人教A版（2019）新高一数学暑假初高中衔接讲义第1讲 集合的概念（含答案解析）

2/2第01讲集合的概念目录TOC\o"1-2"\h\z\u01思维导图与题型归纳 202基础知识梳理 3知识点一：集合的有关概念 3知识点二：集合的表示方法 403题型精讲举一反三 5题型一：集合基本概念 5题型二：元素与集合的关系判定 6题型三：集合元素性质及解题应用 7题型四：列举法 8题型五：描述法 9题型六：集合表示方法综合运用 10题型七：集合概念拓展探究 1204过关测试 14

知识点一：集合的有关概念1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合．知识点诠释：（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体．（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素．2、关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．（3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合．知识点诠释：集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”．3、元素与集合的关系：（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作4、常用数集及其表示非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R知识点二：集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…．2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．知识点诠释：（1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．（2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．

题型一：集合基本概念【例1】（24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（

）A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数C．的近似值 D．3班的高个子同学【答案】A【解析】对于A，描述的对象“与给定A，B等距离的点”确定，是线段的垂直平分线，故A中的对象能构成集合；对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故B中的对象不能构成集合；对于C，描述的对象“的近似值”中，“近似值”没有给出精确度，该对象不具有确定性，故C中的对象不能构成集合；对于D，描述的对象“3班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故D中的对象不能构成集合.【变式1-1】下列各组对象能组成集合的是（

）A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生B．深圳中学高中园2025级幽默的学生C．深圳中学高中园2025级所有女生D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科【答案】C【解析】对于ABD，羽毛球打得好，幽默的学生，学生感兴趣的学科，都没有一个标准，对象不确定，故ABD错误；对于C，2025级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确．故选：C．【变式1-2】（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（

）A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人【答案】C【解析】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的，故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意；对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的，所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意；对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意；对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的，故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。故选：C.【变式1-3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（

）A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题D．美丽的小鸟【答案】C【解析】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合；对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合；对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合；对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合.故选：C.题型二：元素与集合的关系判定【例2】（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，，故A选项正确，BCD错误.【变式2-1】（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，故B正确．【变式2-2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知，，所以，故A正确；，故B错误；因为集合中元素为，而非集合，故CD错误．【变式2-3】（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，当时，，所以，故A错误.对于B，在内无解，所以，故B错误.对于C，当时，，所以，故C正确.对于D，由，得，故，故D错误.题型三：集合元素性质及解题应用【例3】（25-26高一上·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（

）A． B．1 C．0 D．或1【答案】A【解析】由题意可知或，解得或．当时，集合为，符合题意；当时，，不满足集合中元素的互异性所以．故选：A．【变式3-1】（25-26高一上·河北沧州·期末）已知，则实数的值是（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】，则或，当，则集合为，满足集合的互异性，当，则集合为，不满足集合的互异性，故舍去，故.故选：A【变式3-2】设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，解得.∵，∴满足条件的组成的集合为．【变式3-3】（25-26高一上·广东河源·期末）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（

）A． B． C．1 D．4【答案】C【解析】因为，所以，解得．故选：C.题型四：列举法【例4】用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)既是质数又是偶数的整数组成的集合；(3)一次函数与的图象的交点组成的集合C；(4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合.【解析】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以.（2）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为；（3）联立，解得，所以一次函数与的交点为，所以.（4）易知国旗颜色有黄色与红色，所以集合为{黄色，红色}.【变式4-1】用列举法表示下列集合：(1)方程的实数根组成的集合；(2)大于10而小于20的合数组成的集合；(3)方程组的解集组成的集合．【解析】（1）因为方程的实数根为，集合表示为.（2）大于10而小于20的合数有12，14，15，16，18，集合表示为；（3）由，得，方程组的解集可表示为.【变式4-2】（24-25高一上·四川凉山·阶段检测）用列举法表示下列给定的集合：(1)方程的实数根组成的集合C；(2)一次函数与的图象的交点组成的集合D．【解析】（1）解方程得：或，所以集合；（2）解方程组得：，所以集合.【变式4-3】用列举法表示下列集合：(1)方程的解组成的集合；(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合；(3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合．【解析】（1）方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为.（2）由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素，因此可以用列举法表示为．（3）函数y的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因此可以用列举法表示为．题型五：描述法【例5】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合：(1)被5除余3的正整数组成的集合；(2)正偶数组成的集合；(3)函数的图象上所有的点组成的集合.【解析】（1）被5除余3的正整数组成的集合是.（2）正偶数组成的集合是.（3）函数的图象上所有的点组成的集合是.【变式5-1】用描述法表示下列集合：(1)不等式的解组成的集合；(2)正偶数组成的集合；(3)函数的图像上所有的点组成的集合．【解析】（1）集合中的元素是数，设代表元素为x，则x满足，所以，即．（2）正偶数组成的集合是；（3）函数的图像上所有的点组成的集合是【变式5-2】用描述法表示下列集合：(1)1000以内被3除余2的正整数组成的集合；(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合．【解析】（1）1000以内被3除余2的正整数组成的集合为，且；（2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合且．【变式5-3】用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；(2)抛物线上的点组成的集合；(3)使函数有意义的实数x组成的集合．【解析】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为；（2）由点在抛物线上，故集合为；（3）由，则，故集合为.题型六：集合表示方法综合运用【例6】已知集合，在下列集合中：（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有________．（填序号）【答案】（1）（2）（3）【解析】对于（1），由，可得，，一一对应，则，故（1）符合；对于（2），由，可得，，一一对应，则，故（2）符合；对于（3），由，可得，，一一对应，则，故（3）符合；对于（4），，但方程无实数解，则与不相同，（4）不符合.故答案为：（1）（2）（3）【变式6-1】已知集合，则中的元素个数为_______．【答案】4【解析】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．由集合C中元素满足互异性，所以．故答案为：4【变式6-2】已知集合，，则集合B中元素的个数为______.【答案】6【解析】因为，，，所以时，；时，或，时，或3或4.，所以集合B中元素的个数为6.故答案为：6.【变式6-3】已知均为非零实数，则代数式的值所组成的集合的元素个数是______．【答案】2【解析】根据题意分2种情况讨论：当全部为负数时，为正数，则；当全部为正数时，为正数，则；当一正一负时，为负数，则；综上可知，的值为或3，即代数式的值所组成的集合的元素个数是2故答案为：2题型七：集合概念拓展探究【例7】（25-26高一上·北京·期中）定义某种运算“”如下：，则集合中的元素个数是______【答案】9【解析】因为，且，若的奇偶性相同，则，满足条件的有，，，，；若的奇偶性不相同，则，满足条件的有，，，；综上所述：集合中的元素个数是9.故答案为：9.【变式7-1】（25-26高一上·上海·期中）定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________．【答案】【解析】因为，所以，又，所以，所以集合中所有元素乘积为，故答案为：【变式7-2】（21-22高一上·河北沧州·月考）定义集合､的一种运算：，若，，则___________.【答案】【解析】∵，，，∴故答案为：{2，3，4，5}【变式7-3】（25-26高一上·江苏苏州·期中）定义集合，若集合，，则集合中包含______个元素．【答案】3【解析】因为集合，，根据定义可得，所以集合中包含3个元素，故答案为：3

1．已知集合，，，若，，则必有（）A． B．C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个【答案】B【解析】由题意设，，其中都是整数，则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数，∴.2．（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）下列集合表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于A，根据集合的定义及表示方法可知A正确对于B，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故B错误对于C，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故C错误对于D，表示集合的符号使用错误，对于有，，共个元素的集合表示为，故D错误．3．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】已知，，当时：，；当时：，；当时：，；由集合的互异性得，元素个数为.4．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（

）A．0或4 B．4 C．0或 D．0【答案】C【解析】集合，表示关于的方程的解集，当时，解得，则，符合题意；当时，，解得，此时，符合题意,综上可得或.5．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【解析】数集表示的是自然数集，，，，，中元素的个数是.6．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，，，.7．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个【答案】B【解析】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是.故集合的元素个数是4.故选：B8．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（

）A．3 B．4 C．6 D．9【答案】B【解析】由条件知，解得.故选：B9．（多选题）（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（

）A． B．C．2 D．4【答案】BD【解析】由，，若时，或，当时，集合不符合题意舍去，当时，集合符合题意，若时，则，此时集合不符合题意舍去，若时，即，解得：或，当时，集合符合题意，当时，集合不符合题意舍去，综上所述：或，故选：BD.10．（多选题）（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）如果集合只有一个元素，则的值是（

）A．0 B．4 C． D．2【答案】AC【解析】集合，表示关于的方程的解集，当时，解得，则，符合题意；当时，，解得，此时，符合题意；综上可得或.故选：AC11．（多选题）（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知，且均不为空集，对于集合，我们把集合{}记作.例如，，则有.当集合有3个元素，且最大元素不大于2时，称集合为一个集合键.那么，下列说法中正确的是（

）A．若，则中有3个元素B．若，则C．若，则是一个集合键D．集合键共有6个【答案】ABD【解析】对于A，由集合，可得，所以中有3个元素，所以A正确；对于B，由集合，根据的定义，可得，所以B正确；对于C，由集合，可得，此时中有4个元素，所以不是一个集合键，所以C错误；对于D，要使得中有个元素，且最大元素不大于，则有：；；；；；；，共计6个，所以共有6个集合键，所以D正确.故选：ABD.12．（25-26高一上·上海·期中）集合用列举法表示为________．【答案】/【解析】可化为，由，有，解得.又由，得可能取值为，，．，得，满足条件；，，不满足条件；，得，满足条件．综上，集合用列举法表示为．13．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则B集合中所有元素之和