2026版《金版教程》高考一轮复习数学第一章 考点测试5 一元二次不等式的解法

高考总复习首选用卷数学考点测试5一元二次不等式的解法基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678难度★★★★★★★★对点不含参数的一元二次不等式的解法分式不等式的解法三个二次的关系不含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法一元二次不等式的能成立问题不含参数的一元二次不等式的解法由一元二次不等式的解求参数的取值范围题号91011121314151617难度★★★★★★★★★★★★★★对点分式不等式分式不等式恒成立问题一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用含参数的一元二次不等式的解法不含参数的一元二次不等式的解法；一元二次不等式的恒成立问题一元二次不等式的应用三个二次的关系一元二次不等式的恒成立问题题号1819202122232425难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★对点三个二次的关系一元二次不等式的实际应用由一元二次不等式的解求参数的取值范围一元二次不等式的恒成立问题由一元二次不等式的解求参数的取值范围一元二次不等式的恒成立问题由一元二次不等式组的解求参数不含参数的一元二次不等式的解法；含参数的一元二次不等式的解法高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，中、低等难度考点研读1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3．会解一元二次不等式1．不等式－3<4x－4x2≤0的解集是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x≤0或1≤x<\f(3,2)))))B．{x|x≤0或x≥1}C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(3,2)))))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(1,2)或x≥\f(3,2)))))答案：A解析：不等式可化为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x2－4x≥0，,4x2－4x－3<0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0或x≥1，,－\f(1,2)<x<\f(3,2)，))所以－eq\f(1,2)<x≤0或1≤x<eq\f(3,2).故选A.2．不等式eq\f(1－x,2＋x)≥0的解集为()A．[－2，1]B．(－2，1]C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)答案：B解析：原不等式化为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－x）（2＋x）≥0，,2＋x≠0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）（x＋2）≤0，,x＋2≠0，))解得－2＜x≤1.3．设一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则ab的值为()A．－1 B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,4) D．－eq\f(1,2)答案：B解析：由题意可知方程ax2＋bx＋1＝0的根为－1，2，由根与系数的关系得－1＋2＝－eq\f(b,a)，－1×2＝eq\f(1,a)，解得a＝－eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,2)，所以ab＝－eq\f(1,4).4．(2025·江苏南通如皋部分学校高三诊断测试)已知集合A＝{x|x2－8x＋7≥0}，B＝{y|y2－10y＋16<0}，则A∩B＝()A．{x|7≤x<8} B．{x|7<x≤8}C．{x|2≤x<7} D．{x|2<x≤7}答案：A解析：因为A＝{x|x2－8x＋7≥0}＝{x|x≤1或x≥7}，B＝{y|y2－10y＋16<0}＝{y|2<y<8}，所以A∩B＝{x|7≤x<8}．故选A.5．(2025·山东枣庄八中阶段考试)不等式ax2－(a＋1)x＋1≥0(a<0)的解集为()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)≤x≤1)))) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(1≤x≤\f(1,a)))))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,a)或x≥1)))) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≤1或x≥\f(1,a)))))答案：A解析：原不等式可化为(ax－1)(x－1)≥0，即aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)≥0，又a<0，故eq\f(1,a)<1，y＝ax2－(a＋1)x＋1的图象开口向下，故原不等式的解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)≤x≤1)))).故选A.6．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2) B．(－∞，－2)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)答案：B解析：令f(x)＝x2－4x－2－a，则函数f(x)为开口向上且以直线x＝2为对称轴的抛物线，故在区间(1，4)上，f(x)<f(4)＝－2－a，若不等式x2－4x－2－a>0在区间(1，4)内有解，则－2－a>0，解得a<－2，即实数a的取值范围是(－∞，－2)．故选B.7．(2024·天津南开中学高三模拟)已知p：x2＋2x－3<0，q：x2＋x－2<0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：由p：x2＋2x－3<0，得－3<x<1；由q：x2＋x－2<0，得－2<x<1，则p是q的必要不充分条件．故选B.8．关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为()A．(5，6] B．(5，6)C．(2，3] D．(2，3)答案：A解析：关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0可化为(x－m)(x－2)<0，∵该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x|2<x<m}，且5<m≤6，即实数m的取值范围是(5，6]．故选A.9．(2025·江苏苏州中学月考)不等式eq\f(ax＋1,x＋b)>1的解集为{x|x<－1或x>4}，则eq\f(x＋a,bx－1)≥0的解集为()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－6≤x<－\f(1,4))))) B．{x|－1≤x<1}C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－6≤x≤－\f(1,4))))) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)≤x≤1))))答案：A解析：不等式eq\f(ax＋1,x＋b)>1可转化为[(a－1)x－b＋1](x＋b)>0，其解集为{x|x<－1或x>4}，所以a>1，且方程(ax－x－b＋1)(x＋b)＝0的两个根为x1＝－1，x2＝4，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＋1－b＋1＝0，,4＋b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a－4－b＋1＝0，,－1＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝－4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1))(舍去)，即有eq\f(x＋6,－4x－1)≥0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋6）（－4x－1）≥0，,－4x－1≠0，))解得－6≤x<－eq\f(1,4).所以eq\f(x＋a,bx－1)≥0的解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－6≤x<－\f(1,4))))).故选A.10．对任意实数x，不等式eq\f(3x2＋2x＋2,x2＋x＋1)>k恒成立，则正整数k的值为()A．1 B．2C．3 D．4答案：A解析：∵x2＋x＋1恒为正数，∴原不等式等价于3x2＋2x＋2>kx2＋kx＋k对x∈R恒成立，即(k－3)x2＋(k－2)x＋k－2<0恒成立，∵当k＝3时，x＋1＜0不恒成立，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－3<0，,Δ<0，))Δ＝(k－2)2－4(k－3)(k－2)＝(k－2)(k－2－4k＋12)＝(k－2)(10－3k)．由Δ<0，得k<2或k>eq\f(10,3).又k<3，∴k<2，∵k为正整数，∴k＝1.11．(多选)设[x]表示不小于实数x的最小整数，则关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为()A.eq\r(10) B．3C．－4.5 D．－5答案：BC解析：不等式[x]2＋[x]－12≤0可化为([x]＋4)([x]－3)≤0，解得－4≤[x]≤3.又[x]表示不小于实数x的最小整数，且[eq\r(10)]＝4，[3]＝3，[－4.5]＝－4，[－5]＝－5，所以不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为3，－4.5.故选BC.12．(多选)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)，则下列说法正确的是()A．若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，则k＝－eq\f(2,5)B．若不等式的解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R，x≠\f(1,k)))))，则k＝eq\f(\r(6),6)C．若不等式的解集为R，则k<－eq\f(\r(6),6)D．若不等式的解集为∅，则k≥eq\f(\r(6),6)答案：ACD解析：因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，所以(－3)＋(－2)＝eq\f(2,k)，解得k＝－eq\f(2,5)，故A正确；因为不等式的解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R，x≠\f(1,k)))))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝4－24k2＝0，))解得k＝－eq\f(\r(6),6)，故B错误；由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝4－24k2<0，))解得k<－eq\f(\r(6),6)，故C正确；由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k>0，,Δ＝4－24k2≤0，))解得k≥eq\f(\r(6),6)，故D正确．故选ACD.13．若a<0，则关于x的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax－a2<0，,x2－ax－2a2<0))的解集为________．答案：(a，－a)解析：因为a<0，所以由ax－a2＝a(x－a)<0，得x>a，由x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)<0，得2a<x<－a.所以原不等式组的解集为(a，－a)．14．已知三个不等式：①x2－4x＋3<0；②x2－6x＋8<0；③2x2－9x＋m<0.则同时满足①②的x的取值范围为________．要使同时满足①②的所有x的值满足③，则实数m的取值范围为________．答案：(2，3)(－∞，9]解析：由①得1<x<3，由②得2<x<4，故同时满足①②的x的取值范围为(2，3)．要使同时满足①②的所有x的值满足③，即不等式2x2－9x＋m<0在x∈(2，3)上恒成立，即m<－2x2＋9x在x∈(2，3)上恒成立，又－2x2＋9x在x∈(2，3)上大于9，所以实数m的取值范围为(－∞，9]．15．已知点A(－3，－1)与点B(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B．(－7，24)C．(－24，7)D．(－∞，－7)∪(24，＋∞)答案：B解析：由题意可得(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，解得－7<a<24.故选B.16．(2024·四川德阳博雅明德高级中学高三适应性考试)关于x的不等式x2≤ax－b的解集是{4}，那么logab＝()A．1 B.eq\f(3,4)C．12 D.eq\f(4,3)答案：D解析：x2≤ax－b即x2－ax＋b≤0，因为解集为{4}，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4×2，,b＝42，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝8，,b＝16，))则logab＝log816＝log2324＝eq\f(4,3).故选D.17．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2，若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是()A．(－∞，1] B．[－2，1]C．[－1，2] D．[－1，＋∞)答案：B解析：解法一：当a>2，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－ax－2a2，x≥a，,－x2＋ax－2a2，2<x<a，))当2<x<a时，f(x)＝－x2＋ax－2a2，此时Δ＝a2－4×2a2＝－7a2<0，所以f(x)<0，不满足当x>2时，f(x)>0，故a>2不符合题意；当0<a≤2，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)，由f(x)>0，解得x>2a，由于当x>2时，f(x)>0，故2a≤2，解得a≤1，所以0<a≤1；当a＝0，x>2时，f(x)＝x2>0恒成立，符合题意；当a<0，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)，由f(x)>0，解得x>－a，由于当x>2时，f(x)>0，故－a≤2，解得a≥－2，所以－2≤a<0.综上，a的取值范围是[－2，1]．故选B.解法二：f(x)＝x|x－a|－2a2(x>2)．当x≥a时，f(x)＝x2－ax－2a2，令g(a)＝－2a2－xa＋x2，因为Δ＝x2＋8x2＝9x2>0，所以－2a2－xa＋x2>0，解得－x<a<eq\f(x,2)，因为x>2，所以－2≤a≤1；当x<a时，f(x)＝－x2＋ax－2a2，g(a)＝－2a2＋xa－x2，因为Δ＝x2－8x2＝－7x2<0，所以g(a)>0不成立，不符合题意．综上，a的取值范围为[－2，1]．故选B.18．(2024·福建南平二模)关于t的实系数二次不等式t2＋(b－1)t＋a<0的解集为(－2，－1)，若ax－by＝1(x，y∈R)，则2x－y的最小值为()A.eq\f(1,2) B.eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)答案：C解析：因为关于t的实系数二次不等式t2＋(b－1)t＋a<0的解集为(－2，－1)，所以－2，－1是一元二次方程t2＋(b－1)t＋a＝0的根，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2－1＝－（b－1），,－2×（－1）＝a，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4，))所以2x－4y＝1，即2x＝4y＋1，所以2x－y＝eq\f(1＋4y,2y)＝2y＋eq\f(1,2y)≥2eq\r(2y·\f(1,2y))＝2，当且仅当y＝0，x＝1时取等号，所以2x－y的最小值为2.故选C.19．(多选)某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－k＋\f(4500,x)))L，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的值可以为()A．60 B．80C．100 D．120答案：ABC解析：由汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，得eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(120－k＋\f(4500,120)))＝11.5，解得k＝100，故每小时的油耗为eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4500,x)))－20，由题意得eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4500,x)))－20≤9，结合x>0，解得45≤x≤100，又60≤x≤120，故60≤x≤100，所以速度x的取值范围为[60，100]．故选ABC.20．(多选)(2024·辽宁葫芦岛协作校高三第二次联考)若关于x的不等式x2＋7a<(7＋a)x的解集恰有50个整数元素，则下列说法正确的是()A．a的值可能为－43B．这50个整数元素之和可能为－925C．a的值可能为57.5D．这50个整数元素之和可能为1625答案：BCD解析：不等式x2＋7a<(7＋a)x等价于不等式(x－a)(x－7)<0.当a＝7时，(x－a)(x－7)<0的解集为∅，不符合题意；当a<7时，(x－a)(x－7)<0的解集为(a，7)，则50个整数解为－43，－42，…，5，6，所以－44≤a<－43，这50个整数元素之和为eq\f(（－43＋6）×50,2)＝－925；当a>7时，(x－a)(x－7)<0的解集为(7，a)，则50个整数解为8，9，…，56，57，所以57<a≤58，这50个整数元素之和为eq\f(（8＋57）×50,2)＝1625.综上所述，a的取值范围是[－44，－43)∪(57，58]，这50个整数元素之和为－925或1625.故选BCD.21．(2025·四川南充阆中中学高三开学考试)已知实数a，b满足4a＋b－ab＝0，且ab>0，若关于t的不等式a＋b≥t2＋5t＋3恒成立，则实数t的取值范围是________．答案：[－6，1]解析：ab>0，则a，b同号，又4a＋b－ab＝0，则a，b只能同正.4a＋b－ab＝0，变形得eq\f(4,b)＋eq\f(1,a)＝1，则a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝eq\f(4a,b)＋eq\f(b,a)＋5≥2eq\r(\f(4a,b)·\f(b,a))＋5＝9，当且仅当eq\f(4a,b)＝eq\f(b,a)，且eq\f(4,b)＋eq\f(1,a)＝1，即a＝3，b＝6时取等号．由于a＋b≥t2＋5t＋3恒成立，则9≥t2＋5t＋3，解得－6≤t≤1.故实数t的取值范围是[－6，1]．22．(2025·江苏无锡一中月考)若关于x的不等式k|x|>|x－2|恰好有4个整数解，则实数k的取值范围为________．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(2,3)))解析：因为k|x|>|x－2|≥0，所以由题意，得不等式(k2－1)x2＋4x－4>0恰好有4个整数解，且k>0，所以首先eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2－1<0，,Δ＝16＋16（k2－1）＝16k2>0，))解得0<k<1，又方程(k2－1)x2＋4x－4＝0的根为x＝eq\f(－4±4k,2（k2－1）)＝eq\f(2∓2k,1－k2)，即x＝eq\f(2,1＋k)或x＝eq\f(2,1－k)，所以不等式(k2－1)x2＋4x－4>0的解集为eq\f(2,1＋k)<x<eq\f(2,1－k)，因为0<k<1，所以1<eq\f(2,1＋k)<2，所以不等式(k2－1)x2＋4x－4>0的4个整数解只能是2，3，4，5，所以5<eq\f(2,1－k)≤6，又因为0<k<1，所以解得eq\f(3,5)<k≤eq\f(2,3)，即实数k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(2,3))).23．(2025·湖南长沙一中阶段考试)已知x2＋x＋5≤ax2＋2ax＋c≤2x2＋5x＋9对任意x∈R恒成立，则a＋c＝________．答案：eq\f(17,2)解析：令x2＋x＋5＝2x2＋5x＋9，解得x＝－2，故7≤4a－4a＋c≤7，即c＝7，则x2＋x＋5≤ax2＋2ax＋7，所以(a－1)x2＋(2a－1)x＋2≥0对任意x∈R恒成立，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1>0，,Δ＝（2a－1）2－8（a－1）≤0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,（2a－3）2≤0，))解得a＝eq\f(3,2)；同理，由ax2＋2ax＋7≤2x2＋5x＋9对任意x∈R恒成立，可得a＝eq\f(3,2).综上，a＝eq\f(3,2)，则a＋c＝eq\f(17,2).24．(2024·黑龙江部分重点中学高三模拟)已知a，b，c，p为实数，不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax2＋bx＋c>0，,bx2＋cx＋a>0，,cx2＋ax＋b>0))的解集为{x|x>p}，则p＝________，min{a，b，c}＝________．答案：00解析：先证明a，b，c都不小于零，不妨假设a<0，考虑不等式ax2＋bx＋c>0，因为不等式组有解集，故不等式ax2＋bx＋c>0必定有解，设方程ax2＋bx＋c＝0的