（新高一暑假预习）人教A版(2019)数学必修一集合的概念与表示（含解析）

集合的概念与表示（解析版）知识知识梳理一、元素与集合的概念1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示.2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.3.集合中元素的特征：确定的，互异性，无序的.4.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.注意点：二、元素和集合之间的关系1.元素和集合之间的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素a∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A的元素a∉Aa不属于集合A2.常用数集及其记法名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N+ZQR注意点：(1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写.(2)0属于自然数集.三、集合的表示1.列举法——把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.注意点：(1)元素间用“，”隔开.(2)当元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{}”括起来即可，不必考虑元素间的顺序.(3)当元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}.(4)这里，集合的“{}”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼.2.一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法.注意点：(1)描述法表示集合，要先看代表元素，再看代表元素的共性.(2)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}.(3)“{}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}是错误的.3．图示法图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法.题型导航题型导航题型1集合的理解1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（

）A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人【答案】C【知识点】判断元素能否构成集合【分析】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误.【详解】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的，故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意；对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的，所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意；对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意；对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的，故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。故选：C.2．（25-26高一上·重庆·月考）下列各组对象中，能构成集合的是（

）A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题D．美丽的小鸟【答案】C【知识点】判断元素能否构成集合【分析】根据集合的概念逐项分析即可得结论.【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合；对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合；对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合；对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合.故选：C.3．（25-26高一上·天津和平·月考）下列各组对象不能构成集合的是（

）A．所有的正方形 B．方程的整数解C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员【答案】C【知识点】判断元素能否构成集合【分析】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案.【详解】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意；对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解，具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意；对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意；对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性，能构成集合，D不符合题意；故选：C4．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列给出的对象能构成集合的有（）①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值；③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解.A．①② B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【知识点】判断元素能否构成集合【分析】根据题意结合集合的三要素逐项分析判断即可.【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确；对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误；对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误；对于④：不等式，即的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确；故选：B.题型2判断是否为同一集合5．（25-26高一上·江苏泰州·月考）下列各项中表示同一集合的是（

）A．B．C．D．【答案】B【知识点】判断是否为同一集合【分析】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案.【详解】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误；B选项，是同一个集合，B正确；C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误；D选项，为点集，为数集，D错误.故选：B6．（25-26高一上·河北·月考）已知集合，则下列与相等的集合个数为（

）①②③④A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【知识点】列举法表示集合、判断是否为同一集合【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果.【详解】对于①，；对于②，中解得，故；对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，，所以；对于④，.所以与M相等的集合个数有2个.故选：C.7．（2025高一上·上海·专题练习）下列与集合表示同一集合的是（）A． B．C． D．【答案】C【知识点】列举法表示集合、判断是否为同一集合【分析】据集合的定义及表示方法求解即可.【详解】选项A：是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误；选项B：是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误；选C：解方程，因式分解得，解得或，因此集合，与原集合是同一集合，故C正确；选项D：是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误.故选：C8．（24-25高一上·湖南永州·月考）若集合，且，则实数的值为（

）.A．或 B． C． D．或【答案】D【知识点】根据集合相等关系进行计算【分析】根据集合相等可得，运算求解即可.【详解】因为，且，则，解得或.故选：D.题型3判断元素与集合的关系9．（25-26高一上·广西河池·期末）以下选项中，是集合的元素的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】判断元素与集合的关系【分析】判断是否是方程的解，即可得解.【详解】对于方程，显然，，均不是方程的解，是方程的解，所以是集合的元素，故C正确；，，均不是集合的元素，故A、B、D错误.故选：C10．（25-26高一上·上海·期末）用符号或填空：设集合D是由满足的有序实数对组成的，则______D．【答案】【知识点】判断元素与集合的关系【分析】利用元素与集合的关系直接判断即可.【详解】是有序实数对，且满足，故．故答案为：11．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，则与集合的关系为（）A． B．C． D．【答案】B【知识点】判断元素与集合的关系【分析】化简集合，由集合与元素之间的关系即可求解.【详解】，所以与集合的关系为，故选项B正确，其他选项都错误.故选：B.12．（25-26高一上·贵州遵义·月考）“设自然数集为”，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】判断元素与集合的关系【分析】求出集合，再逐个选项进行判断.【详解】，所以，A错误；，B错误；，C错误；，D正确；故选：D题型4根据元素与集合的关系求参数13．（25-26高一上·广东河源·期中）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（

）A． B． C．1 D．4【答案】C【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】根据元素与集合的关系求出参数即可.【详解】因为，所以，解得．故选：C.14．（25-26高一上·天津河北·月考）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____．【答案】【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数【分析】由题意得，或，或，进而分别求解，结合集合元素的互异性可得结论.【详解】因为，，所以，或，或，若，则，所以，解得或，当时，，符合题意，当时，，不符合题意；若，则，又，方程无解；若，则，解得或，当时，，不符合题意，当时，，符合题意；综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为.故答案为：.15．（25-26高一上·云南普洱·期中）已知集合，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】借助集合与元素关系计算即可得.【详解】由题意可得，解得.故选：A.16．（25-26高一上·四川·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________．【答案】【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】根据，得到，求解即可.【详解】若，则满足该不等式，代入得，则，则，故答案为：.题型5自然语言表示集合17．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）在平面内，到点的距离等于8的点的集合是__________.【答案】以点为圆心，以8为半径的圆【知识点】自然语言表示集合【分析】根据圆的定义求解.【详解】在平面内到点的距离等于8的点的集合是：以点为圆心，以8为半径的圆.故答案为：以点为圆心，以8为半径的圆.18．（24-25高一上·全国·课前预习）常用数集及其记法全体自然数组成的集合简称________，记作_____；全体正整数组成的集合简称________，记作_____或_____；全体整数组成的集合简称________，记作_____；全体有理数组成的集合简称________，记作_____；全体实数组成的集合简称________，记作_____；全体正实数组成的集合简称________，记作_____；【答案】自然数集正整数集整数集有理数集实数集正实数集【知识点】自然语言表示集合【分析】略【详解】略19．（24-25高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合：(1)；(2)；(3).【答案】(1)小于10的正奇数构成的集合；(2)大于的实数构成的集合；(3)大于2且小于20的所有质数构成的集合.【知识点】自然语言表示集合【分析】根据题设中的集合，集合中元素的性质进行描述，即可求解.【详解】（1）解：因为集合表示：小于10的正奇数构成的集合；（2）解：集合表示：大于的实数构成的集合；（3）解：集合表示：大于2且小于20的所有质数构成的集合.20．（24-25高一上·上海·随堂练习）两条平行直线的交点组成的集合是________．（用符号表示）【答案】【知识点】自然语言表示集合【分析】直接根据平行线的定义及空集的符号得到答案.【详解】两条平行直线没有交点，所以它们交点组成的集合是空集.故答案为：.题型6描述法表示集合21．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】描述法表示集合【分析】由题设可得，进而求解即可.【详解】由，得，解得，则不等式的解集为.故选：B22．（25-26高一上·北京·月考）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】描述法表示集合【分析】分析可知集合的元素为点的坐标，结合选项分析判断.【详解】因为函数的图象可以看成函数的图象上的点的集合，即集合的元素为点的坐标，所以“函数的图象”的集合表示.故选：C.23．（25-26高一上·湖南岳阳·月考）下列用描述法表示的集合，正确的是（

）A．奇数集可以表示为B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为C．表示大于2的全体实数D．不等式的解集表示为或【答案】AC【知识点】描述法表示集合【分析】根据集合的描述法逐一分析判断即可得解.【详解】对A，时，表示所有的奇数，A正确；对B，表示小于10的实数集，B错；同理可得C正确；对D，不是不等式的解，D错.故选：AC.24．（25-26高一上·安徽六安·月考）用描述法表示下列集合：(1)被5除余3的正整数组成的集合；(2)正偶数组成的集合；(3)函数的图象上所有的点组成的集合.【答案】(1)(2)(3)【知识点】描述法表示集合【分析】（1）利用描述法来表示集合；（2）利用描述法来表示集合；（3）利用描述法来表示集合；【详解】（1）被5除余3的正整数组成的集合是.（2）正偶数组成的集合是.（3）函数的图象上所有的点组成的集合是.题型7列举法表示集合25．（25-26高一上·上海静安·期末）已知集合，，则__________．【答案】【知识点】列举法表示集合【分析】解一元二次方程化简集合，再根据集合的概念和表示方法求解即可.【详解】由可得，解得或，所以，故答案为：26．（25-26高二上·湖南·月考）将集合用列举法表示是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】列举法表示集合【分析】根据集合的表示方法求解.【详解】因为，且，所以符合要求的的所有取值为，所以集合用列举法表示是.故选：C.27．（25-26高一上·四川·月考）定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】列举法表示集合【分析】分，和三种情况讨论，结合定义即可得解.【详解】当时，，则，当时，，则，当时，，则，综上所述，.故选：B.28．（25-26高一上·山东济南·期中）已知集合，则集合的所有元素之和为______.【答案】5【知识点】列举法表示集合【分析】解方程确定集合中的元素，再求它们的和.【详解】由或.所以.则集合中的元素之和为.故答案为：5题型8根据集合性质求个数问题29．（25-26高一上·河南焦作·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（

）A．3 B．4 C．6 D．9【答案】B【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】由进行求解.【详解】由条件知，解得.故选：B30．（25-26高一上·山东德州·月考）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】集合新定义、利用集合中元素的性质求集合元素个数【分析】根据新定义运算求得，进而确定正确答案.【详解】由，得时的值恒为1.当时，；当时，.所以，元素个数为2.故选：B31．（25-26高一上·四川·月考）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（

）A．3 B．5 C．6 D．7【答案】C【知识点】集合元素互异性的应用、列举法求集合中元素的个数【分析】根据集合中元素的互异性可得出答案.【详解】根据集合中元素的互异性，.即A中的元素个数为6，故选：C32．（25-26高一上·北京·期中）定义某种运算“”如下：，则集合中的元素个数是______【答案】9【知识点】集