2026年精算师非寿险精算考前冲刺卷

2026年精算师非寿险精算考前冲刺卷一、单项选择题（本题型共10题，每题2分，共20分。每题只有一个备选项符合题意。）1.在非寿险精算中，对于混合频率分布，假设索赔频率服从参数为(αA.αB.1C.βD.12.某险种的损失额X服从参数为θ的指数分布，现引入绝对免赔额d。若不考虑通货膨胀及其他费用，则每张保单的期望纯保费将变为原来的：A.B.SC.1D.3.在信度理论中，Bühlmann信度因子Z的计算公式为Z=，其中KA.观察期年数B.过程方差的均值C.假设均值的方差D.过程方差的均值与假设均值的方差之比4.对于链梯法准备金评估，假设累计赔案的流量三角形数据为，其中i为事故年，j为进展年。若进展因子为，则第i事故年的最终损失估计值为：A.×B.×C.×D.×5.在广义线性模型（GLM）中，对于索赔频率模型，通常选择的连接函数和分布族是：A.Log连接函数，正态分布B.Logit连接函数，二项分布C.Log连接函数，泊松分布D.Identity连接函数，伽马分布6.某保险公司承保了具有正态分布损失的险种，均值为μ，方差为。若采用方差原理计算保费，即P=E[XA.次可加性B.可加性C.齐次性D.平移不变性7.在再保险安排中，对于超额赔款再保险，若原保险人的自留额为M，损失随机变量为X，则再保险人承担的赔付金额期望为：A.EB.EC.ED.E8.关于未决赔款准备金评估方法，Bornhuetter-Ferguson方法（B-F法）与链梯法的主要区别在于：A.B-F法只利用了已报案赔款数据B.B-F法结合了链梯法的外部趋势和先验的期望最终损失C.B-F法完全依赖于精算师的主观判断D.B-F法不适用于长尾业务9.假设索赔强度Y服从对数正态分布LN(μA.−B.C.D.μ10.在汽车保险的奖惩系统（BMS）中，如果转移概率矩阵是正则的，则经过长期运行后，各个等级中的保单持有者比例将：A.趋向于0B.趋向于1C.收敛于稳态分布D.随时间周期性波动二、多项选择题（本题型共5题，每题4分，共20分。每题有两个或两个以上备选项符合题意。）11.下列关于非寿险定价中成本构成的说法，正确的有：A.保险成本主要由赔款支出、理赔费用、投资收益构成B.理赔费用可分为直接理赔费用和间接理赔费用C.投资收益通常用于抵扣部分保费，从而降低投保人负担D.保费计算中不需要考虑公司的利润目标12.在使用广义线性模型（GLM）进行非寿险定价时，模型通常由三个要素组成，包括：A.随机分量（分布族）B.系统分量（线性预测项）C.连接函数D.残差项13.关于信度理论，下列说法正确的有：A.完全信度标准通常基于正态近似B.部分信度是观察数据权重与先验信息权重的加权平均C.Bühlmann-Straub模型是Bühlmann模型的推广，考虑了风险暴露数的变化D.信度因子Z的取值范围一定在[014.对于聚合风险模型S=，其中N为索赔频率，为索赔额。若N服从复合泊松分布，则下列性质成立的有：A.EB.VC.VD.矩母函数(15.在准备金评估中，Mack模型假设包括：A.累计赔款的进展因子相互独立B.不同事故年的累计赔款相互独立C.方差与累计赔款的某一幂次成正比，即VD.累计赔款必须服从对数正态分布三、判断题（本题型共10题，每题1.5分，共15分。请判断各题说法的正确与否。）16.在非寿险中，如果损失额分布具有厚尾特征，使用均值原理计算保费通常比方差原理更稳健。17.链梯法假设未来的赔款进展模式与过去的进展模式一致，即进展因子是稳定的。18.对于零截断负二项分布，其取值范围是k=19.在进行费率厘定时，若有足够的历年数据，应优先采用链梯法而不是赔付率法。20.极大似然估计法（MLE）总是能够给出参数的无偏估计。21.停止损失再保险能够使原保险人的赔付额方差最大程度地降低，在所有具有相同期望赔付额的再保险合同中。22.如果随机变量X服从帕累托分布，则其尾部密度函数比指数分布衰减得更快。23.在GLM模型中，如果使用Log连接函数，则解释变量的系数表示解释变量每增加1单位，因变量增加的倍数（在其他变量不变的情况下）。24.准备金评估中的CapeCod方法不需要选定先验的期望最终损失，而是利用历史赔付率进行估计。25.奖惩系统（BMS）在稳定状态下，保单持有者的平均等级主要取决于系统的转移规则和初始索赔频率。四、简答题（本题型共4题，每题10分，共40分。）26.请简述非寿险精算中“信度加权”方法在费率厘定中的应用原理，并写出信度因子Z的表达式及其各参数含义。27.请阐述链梯法与Bornhuetter-Ferguson方法在未决赔款准备金评估中的核心思想差异，并说明在何种情况下B-F法优于链梯法。28.在广义线性模型（GLM）中，解释“连接函数”的作用，并列举索赔频率建模和索赔强度建模中常用的两种连接函数。29.简述再保险的主要功能，并比较比例再保险与非比例再保险（超额赔款再保险）在风险分散效果上的异同。五、综合计算题（本题型共5题，共105分。要求写出计算过程、公式及最终结果，使用LaTex格式。）30.（本题20分）某保险公司对某类车险业务进行了损失分析。已知单个保单的索赔次数N服从参数为λ的泊松分布，索赔金额X服从参数为α和θ的帕累托分布，其密度函数为：f已知α=3,(1)计算单个保单的期望赔付额E[(2)现计划引入绝对免赔额d=500，计算免赔后保险公司每张保单的期望赔付次数(3)计算免赔后，保险公司每次有效索赔的期望赔付金额（即E[(4)计算免赔后，保险公司每张保单的期望纯保费E[31.（本题25分）某保险公司使用Bühlmann-Straub信度模型来计算下一年度的费率。已知某风险类别在过去3年的索赔数据如下：第1年：风险暴露数为=50，经验平均赔付额第2年：风险暴露数为=80，经验平均赔付额第3年：风险暴露数为=70，经验平均赔付额该险种的总体先验平均赔付额（假设均值）μ=通过结构参数估计得到：过程方差的均值（期望过程方差）E假设均值的方差V(1)计算总的风险暴露数n。（5分）(2)计算Bühlmann-Straub信度因子Z。（10分）(3)计算该风险类别下一年度的信度估计费率。（10分）32.（本题20分）某保险公司某业务的累计赔款流量三角形如下表所示（单位：万元）：事故年进展年0进展年1进展年2进展年320221000150018001900202312001600195020241100155020251300(1)使用链梯法，计算各进展年的选定进展因子,,(2)估计2025事故年的最终损失及未决赔款准备金。（10分）33.（本题20分）假设某险种的损失X服从均值为2000，标准差为1000的正态分布（为简化计算，可忽略负值概率或假设已进行截断处理）。保险公司购买了超额赔款再保险，自留额M=(1)计算原保险人自留部分的期望赔付额E[(2)计算再保险人承担部分的期望赔付额E[(注：若Φ(z)为标准正态分布的分布函数，ϕ34.（本题20分）某地区的汽车保险奖惩系统（BMS）具有3个等级：0%（等级1），20%（等级2），40%（等级3）。折扣率即为保费折扣。转移规则如下：若本年度无索赔，则等级降一级（最低为等级1）；若本年度有一次或多次索赔，则等级升两级（最高为等级3）。假设某保单持有人每年的索赔次数服从参数为q的泊松分布。已知q=(1)写出该保单持有人从等级1转移到等级3的概率。（5分）(2)写出该保单持有人从等级2转移到等级1的概率。（5分）(3)建立一步转移概率矩阵P。（10分）答案与解析一、单项选择题1.B解析：负二项分布的方差Var(N)=（此处参数化为泊松-伽马混合时，通常记为r,p或α,β，若λ∼Gamma(α,β)，则E[N]=α/β,Var(N)=α/β+α/=2.D解析：对于指数分布，生存函数S(x)=。引入免赔额d后，每张保单的期望纯保费（即期望赔付额）变为E[X]−E[X3.D解析：在Bühlmann模型中，K=4.B解析：链梯法基本假设：=×。其中n为最大进展年。对于当前评估日，第i事故年的最新累计数据为。5.C解析：索赔频率是计数数据，通常假设服从泊松分布或负二项分布，其均值必须为正，且效应通常呈乘法关系，因此使用Log连接函数。6.A解析：方差原理P=E[X]+αVa7.C解析：超额赔款再保险的赔付函数为g(X)=(8.B解析：B-F法的核心在于利用链梯法估计的进展因子，结合先验估计的期望最终损失（或期望赔付率）来计算准备金。它在数据早期（特别是对于尾部事故年或新业务）比链梯法更稳定，因为它不完全依赖于最近观测值的波动。9.A解析：若Y∼LN(μ,)10.C解析：对于正则的马尔可夫链（转移概率矩阵），存在唯一的稳态分布π，使得li的每一行都是π二、多项选择题11.BC解析：保险成本主要包括赔款、费用（承保、理赔、管理）、利润及风险附加。投资收益是保费收入产生的资金运用收益，用于降低净保费成本，但不直接构成“成本”项，而是收入的抵减项。定价必须考虑利润目标。A选项中投资收益不属于成本。D选项错误。12.ABC解析：GLM由随机分量（分布）、系统分量（线性预测η=X）和连接函数（Linkfunction13.ACD解析：完全信度基于正态近似；部分信度是加权；B-S模型考虑了风险暴露数（如车年数）；信度因子Z理论上在[014.AC解析：对于复合泊松分布，E[S]=λE[X]；Var(S15.ABC解析：Mack模型假设包括：1.不同事故年独立；2.累计赔款的进展因子独立；3.方差结构假设Va三、判断题16.错误解析：均值原理对尾部风险不敏感，而方差原理考虑了波动性。对于厚尾分布，方差原理通常比均值原理收取更高的安全附加（如果方差存在），或者更准确地说，方差原理对波动更敏感。但在某些语境下，均值原理被认为不如方差原理稳健，因为忽略了波动。但题目说“均值原理更稳健”通常是错误的，稳健性通常指对异常值或模型假设偏离的敏感度。方差原理对大额索赔（导致方差大）敏感，这可以被视为一种稳健的风险反应。不过，更准确的说法是：方差原理考虑了二阶矩，而均值原理只考虑一阶矩。通常认为考虑方差的风险度量在风险识别上更“充分”。但在精算实务中，方差原理可能因为方差无限而不适用。此处判断主要基于：均值原理P=(117.正确解析：链梯法的核心假设即是进展模式稳定。18.正确解析：零截断分布是指在x=19.正确解析：赔付率法（LossRatioMethod）通常用于费率整体调整的指示，或数据不足时。如果有足够的详细历年数据，链梯法（或基于赔款数据的其他方法）能提供更精确的指示。20.错误解析：极大似然估计（MLE）具有渐近无偏性，但在有限样本下不一定无偏。21.正确解析：这是停止损失再保险的一个著名性质：在给定再保险保费（或期望再保险赔付成本）的约束下，停止损失再保险能使原保险人自留风险的方差最小化。22.错误解析：帕累托分布是厚尾分布，其密度函数衰减速度为幂函数，比指数分布的指数衰减慢得多。23.正确解析：Log连接函数下，ln(μ)=++…，即24.错误解析：CapeCod方法需要选定先验的期望赔付率，并基于已赚保费计算期望最终损失。它与B-F法类似，都需要先验信息。题目说“不需要选定先验的期望最终损失”是错误的，它利用了基于已赚保费和假设赔付率的期望最终损失。25.正确解析：稳态分布取决于转移矩阵（规则）和索赔概率（频率）。四、简答题26.答：信度加权是费率厘定中平衡经验数据与先验信息的一种方法。原理：当某风险类别的自身经验数据（如过去几年的索赔记录）样本量足够大时，我们更相信经验数据；当样本量较小时，我们更依赖行业平均或先验数据。信度因子Z（0≤公式：估计值=Z其中：Z为信度因子。¯X为先验均值（或companionmean）。信度因子Z的计算公式通常为：Z其中：n为观察到的风险暴露数（或样本量）。K为一个常数，取决于过程方差与假设均值的方差之比，即K=27.答：链梯法（CL）：核心思想是假设赔款的进展模式在过去和未来是稳定的。它完全依赖于已知的累计赔款数据，通过选定进展因子将最新的累计赔款外推至最终损失。它是一种“数据驱动”的方法，对于最近发生的事故年，由于只有较少的进展数据，其估计结果受最近一两年数据波动的影响较大，波动性高。Bornhuetter-Ferguson方法（B-F）：核心思想是结合链梯法的进展模式和先验的期望最终损失。它认为未来的赔款由两部分组成：已发生的赔款和未发生的赔款。未发生的赔款部分基于先验估计的期望最终损失和未进展比例来计算。差异：链梯法完全依赖历史数据的尾部外推；B-F法引入了外部先验信息（如定价时的期望赔付率），对尾部估计进行了“收缩”。B-F法优于链梯法的情况：当业务数据成熟度较低（例如最新的几个事故年），或者历史数据波动较大、不可靠时，链梯法的估计会非常不稳定且偏差较大。此时B-F法由于引入了先验信息，能提供更稳定、更合理的准备金估计值。28.答：连接函数的作用：在广义线性模型（GLM）中，连接函数g(·)建立了因变量的期望值μ=E常用连接函数：1.索赔频率建模：常用Log连接函数(g(2.索赔强度建模：常用Log连接函数(g(μ)29.答：再保险的主要功能：1.分散风险：将超过自留能力的巨额风险转移给再保险人，稳定原保险人的经营成果。2.缓解资本压力：通过再保险降低自留风险，从而减少根据偿付能力监管要求所需的资本金。3.扩承保能力：使得原保险人能够承保其单独无力承担的大型项目。4.提供技术支持：再保险人通常在核保、理赔和精算方面提供专业服务。5.平滑利润：在赔款波动较大的年份，再保险摊回赔款可以起到利润“蓄水池”的作用。比例再保险与非比例再保险的比较：风险分散效果：比例再保险（成数/溢额）：按比例分出每一笔赔款和保费。它主要分散的是承保量大、累积风险多带来的波动，但对于单个巨额损失的保障作用有限（除非是高比例分出）。它操作简单，佣金和保费计算明确。非比例再保险（超赔/停损）：只有当赔款超过起赔点时才触发。它主要针对“低频高损”的巨灾风险或异常损失，对原保险人的尾部风险保护更强，能有效截断损失分布的右尾，显著降低自留赔付的方差。五、综合计算题30.解：已知λ=0.1,α=(1)计算单个保单的期望赔付额E索赔额X的期望：E（注：帕累托分布E[X]单个保单的期望聚合损失E[(2)计算免赔后每张保单的期望赔付次数E引入免赔额d后，只有当X>索赔报告概率P(新的索赔频率参数=λE(3)计算免赔后每次有效索赔的期望赔付金额E根据帕累托分布的“无记忆性”性质（广义无记忆性），若X∼Pa或者使用公式：E[对于帕累托分布，有限期望函数E[E或者直接利用剩余分布的期望公式：E[(4)计算免赔后每张保单的期望纯保费EE或者E[注意：这里需要区分“每张保单的期望赔付额”和“每次有效索赔的期望赔付额”。第(4)问通常指每张保单的纯保费，即E[这里的E[所以E[(修正第(3)问的计算逻辑：E[X|X>d]修正后的计算结果：(3)