高一题型方法一本通下册第七章复数

2/2第七章复数7.1复数的概念一、复数的有关概念1、复数的定义：形如abia，b∈R的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足2、虚数单位：把平方等于1的数用符号i表示，规定i21.我们把i叫作虚数单位3、表示方法：复数通常用字母1表示，代数形式为za4、复数集：(1)定义：全体复数所成的集合.(2)表示：通常用大写字母C表示.【注意】复数概念说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成abia(2)复数的实部是a，虚部是实数b而非bi(3)复数zabi只有在二、复数的分类对于复数ab(1)当且仅当b0(2)当且仅当ab0时，它是实数(3)当b≠(4)当a0且b≠这样，复数za复数【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系三、复数相等在复数集C{abi∣a，b∈R}中任取两个数ab四、复数的几何意义1、复平面当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴.2、复数的几何意义(1)任一个复数zabia(2)一个复数zabia【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为0，0，它所确定的复数是z3、复数的模(1)定义：向量OZ的模r叫做复数za(2)记法：复数zabi的模记为z(3)公式：za五、共轭复数如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数.复数z的共轭复数用z表示，即当zabi示例：z23i【注意】(1)当复数zabi的虚部b0(2)在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等.题型一复数的概念及分类【例1】给出下列说法：(1)复数23i的虚部是(2)形如ab(3)若a∈R，a(4)若两个复数能够比较大小，则它们都是实数.其中错误说法的个数是()A1 B2 C3 D4【变式1】若x、y∈R，则“x0”是“xA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D不充分也不必要条件【变式2】实数m取什么值时，复数lgm(1)纯虚数；(2)实数.题型二复数相等【例2】已知x2y22【变式1】复数43aa2i与复数A1 B1或4 C4 D0或4【变式2】若log2x23题型三复数方程有实根问题【例3】关于x的方程3x2a2【变式1】已知关于x的方程x25ix6【变式2】已知关于t的一元二次方程t22it题型四复数与复平面内点的对应【例4】实数a取什么值时，复平面内表示复数za(1)位于第二象限；(2)位于直线yx【变式1】i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z【变式2】设1isinθ1icos题型五复数与复平面内向量的对应【例5】已知在△ABC中，AB，AC对应的复数分别为12【变式1】在复平面内，向量AB2，A23i B23i C32i【变式2】在复平面内，点A，B，(1)求向量OAOB和AC(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.题型六复数的模及其应用【例6】已知复数z12mim∈R【变式1】设复数z1a2i，zA∞，1⋃1，C1，∞ D0【变式2】已知复数z满足zz28题型七共轭复数【例7】下列命题中：(1)任意两个确定的复数都不能比较大小；(2)zz0⇔z正确的是【变式1】已知复数z1m21m2【变式2】(多选题)给出下列命题，其中是真命题的是()A纯虚数z的共轭复数是z B若z1z20，则C若z1z2∈R，则z1与z2互为共轭复数 D若z7.2复数的四则运算一、复数的加法1、加法法则：设z1规定z1即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数.注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，即z1则z12、加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1有z1二、复数的减法1、相反数：已知复数ab存在唯一的复数abi，使abiabi2、减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1ab即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数.三、复数加法与减法的几何意义1、复数可以用向量来表示，已知复数z1x1如图1，且OZ1和以OZ1和OZ根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量OZO而OZ1O这正是两个复数之和z1z2、复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数z1z2与向量O这就是复数减法的几何意义.【注意】(1)根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差.(2)求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则.(3)在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行.拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：z1四、复数的乘法1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成1，并把最后结果写成abi设z1z1显然两个复数的积仍是复数.2、复数乘法的运算律：对于任意z1(1)z1⋅z(2)z1⋅z2(3)z1⋅z【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立.3、复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立.即对复数z1、zz【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立.4、虚数单位i的乘方计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，ini1从而对于任何n∈N，都有同理可证i4这就是说，如果n∈N，那么有由此可进一步得1i五、复数的除法规定两个复数除法的运算法则：aa在进行复数除法运算时，通常先把abi÷再把分子、分母同乘分母的共轭复数cdi【注意】(1)两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数.(2)zabia，b六、复数方程的解在复数范围内，实系数一元二次方程ax(1)求根公式法：(1)当Δ≥0(2)当Δ<0(2)利用复数相等的定义求解，设方程的根为xm将此代入方程ax2题型一复数的加减运算类型1直接进行加减运算【例1】(1)计算：13(2)已知复数z满足z13i【变式】(1)i15(2)已知复数z1a23i，类型2需要设复数标准式的加减运算【例2】设z1xyix，y∈RAx32y42Cx32y42【变式】(1)设复数z满足zz2i，则(2)已知z4，且z2i是实数，则复数题型二复数加减的几何意义【例2】△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数zA外心 B内心 C重心 D垂心【变式1】A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是坐标原点.A等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等腰直角三角形【变式2】已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2i，向量BA对应的复数为12i，向量BC求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD题型三复数的乘除运算类型1简单的复数乘除运算【例3】(1)设z134iA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限(2)设i为虚数单位，则1i1【变式1】已知复数z3i13i2A14 B12 C1 D2【变式2】若复数ai34i类型2需要设复数标准形式乘除法运算【例2】已知复数z满足zz28【变式1】复数z满足z12i2【变式2】在复数范围内解方程z2zz题型四i的乘方运算【例4】(多选题)已知集合Mm∣min，A1i1i B1i1i C1i【变式1】已知i为虚数单位z1i20201A1 B1 Ci Di【变式2】计算：34i题型五复数方程的解法【例5】在复数集，方程x24【变式1】若虚数12i是关于x的方程xA29 B29 C21 D3【变式2】在复数范围内分解因式：12x【变式3】已知关于x的方程x2kxk22k【变式4】(难)设m，n∈R，关于x的方程x2(1)当α1i时，求β与(2)当m2，n4题型六复数模的最值问题【例6】如果复数z满足zizi2A1 B12 C2 D5【变式1】如果复数z满足z1i2，那么A132 B23i C132 D13【变式2】已知i是虚数单位，设复数z满足z22，求7.3复数的三角表示一、复数的辅角1、辅角的定义：设复数zabi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线(射线OZ)为终边的角θ，叫做复数2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍规定：其中在0≤θ<2【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的.二、复数的三角形式定义：任何一个复数都可以表示成zrcosθisinθ的形式，其中【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连.三、复数的代数式与三角式互化1、将复数zabi(1)ra(2)cosθar，sinθbr2、每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等.四、复数乘法运算的三角表示及其几何意义1、复数乘法运算的三角表示：已知z1则z这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和.2、复数乘法运算三角表示推广：z特别的，当z1z2、复数乘法运算的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，分别画出与OZ2，然后把向量OZ1绕O点按逆时针方向旋转θ2(如果θ2<0，就要把OZ1绕点O五、复数除法运算的三角表示及其几何意义1、复数除法运算的三角表示：已知z则z这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.2、两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕O点按顺时针方向旋转θ2(题型一复数的代数式与三角式互换类型1代数式化为三角式【例1】将下列各复数转化为三角形式(辐角取辐角主值)：(1)23(2)2i(3)13(4)3.类型2三角形式化为代数式【例2】将下列各复数的三角形式转化为代数形式：(1)43(2)6cos(3)32(4)8cos题型二复数的辅角主值【例2】复数zsin5A5π18 B16π9 C2π9【变式1】把复数z1与z2对应的向量OA，OB分别按逆时针方向旋转π4和5π3后，重合于向量A22i，3π4C22i，π4 【变式2】计算icos120A5π6 B7π6 C11π6【变式3】已知复数z满足z1z1z(1)求z；(2)求z的辐角主值.题型三三角形式下复数的乘、除法【例3】计算下列各式：(1)3cos(2)2cos(3)2cos(4)12题型四三角形式下复数乘、除法的几何意义【例4】把复数1i对应的向量按顺时针方向旋转π2【变式1】将复数1i对应的向量OM绕原点按逆时针方向旋转​4​π，得到的向量OA2i B2i C2222i【变式2】如图，向量OZ对应的复数为1i，把OZ绕点O按逆时针方向旋转120∘，得到OZ.求向量OZ'复数专题：利用复数几何意义求与模有关的最值问题一、复数的几何意义每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应.复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应的关系，复数zab二、复数模的几何意义1、向量OZ的模叫做复数zabi的模或绝对值，记作z或abi，即z表示复平面内的点Za2、z1z2的几何意义：复平面中点Z1与点Z2间的距离，如右图所示.示例：z小结：复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若zxyi，则zabi表示复平面内点则zabir表示以a，三、圆外一点到圆上一点的距离最值问题如图所示，点P在圆O上运动，在圆上找一点P使得PA最小(大)如图，当P为OA连线与圆O交点时，PA最小，最小为OAr；当P在AO延长线与圆O交点P'时，PA题型一与复数有关的轨迹(数形结合)【例1】已知复数z13i，z2