动量方程。它是矢量方程，实际上常用三个坐标轴上的投影式表示，即

应用动量方程解题时要注意以下几点：动量方程是一个矢量方程，经常使用投影式。注意外力、速度和方向问题，它们与坐标方向一致时为正，反之为负。在考虑外力时注意控制体外的流体通过进口断面和出口断40

面对控制体内流体的作用力。外力中包含了壁面对流体作用力，而求解问题中往往需要确定流体作用在壁面上的力，这两个力按牛顿第三定理。动量修正系数在计算要求精度不高时，常取1。41

例题：如图，有一水平放置的变直径弯曲管道，d1=500mm，d2=400mm，转角α=45º，断面1-1处流速v1=1.2m/s，压强