（新高一暑假预习）数学人教A版必修第一册充分条件与必要条件（解析版）

2/2第04讲充分条件与必要条件目录TOC\o"1-2"\h\z\u01思维导图与题型归纳 202基础知识梳理 3知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 3知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 3知识点三：充要条件的证明 403题型精讲举一反三 5题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判定 5题型二：充分条件与必要条件的基本性质及应用 6题型三：由充分条件确定参数的取值范围 8题型四：由必要条件确定参数的取值范围 9题型五：由充要条件确定参数的取值范围 11题型六：充要条件的双向证明 13题型七：探求命题成立的充要条件 1504过关测试 18

知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念符号与的含义“若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：．充分条件、必要条件与充要条件①若，称是的充分条件，是的必要条件．②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件．知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到．①“若，则”为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达．知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；③若，且，即，则、互为充要条件；④若，且，则是的既不充分也不必要条件．从集合与集合间的关系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件．知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件．知识点三：充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）知识点诠释：对于命题“若，则”①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题．

题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判定例1．（2026·高一·上海奉贤·期末）已知，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】若，则，故“”是“”的充分条件，若，则，故“”是“”的必要条件，综上可得：“”是“”的充要条件.例2．（2026·高二·安徽·学业考试）设，，则（

）A．既是的充分条件，也是的必要条件B．是的充分条件，但不是的必要条件C．是的必要条件，但不是的充分条件D．既不是的充分条件，也不是的必要条件【答案】C【解析】由可得或，命题不一定推出命题，命题不是命题的充分条件；命题可推出命题，命题是命题的必要条件，是的必要不充分条件．故选：C.例3．（2026·高一·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（

）A．B．C．：：关于的方程有两个实数解D．中，中，【答案】D【解析】对于A，若则或，则，所以不是的充分条件，故A不符合；对于B，若，则且或且，则，所以不是不充分条件，故B不符合；对于C，若关于的方程有两个实数解，则，解得且，则，所以不是不充分条件，故C不符合；对于D，在中，可得，则，所以是的充分条件，故D符合.故选：D.变式1．（2026·高一·江西·阶段检测）“为整数”是“为整数”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，为整数，故不一定是整数，而当是整数时，一定是整数，所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件.故选：A.变式2．（2026·高一·山东菏泽·阶段检测）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（

）A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件【答案】B【解析】由已知有，，，，，由此得且，故AC不正确；，，故B正确；且，故D不正确．故选：B．题型二：充分条件与必要条件的基本性质及应用例4．（2026·高一·上海·期中）下列是成立的一个充分非必要条件的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A,由于不能推出，故A错误，对于B,由可得，故可得，但可得，无法得到，故是成立的一个充分不必要条件，B正确，对于C，由可得，由于无法得知的符号，所以无法确定，故C错误，对于D,，故是成立的充分必要条件，D错误，故选：B例5．（2026·高一·河北·阶段检测）已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】B【解析】使得条件p成立的一个充分不必要条件应为或的真子集，只有或满足要求.故选：.例6．（2026·高一·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（

）条件是“能扫天下”A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】“能扫天下”一定得到“能扫一屋”，所以“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件.故选：A.变式3．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知条件，则使得条件成立的一个充分不必要条件是（

）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】由题意得，解得或，故使得条件成立的一个充分不必要条件应为或的真子集，其中满足要求，其他选项不满足.故选：A变式4．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）下面四个条件中，使成立的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A，“”能推出“”，但“”不能推出“”，故满足题意；对于B，“”不能推出“”，故选项B不是“”的必要条件，不满足题意；对于C，“”不能推出“”，故选项B不是“”的必要条件，不满足题意；对于D，“”不能推出“”，故选项C不是“”的必要条件，不满足题意.故选：A.题型三：由充分条件确定参数的取值范围例7．（2026·高一·河北保定·期中）已知集合，集合或．(1)若，求实数的取值范围；(2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围．【解析】（1）已知A={x|3≤x≤6}，B={x|x≤m−1或x≥2m−1}，若，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组：m−1<32m−1>6解得，即m的取值范围为；（2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B，因此有两种情况：①A⊆{x|x≤m−1}，此时，解得；②，此时，解得，综上，m的取值范围是或.例8．（2026·高一·陕西渭南·期末）设全集，集合，.(1)当时，求;(2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围.【解析】（1）当时，集合，又因为全集，所以，因为集合，所以（2）因为“”是“”的充分条件，所以.又因为集合，，所以.即的取值范围为.例9．（2026·高一·湖南娄底·期末）设全集，集合，.(1)若，求集合；(2)命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【解析】（1），，所以或，；（2）因为是的充分不必要条件，所以且，所以，其中等号不同时成立，解得，所以实数的取值范围是.变式5．（2026·高一·福建三明·阶段检测）已知全集，集合，.(1)若，求，；(2)若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，因为，所以；；（2）若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集，当时，，此时，满足是的真子集，当时，则，解得：，且和不能同时成立，综上所述：实数a的取值范围为.变式6．已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______．【答案】【解析】命题对应集合，命题对应集合或，若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，则有或，解得或，即，又，故的取值范围为.题型四：由必要条件确定参数的取值范围例10．（2026·高一·上海·期末）已知集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【解析】（1）若，则，得；若，则，因为，所以或，得或，则，综上，实数的取值范围为；（2）因为，所以，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，则，且等号不同时成立，得，故实数的取值范围为.例11．（2026·高一·广东深圳·期末）已知集合.(1)若，求和；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【解析】（1）当时，，因为，所以或，.（2）因为“”是“”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集，当时，，解得；当时，要使集合B是集合A的真子集，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.例12．（2026·高一·陕西宝鸡·期末）已知集合，.(1)若，求；(2)若是的必要条件，求实数的取值范围.【解析】（1），当时，所以；（2）由（1）得，，因为是的必要条件，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是.变式7．（2026·高一·四川凉山·期末）已知集合或．(1)当时，求；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【解析】（1）因为，所以或或所以，或（2）因为是的必要不充分条件，则是的真子集．则或，所以或，所以实数m的取值范围为或.变式8．设，(1)用列举法表示集合A并写出集合A的所有子集；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的值.【解析】（1）由题可知集合中元素满足方程，解得或，即集合所以集合的所有子集是，，，.（2）因为“”是“”的必要条件，所以，当时，无解，则；当时，，则；当时，，则，综上所述，实数的值为或或题型五：由充要条件确定参数的取值范围例13．（2026·高一·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合.(1)若是的必要条件，求实数m的取值范围;(2)是否存在实数m，使是的充要条件.【解析】（1）∵是的必要条件，故，∴，解得，即所求实数m的取值范围是.（2）∵若是的充要条件，则，∴，由于该方程组无解，即不存在实数m，使是的充要条件.例14．（2026·高一·广东东莞·阶段检测）已知集合.(1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由；(2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围.【解析】（1）若存在实数，使得是成立的充要条件，则.故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件.（2）因为，所以，故，由是成立的必要不充分条件，得真包含于，所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又，所以的取值范围为.例15．已知集合，集合．(1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围；(2)若是成立的充要条件，求实数的值．【解析】（1）由题意A是B的真子集，所以，即，所以实数的取值范围为.（2）因为是成立的充要条件，所以,所以，即．即实数的值为2．变式9．（2026·高二·陕西咸阳·阶段检测）已知，．(1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】（1）要使是的充要条件，需使，即，此方程组无解，故不存在实数，使是的充要条件．（2）要使是的必要条件，需使．当时，，解得，满足题意；当时，，解得，要使，则有，解得，所以．综上可得，当实数时，是的必要条件．变式10．（2026·高一·湖南郴州·阶段检测）设集合，；(1)用列举法表示集合；(2)若是的充要条件，求实数的值.【解析】（1）集合，即；（2）由已知，，若是的充要条件，则，，.题型六：充要条件的双向证明例16．已知，证明：“”是“”的充要条件.【解析】先证充分性：由得，则，因此；再证必要性：由，得，由，得，因此，则所以“是“”的充要条件.例17．（2026·高一·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是【解析】（1）关于的一元二次方程.因为，所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）必要性：若关于的方程有一个根为1，则，充分性：若，则关于的方程有一个根为1，所以关于的方程有一个根为1的充要条件是；例18．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）设集合.(1)11和36是集合中的元素吗？若是，请说明理由.(2)证明：属于的两个整数，其积也属于；(3)写出“偶数（）属于”的一个充要条件并证明.【解析】（1）因为，，所以，；（2）设这两个整数分别为，则集合中的元素，所以．因为，所以，，则成立.（3）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数．充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M．必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数．变式11．（2026·高一·上海·期中）已知A是R的非空真子集，如果对任意，都有，，则称A是封闭集.(1)判断集合，是否为封闭集，并说明理由；(2)命题p：若非空集合，是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件.请判断命题p的真假，并说明理由.【解析】（1）是封闭集，不是封闭集，理由如下：对于集合，因，故是封闭集；对于集合，因，故集合不是封闭集．（2）真命题，理由如下：若，不妨任取，则有，又集合是封闭集，则，同理，因此，即是封闭集；反之，若是封闭集，则是非空集合，即，故是是封闭集的充要条件，命题是真命题．变式12．（2026·高一·河北邢台·阶段检测）已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，.(1)设集合，若，求的取值集合；(2)设，证明：“”的充要条件是“”；(3)设，且，证明：.【解析】（1）因为是正实数集的一个子集，，所以，又因为，则，解得，所以的取值集合为.（2）充分性：若，则，则由①可知，故由，可得.必要性：由，设，若，则由，可得，由，可得，矛盾.若，则由，可得，由，可得，符合题意.若，则由，可得，由，可得，矛盾.故由，可得.综上可知：“”的充要条件是“”.（3）由④可知，因为，则，设，可知，则，可得，且，，可得，所以.题型七：探求命题成立的充要条件例19．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是______.【答案】【解析】是该方程有两个异号实根的充要条件，证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根，设两根为，所以，且，所以.充分性：由可推出，从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、，则，由知：，即两根异号，所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根.因此是方程有两个异号实根的充要条件.故答案为：例20．关于的方程有两个负实根的充要条件是______．【答案】【解析】充分性：由题意可得，即得，充分性成立；必要性：若，则此时，满足方程有两个负实根，必要性成立．故关于的方程有两个负实根的充要条件是充要条件是．故答案为：例21．（2026·高一·上海·阶段检测）设x，，已知，则的一个充分必要条件是______.【答案】【解析】因为，所以的一个充分必要条件是.故答案为：变式13．写出关于，，的等式成立的一个充要条件：______．【答案】【解析】将等式整理得，即，即．故原式的等价于：．故答案为：变式14．（2026·高一·北京海淀·阶段检测）设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是________．【答案】（只需与等价即可）.【解析】，所以，“”的充分必要条件是“”.故答案为：（只需与等价即可）.

1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）“”是“”成立的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】由题可得，，充分性不成立；，必要性成立2．（25-26高一下·上海闵行·期中）设集合、是全集的两个子集，则是的（

）A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】D【解析】若，可得，但集合不一定等于全集，所以充分性不成立；例如：设全集，集合，此时满足，但集合不是集合的子集，所以必要性不成立，综上可得，是的既非充分也非必要条件.3．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则，是充分条件，若，则推不出，比如：也可以，所以“”是“”的充分不必要条件.4．（2026·云南昆明·模拟预测）已知的三条边长为a，b，c，则“是等边三角形”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为且且是等边三角形，所以“是等边三角形”是“”的充要条件.5．（25-26高一下·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若，解得，即等价于.对于选项A：因为集合与集合之间不存在包含关系，可知是的既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B：因为集合与集合相等，可知是的充要条件，故B错误；对于选项C：因为集合是集合的真子集，可知是的充分不必要条件，故C正确；对于选项D：因为集合是集合的真子集，可知是的必要不充分条件，故D错误.6．（25-26高一上·湖北孝感·期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先讨论充分性：当时，，故能推出；当时，，由得，故，即能推出，所以“”是“”充分条件成立；再讨论必要性：取，此时满足，但不满足，所以必要性不成立.综上，“”是“”的充分不必要条件.故选：A7．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，若，则，BA，若，则，BA，若，则，BA，∴BA的一个充分不必要条件是.故选：B8．（24-25高三·全国·一轮复习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由不等式，可得（不合题意），要使得是的一个充分条件，则满足，解得.故选：D.9．（多选题）（25-26高一上·山东德州·阶段检测）“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（）A． B． C． D．【答案】CD【解析】因为集合只有个真子集，所以集合中有个元素，因为，则有：当时，，当时，，当时，，因集合中只有个元素，则，所给选项中：，，所以只有C和D中的范围符合充分不必要条件，故选：CD.10．（多选题）（25-26高一上·福建福州·期中）下列说法正确的是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．“为无理数”是“都为无理数”的必要不充分条件C．是的充分不必要条件D．设，则“”是“”的充要条件【答案】CD【解析】对于A，令，则，所以充分性不成立，若，则一定有，所以必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故A错误；对于B，令，则为无理数，但为有理数，故充分性不成立，令，则，所以必要性不成立，综上，“为无理数”是“都为无理数”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C，因为，所以，充分性成立，当时，比如，但，故不一定推出，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；对于D，由，可得，解得，故“”是“”的充要条件，故D正确.故选：CD11．（多选题）（25-26高一上·安徽阜阳·期中）“”的一个必要不充分条件可以是（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】设，选项对应的集合为N，因为题中所求的是“”的一个必要不充分条件，所以M是N的真子集，是的真子集；故选:AC.12．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）命题“”是命题“”的____________条件．【答案】必要不充分【解析】设命题，命题，由推不出，如时，满足，但，所以充分性不满足；由能推出，因为，即，所以且，所以是的必要不充分条件.即命题“”是命题“”的必要不充分条件.13．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题：方程有实数根，命题：；那么是的________条件.（充分