小学数学人教版四年级下册 7 图形的运动（二）

小学数学人教版四年级下册7图形的运动（二）小学数学四年级下册“图形的运动（二）”知识清单一、轴对称图形（核心概念与性质）（一）轴对称图形的定义【基础】【必会】在平面内，如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做这个图形的对称轴。轴对称图形的这一性质，描述了图形的一种特殊对称关系，即存在一条直线，使得图形关于这条直线具有镜像对称的特性。例如，等腰三角形、正方形、长方形、圆等都是常见的轴对称图形。理解这一概念的关键在于“对折”和“完全重合”，这是判断一个图形是否为轴对称图形以及寻找对称轴的实践基础。（二）轴对称图形的性质【重要】【核心考点】1.对应点（对称点）：如果一个图形是轴对称图形，那么沿着对称轴折叠后，能够完全重合的两个点称为关于这条对称轴的对应点，也叫对称点。例如，在轴对称图形中，点A和点A’是一组对称点。2.对应线段与对应角：完全重合的线段称为对应线段，完全重合的角称为对应角。对应线段长度相等，对应角大小相等。3.对称点与对称轴的关系【高频考点】：对称点的连线与对称轴互相垂直。这意味着，如果你连接任意一组对称点，所形成的线段会被对称轴垂直平分。这是轴对称图形最核心的几何特征，也是后续学习画图的基础。4.对称轴的性质：对称轴是任意一组对称点连线的垂直平分线。它不一定只经过图形的顶点，也可能经过图形的边或穿过图形的内部。（三）对称轴的条数【基础】【常考】不同图形的对称轴数量不同，需要准确掌握常见图形的对称轴条数：1.线段：有2条对称轴。一条是它所在的直线（本身），另一条是它的垂直平分线。但在小学阶段，我们通常只考虑将图形分成两部分的直线，所以对于一条单独的线段，主要掌握其垂直平分线为对称轴。2.角：有1条对称轴，即这个角的角平分线所在的直线。3.等腰三角形：有1条对称轴，即底边上的中线（或顶角平分线、底边上的高）所在的直线。4.等边三角形：有3条对称轴，即每条边上的中线（或高、内角平分线）所在的直线。5.长方形：有2条对称轴，即对边中点连线所在的直线。注意：对角线所在的直线不是长方形的对称轴，因为沿对角线折叠，长方形两侧部分不能完全重合。6.正方形：有4条对称轴，即两条对角线所在的直线和两条对边中点连线所在的直线。7.等腰梯形：有1条对称轴，即上、下底中点连线所在的直线。8.圆：有无数条对称轴，任何一条经过圆心的直线都是圆的对称轴。9.正n边形：当n为奇数时，有n条对称轴（每个顶点与对边中点连线）；当n为偶数时，也有n条对称轴（相对顶点连线和相对边中点连线）。（四）补全轴对称图形的方法（“画另一半”）【难点】【操作核心】这是本单元的核心技能，要求能根据给定的对称轴和图形的一半，补全整个轴对称图形。操作步骤如下（简称“找、定、连”三步法）：1.找（找关键点）：找出已知图形上所有的关键点。关键点通常指图形的顶点、拐点、线段的端点等能决定图形形状和位置的点。例如，画一个三角形的另一半，就需要找到原三角形的三个顶点。2.定（定对称点）：利用“对称点到对称轴的距离相等”这一性质，找出每个关键点关于对称轴的对称点。1.3.过关键点作对称轴的垂线（用虚线），并延长。2.4.测量关键点到对称轴的距离（即关键点到垂足的距离）。3.5.在延长线上，从垂足出发，截取与关键点到垂足相同长度的点，该点即为关键点的对称点。可以用尺子量，也可以用圆规截取。6.连（顺次连接）：按照原图形关键点的连接顺序，用线段将找出的所有对称点顺次连接起来，即可得到完整的轴对称图形。★【重要提示】：画图时必须使用直尺和铅笔，保证线条平直、清晰。所作垂线、延长线等辅助线要用虚线，最后画出的图形轮廓要用实线。补全的图形应与原图形关于对称轴完全重合。二、平移（核心概念与性质）（一）平移的定义【基础】【必会】在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移不改变图形的形状、大小和自身方向，只改变图形的位置。例如，在格子图中将一个小房子向左移动5格，房子的外形、朝向都没有变，只是整体移动到了新位置。（二）平移的两个要素【基础】【常考点】1.平移的方向：包括水平方向（向左、向右）、竖直方向（向上、向下）以及沿任意直线方向。在方格纸上，通常用“向左”、“向右”、“向上”、“向下”来描述。2.平移的距离：即图形移动的格数或长度。在方格纸上，我们一般通过数格子来确定平移的距离。★【易错点】：数平移格数时，要从原图形的对应点开始数起，数到平移后该对应点所在的位置，而不是数图形之间的空白格。例如，一个点从第1列移到第5列，它平移了4格，而不是5格。（三）平移的性质【重要】1.平移前后，图形的形状和大小完全不变。对应线段平行（或在同一直线上）且相等。2.平移前后，对应角相等。3.平移前后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。这条线段的长短就代表了图形平移的距离，其方向代表了平移的方向。（四）在方格纸上画平移后的图形【操作核心】给定一个图形和一个平移要求（如“向右平移5格”），画出平移后的图形。操作步骤如下：1.选（选关键点）：与补全轴对称图形类似，首先在已知图形中选出能决定图形形状和位置的关键点（如顶点、端点等）。选择的关键点不宜过多，要能控制住图形的轮廓。2.移（移关键点）：按照题目要求的平移方向和距离，逐一移动每个关键点。1.3.例如，要求“向右平移5格”，就将每个关键点都水平向右数5格，找到它们移动后的对应点。在数格时，要以原关键点为准，一格一格地数到新位置，并用铅笔点上小点作为标记。4.连（连点成图）：将平移后得到的各个关键点，按照原图形的连接顺序，用线段顺次连接起来，就得到了平移后的图形。★【注意】：在连接时，要确保新图形的连接顺序与原图形一致，否则会画错形状。例如，原图形是三角形，连接顺序是ABCA，那么新图形也必须是A’B’C’A’。三、利用平移解决问题（应用与拓展）（一）不规则图形的面积与周长计算【难点】【高频考点】运用平移的知识，可以将一些不规则的、复杂的图形通过“割补”或“平移”的方法，转化成我们学过的规则图形（如长方形、正方形），从而简化计算。这种方法体现了数学中重要的“转化”思想。1.【典型例题1：求面积】：一个花坛的形状如图所示（类似一个“L”形），求它的面积。可以把这个“L”形通过平移，补成一个长方形。例如，将左边凸出的部分平移到右边，或者将上面凸出的部分平移到下面，从而得到一个完整的长方形。长方形的长和宽可以通过原图形给出的数据计算出来，进而求出面积。在平移过程中，图形的面积保持不变。★【解题步骤】：（1）观察图形，寻找可以通过平移使其变成长方形或正方形的部分。（2）在脑海中或草稿纸上进行平移操作，确定平移后的图形。（3）根据原图数据，推算出新长方形的长和宽。（4）运用长方形（或正方形）面积公式进行计算。2.【典型例题2：求周长】：求一个阶梯状图形或不规则封闭图形的周长。可以通过将图形中的某些线段进行平移，使其围成一个规则的长方形或正方形，再计算周长。★【解题步骤】：（1）分析图形的边，看哪些水平的线段可以通过上下平移，与其他的水平线段对接；哪些竖直的线段可以通过左右平移，与其他的竖直线段对接。（2）经过平移后，图形的外围变成一个标准的长方形（或正方形）。（3）新长方形的长就是原图形最上面与最下面水平跨度的总和，宽就是原图形最左与最右竖直跨度的总和。（4）计算这个长方形的周长，即为原图形的周长。★【重要提示】：在平移求周长的过程中，只是将线段的位置进行了移动，线段本身的长度没有变化，因此平移前后图形的周长不变。（二）生活中的平移现象【基础】【联系实际】1.物体沿着直线运动：例如，电梯的上下移动、推拉窗的左右移动、抽屉的推入和拉出、传送带上的物品、升降旗、在平直公路上行驶的汽车（忽略车轮转动，只看车身的移动）等。2.图形在方格中的移动：例如，七巧板的拼图移动、电脑屏幕上的图标拖动等。四、综合与拓展（思维提升）（一）轴对称与平移的异同点比较【难点】【理解辨析】1.相同点：都是一种图形运动，运动前后图形的形状和大小都不发生改变（即只改变位置）。2.不同点：1.3.运动方式不同：轴对称是图形的翻折（镜像），平移是图形的滑动。2.4.运动方向不同：轴对称有一条固定的直线（对称轴），图形翻转到直线的另一侧；平移则沿着某个方向（直线方向）移动一定的距离。3.5.图形方向是否改变：轴对称改变了图形的“方向”（例如，左手在镜子中变成了右手，图形翻转了），而平移不改变图形的自身方向，图形上的每个点都朝着同一个方向移动。（二）设计图案【实践与创新】利用轴对称和平移可以设计出美丽的图案。例如：1.通过多次平移一个基本图形，可以得到漂亮的二方连续纹样。2.先画出一个基本图形，然后利用轴对称画出它的另一半，再对整个图形进行平移，创造出复杂而规则的图案。这个过程不仅巩固了对图形运动的理解，也培养了空间想象能力和创造力。（三）网格作图综合练习【重要】【必考】在方格纸上进行综合作图是本单元最常见的考查形式。常见题型包括：1.画出给定图形的另一半，使其成为轴对称图形（给出对称轴）。2.画出将给定图形向上（或下、左、右）平移若干格后的图形。3.在同一个图中，先完成一个变换，再进行另一个变换。例如：先画出三角形关于直线L的轴对称图形，再画出这个新图形向右平移4格后的图形。★【考查方式】：此类题目不仅考察学生对轴对称和平移性质的掌握，更考察他们的作图规范、细心程度和空间想象能力。画图前要认真审题，看清要求；画图时要准确找点，规范连线；画图后要仔细检查，确保图形位置、形状正确。五、核心考点与常见题型分析（一）【高频考点】基础概念判断题题型：给出一些陈述句，让学生判断正误。示例：1.长方形有4条对称轴。（×）2.平行四边形是轴对称图形。（×）【注：普通平行四边形不是轴对称图形，但特殊的如菱形、长方形是】3.物体平移后，大小和形状都不会改变。（√）4.平移后的图形，每个点移动的距离都相等。（√）5.对称轴是一条线段。（×）【对称轴是直线】★应对策略：准确记忆和理解各种图形的基本概念和性质。（二）【高频考点】数对称轴题型：给出一个图形（如正六边形、五角星、组合图形），让学生画出所有对称轴并数出条数。示例：长方形有（2）条对称轴，正方形有（4）条，圆有（无数）条。★应对策略：熟练掌握常见平面图形的对称轴条数，对于复杂图形，要能通过观察或动手折叠（想象）来确定。（三）【高频考点】确定平移的方向和距离题型：在方格纸上给出一个图形和它平移后的图形，问这个图形向什么方向平移了多少格。示例：图中的小房子从A位置移到了B位置，它是向（右）平移了（7）格。★【易错警示】：一定要以图形上的一个关键点（如最左边的点、最上边的顶点）为参照物，看这个点向什么方向移动了多少格到达对应点。不能看图形之间的空隙。（四）【必考题型】操作与实践作图题这是本单元分值最高、最核心的题型，通常出现在试卷的“动手操作”部分。1.补全轴对称图形：1.2.要求：画出下面图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。2.3.评分标准：关键点找全、对应点位置准确、连线规范、图形清晰。4.画出平移后的图形：1.5.要求：将三角形向右平移5格，再向下平移3格。2.6.评分标准：关键点移动准确、新图形与原图形形状一致、标注清晰（有时要求用虚线画原图，实线画新图）。7.综合应用：1.8.要求：先画出平行四边形关于直线L的轴对称图形，再画出这个新图形向上平移4格后的图形。2.9.评分标准：能正确完成两次变换，图形最终位置准确无误。（五）【难点与压轴】利用平移求周长或面积题型：给出一个由多个小正方形拼成的不规则图形，或一个阶梯状的图形，求它的周长或面积。有时会结合实际问题，如计算“花坛的面积”、“小路铺砖的面积”等。示例1：求下面“凸”字形图形的周长。思路：将图形上方左右两侧的竖线向下平移，与底部竖线对接；将上方中间部分的横线向上平移，与顶部横线对接，最终形成一个长方形。求出这个长方形的周长即可。示例2：求下面图形中阴影部分的面积。思路：观察阴影部分的形状，如果是不规则的，尝试通过平移，将其拼成一个规则的图形进行计算。★【解题要点】：遇到不规则图形，首先要树立“转化”的意识，思考能否通过平移（有时是割补）的方法，将问题简化。找准平移的方向和距离，将分散的部分“拼”在一起。（六）易错点归纳【重要】1.混淆轴对称与平移：轴对称是翻折，方向相反；平移是滑动，方向一致。2.补全轴对称图形时对应点找错：没有准确作出垂线，或者距离量取错误。3.平移时数错格数：没有以关键点为准，而是以图形边缘或空白处为准。4.画平移图形时，连接顺序错误：导致新图形形状与原图不一致。5.求组合图形对称轴时，漏数或多数。6.在解决实际问题（如铺地砖、围篱笆）时，未能正确运用平移转化思想，导致列式错误。六、学习建议与思维培养（一）动手操作，积累经验学习图形的运动，离不开直观的操作。建议多用纸片折一折、剪一剪，在方格纸上画一画、移一移。通过亲身实践，深刻理解轴对称和对折的关系，理解平移和距离、方向的关系。这种“做中学”的方式能有效降低学习难度，建立空间观念。（二）想象与推理并重在能够熟练操作的基础上，逐步脱离实物，尝试在脑海中对图形进行“想象运动”。例如，看到图形的一半，能想象出另一半的样子；看到平移要求，能在脑海里预想出图形移