4.2　4.2.1　指数函数的概念-高一上学期数学必修一课件人教A版

4.2指数函数4.2.1指数函数的概念素养目标思维导图1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义(数学抽象).2.理解指数函数的概念(数学抽象).课前自主学习问题1.“每天进步一点点”可以用数学来诠释:假如你今天的数学水平是1,以后每天比前一天增加千分之五,经过x(x∈N)天之后,你的数学水平y与x之间的函数关系式是什么?提示:经过1天后数学水平为1+1×0.005=1.005,经过2天后数学水平为1.005+1.005×0.005=1.0052,经过3天后数学水平为1.0052+1.0052×0.005=1.0053,…以此类推,经过x(x∈N)天后,数学水平y与x之间的函数关系式为y=1.005x.问题2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩余的这种物质是原来的84%,那么经过x年后剩余量y与x的关系是什么?提示:经过1年,剩余量为y=1×84%=0.841;经过2年,剩余量为y=0.84×0.84=0.842;……经过x年,剩余量为y=0.84x.问题3.你能从以上两个例子得到的关系式里找到什么异同点吗?提示:共同点:变量x与y构成的函数关系式是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数;不同点:底数的取值不同.

孤立

y=axa>0且a≠1R(0,+∞)x轴(0,1)上升的下降的课堂合作探究探究点一

正整数指数函数的应用【典例1】据不完全统计,某地患呼吸道疾病的人数从2019年到2023年间平均每年上升2%,若按这个增长率进行研究,设从2018年开始经过x(x∈N*)年,患呼吸道疾病的人数为y人,2023年患病人数为11万人.(参考数据1.023≈1.06,1.025≈1.1)(1)试计算出2018年患呼吸道疾病的人数.(2)写出x,y之间的关系式,并估计2026年患呼吸道疾病的人数.【思维导引】利用正整数指数函数模型,列出关系式,计算.【解析】(1)设2018年患病人数为a万人,则a(1+2%)5≈11,即a×1.025≈11.因为1.025≈1.1,所以a≈10,所以2018年患呼吸道疾病的人数约为10万人.(2)2019年患病的人数为10(1+2%),2020年患病的人数为10(1+2%)+10(1+2%)×2%=10(1+2%)2,2021年患病的人数为10(1+2%)2+10(1+2%)2×2%=10(1+2%)3.x年后患病的人数为10(1+2%)x.故y=10(1+2%)x=10×1.02x(x∈N*),到2026年,x=8,故患病人数y=10×1.028=10×1.025×1.023≈10×1.1×1.06=11.66(万人).所以2026年患呼吸道疾病的人数约为11.66万人.【类题通法】1.由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段.2.在实际问题中,对于平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值或总产量y,可以用公式y=N(1+p)x表示.

探究点二

指数函数的概念【典例2】下列是指数函数的是(

)A.y=(-4)x B.y=2x+1 C.y=ax

D.y=6x【思维导引】根据指数函数的定义即可判断四个函数是否为指数函数,进而可得正确选项.【解析】选D.对于选项A:y=(-4)x,因为-4<0不满足底数a>0且a≠1,故y=(-4)x不是指数函数,选项A不正确;对于选项B:y=2x+1=2·2x不满足指数函数系数等于1,故y=2x+1不是指数函数,选项B不正确;对于选项C:y=ax没有指出a的范围,当a>0且a≠1时才是指数函数,故选项C不正确;对于选项D:y=6x是指数函数,故选项D正确.【类题通法】在指数函数的解析式y=ax中,参数a必须大于0,且不等于1,ax前的系数必须是1,自变量x必须在指数的位置上,否则,就不是指数函数.【定向训练】若函数y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数,则有(

)A.a=2 B.a=3 C.a=2或a=3 D.a>2,且a≠3【解析】选A.因为y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数,所以a2-5a+7=1,a2-5a+6=0,(a-2)(a-3)=0,且4-2a=0,所以a=2.

【类题通法】(1)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.

课堂练习1.下列函数中,是指数函数的是(

)A.y=x8 B.y=(-8)x C.y=5x+1

D.y=25x【解析】选D.A是一个幂函数,故不是指数函数;B中虽然自变量出现在底数上,但-8<0,不满足“大于0且不等于1”这个条件,故不是指数函数;C中指数并不是自变量x,故不是指数函数;D中y=25x符合指数函数的定义,故是指数函数.√

√3.给出下列函数①y=2·3x;②y=3x+1;③y=9x;④y=x3;⑤y=(-2)x.其中指数函数的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.①中,3x的系数为2,①