江苏南京市七校联合体2025-2026学年高二下学期期末调研数学试题（含答案解析）

江苏南京市七校联合体2025-2026学年高二下学期期末调研数学试题（含答案解析）考试说明：本试卷为南京市七校联合体2025-2026学年高二下学期期末统一调研试题，适配新高考教材，满分150分，考试时长120分钟，题型、难度、命题风格贴合南京本地联考标准，适用于高二期末测评、刷题复习、学情检测。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡相应位置。2.全部答案必须写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。班级：__________姓名：__________得分：__________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2\leq0\}\)，\(B=\{x|0\ltx\lta\}\)，若\(A\subseteqB\)，则实数\(a\)的取值范围是（）A.\((-\infty,1]\)B.\([2,+\infty)\)C.\((2,+\infty)\)D.\((1,2)\)2.若复数\(z\)满足\(z(1+i)=2i\)，则\(|z|=\)（）A.\(1\)B.\(\sqrt{2}\)C.\(2\)D.\(2\sqrt{2}\)3.已知向量\(\boldsymbol{a}=(1,2)\)，\(\boldsymbol{b}=(2,m)\)，若\(\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\)，则\(m=\)（）A.\(-1\)B.\(1\)C.\(-2\)D.\(2\)4.已知\(a=2^{0.3}\)，\(b=\log_20.3\)，\(c=0.3^2\)，则\(a,b,c\)的大小关系为（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(b\ltc\lta\)C.\(b\lta\ltc\)D.\(c\ltb\lta\)5.“\(x\gt2\)”是“\(x^2-3x+2\gt0\)”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若正数\(x,y\)满足\(x+2y=3xy\)，则\(2x+y\)的最小值是（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(\frac{9}{2}\)D.\(5\)7.如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为平行四边形，点\(M,N\)分别为线段\(PC,CD\)上的点，若\(\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{MC}\)，且\(\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}\)，则\(x+y=\)（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(\frac{5}{6}\)D.\(\frac{7}{6}\)8.已知函数\(f(x),g(x)\)定义域均为\(\boldsymbol{R}\)，函数\(y=f(x+2)\)为偶函数，函数\(y=g(x-1)\)是奇函数，若\(f(x)+g(x)=2^x\)，则\(g(2026)=\)（）A.\(1000\)B.\(2000\)C.\(3000\)D.\(4000\)二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。9.下列结论中正确的是（）A.两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数越接近1B.利用\(\chi^2\)进行独立性检验时，\(\chi^2\)的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量存在关联C.经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点D.若一组样本数据的对应样本点都在直线\(y=kx+b\)上，则这组样本数据的相关系数为110.下列选项中说法正确的是（）A.函数\(y=\ln(x^2-2x)\)的单调增区间为\((1,+\infty)\)B.幂函数\(y=f(x)\)过点\((2,\sqrt{2})\)，则\(f(4)=2\)C.函数\(y=f(2x)\)的定义域为\([1,2]\)，则函数\(y=f(x)\)的定义域为\([2,4]\)D.若函数\(y=\sqrt{mx^2+2mx+1}\)的定义域为\(\boldsymbol{R}\)，则实数\(m\)的取值范围是\((0,1]\)11.下列说法正确的是（）A.设随机变量\(X\simB\left(4,\frac{1}{2}\right)\)，则\(P(X=2)=\frac{3}{8}\)B.从装有5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球个数为\(X\)，则\(E(X)=\frac{3}{4}\)C.设随机变量\(X\simN(2,\sigma^2)\)，则\(P(X\gt2)=0.5\)D.从集合\(\{1,2,3,4,5,6\}\)任取三个元素，满足\(x\lty\ltz\)，定义随机变量\(\xi=x+y+z\)，则\(E(\xi)=\frac{21}{2}\)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.甲、乙两名游客从含中山陵和夫子庙的8个旅游景区中各选3个景区去游玩，则甲选了中山陵且乙未选夫子庙的选法共有________种。13.在棱长为2的正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，点\(E,F\)分别为\(A_1D_1,BC\)的中点，则点\(F\)到平面\(AEC_1\)的距离为________。14.某学校人脸识别门禁系统，校内职工被误判禁止通行概率为\(0.05\)，校外访客被误判允许通行概率为\(0.1\)。已知入校人员中校内职工与校外访客人数比为\(4:1\)，若某人被判定为允许通行，则其为校内职工的概率为________。四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知集合\(A=\left\{x|\frac{x-1}{x+2}\leq0\right\}\)，集合\(B=\{x|x^2-2ax+a+2\leq0\}\)。（1）当\(a=2\)时，求\(A\cupB\)；（2）若\(B\subseteqA\)，求实数\(a\)的取值范围。16.（15分）已知\(\left(\sqrt{x}+\frac{2}{x}\right)^n\)的展开式中，二项式系数之和等于1024，常数项为\(m\)。（1）求\(n,m\)的值；（2）求二项式系数最大的项；（3）若第\(k+1\)项的系数绝对值是第\(k\)项的系数绝对值的5倍，求\(k\)的值。17.（15分）已知函数\(f(x)=x+\frac{k}{x}(k\in\boldsymbol{R})\)的定义域为\((0,+\infty)\)，且图象经过点\((2,3)\)。（1）求\(k\)的值；（2）求\(f(x)\)的值域；（3）若函数\(g(x)=f(2^x)-t\)，求\(g(x)\)的最小值。18.（17分）如图，菱形\(ABCD\)的边长为2，\(\angleBAD=60^\circ\)。现将\(\triangleABD\)沿\(BD\)折起，得到四面体\(A-BCD\)，设二面角\(A-BD-C\)的大小为\(\theta\)。（1）求证：\(AC\perpBD\)；（2）若三棱锥\(A-BCD\)的体积为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，（i）求直线\(AB\)与平面\(BCD\)所成的角；（ii）当\(\theta\)为锐角时，求锐二面角\(A-BC-D\)的余弦值。19.（17分）抽奖游戏规则：从装有\(n\)个编号\(1,2,\dots,n\)的小球的箱子中，有放回依次取球，直到某次取球编号小于或等于上一次编号时停止。取球总次数记为\(X\)，\(P(X=k)\)表示游戏第\(k\)次取球后停止的概率。（1）求\(P(X=2)\)；（2）当\(n=3\)时，求随机变量\(X\)的概率分布；（3）若小球个数为\(n\)，求游戏停止时取球次数为偶数的概率（用\(n\)表示）。参考答案及详细解析一、单项选择题（每小题5分，共40分）1.C解析：由\(x^2-3x+2\leq0\)得\(A=[1,2]\)，\(B=(0,a)\)，\(A\subseteqB\)则\(a\gt2\)。2.B解析：\(z=\frac{2i}{1+i}=1+i\)，\(|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)。3.A解析：\(\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\Rightarrow\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=2+2m=0\Rightarrowm=-1\)。4.B解析：\(a=2^{0.3}\gt1\)，\(b=\log_20.3\lt0\)，\(0\ltc=0.3^2\lt1\)，故\(b\ltc\lta\)。5.A解析：\(x^2-3x+2\gt0\Leftrightarrowx\lt1\)或\(x\gt2\)，\(x\gt2\)可推出不等式成立，反之不成立。6.C解析：由\(x+2y=3xy\)得\(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=3\)，\(2x+y=\frac{1}{3}(2x+y)\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(5+\frac{2y}{x}+\frac{2x}{y}\right)\geq\frac{9}{2}\)，均值等号成立条件\(x=y=1\)。7.D解析：\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}\)，\(x+y=\frac{7}{6}\)。8.B解析：\(f(x+2)\)偶\(\Rightarrowf(-x+2)=f(x+2)\)，\(g(x-1)\)奇\(\Rightarrowg(-x-1)=-g(x-1)\)，推得\(f(x),g(x)\)周期均为4，结合\(f(x)+g(x)=2^x\)迭代计算得\(g(2026)=2000\)。二、多项选择题（每小题6分，共18分）9.BD解析：A错，相关系数绝对值越接近1相关性越强；C错，回归直线不一定过样本点。BD表述正确。10.BC解析：A错，定义域\(x\lt0或x\gt2\)，增区间\((2,+\infty)\)；D错，\(m=0\)时定义域也为\(\boldsymbol{R}\)，取值范围\([0,1]\)。BC正确。11.ACD解析：B错，超几何分布期望\(E(X)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)计算错误，正确为\(\frac{3}{2}\)；ACD均为概率统计正确结论。三、填空题（每小题5分，共15分）12.735解析：甲选中山陵：\(\mathrm{C}_7^2=21\)，乙不选夫子庙：\(\mathrm{C}_7^3=35\)，总数\(21\times35=735\)。13.2解析：等体积法转换三棱锥顶点，利用正方体棱长与面面垂直关系，计算得点到平面距离为2。14.\(\boldsymbol{\dfrac{76}{77}}\)解析：条件概率公式，设职工事件\(A\)，通行事件\(B\)，\(P(A)=\frac{4}{5},P(\overline{B}|A)=0.05\)，\(P(\overline{A})=\frac{1}{5},P(B|\overline{A})=0.1\)，计算得\(P(A|B)=\frac{76}{77}\)。四、解答题（共77分）15.（13分）解：（1）由\(\frac{x-1}{x+2}\leq0\)得\(A=\{x|-2\ltx\leq1\}\)，\(a=2\)时，\(B=\{x|x^2-4x+4\leq0\}=\{2\}\)，故\(A\cupB=(-2,1]\cup\{2\}\)。（2）\(B\subseteqA\)，分两种情况：①\(B=\varnothing\)，\(\Delta=4a^2-4(a+2)\lt0\Rightarrow-1\lta\lt2\)；②\(B\neq\varnothing\)，需满足\(\begin{cases}\Delta\geq0\\-2\lta\leq1\\4+4a+a+2\gt0\\1-2a+a+2\geq0\end{cases}\)，解得\(-1\leqa\leq1\)。综上：\(\boldsymbol{a\in(-1,1]}\)。16.（15分）解：（1）二项式系数和\(2^n=1024\Rightarrown=10\)，通项\(T_{r+1}=\mathrm{C}_{10}^rx^{\frac{10-r}{2}}\cdot2^rx^{-r}=\mathrm{C}_{10}^r2^rx^{\frac{10-3r}{2}}\)，令\(\frac{10-3r}{2}=0\Rightarrowr=4\)，常数项\(m=\mathrm{C}_{10}^4\cdot2^4=210\times16=3360\)。（2）\(n=10\)共11项，二项式系数最大为第6项，\(T_6=\mathrm{C}_{10}^52^5x^{-\frac{5}{2}}=8064x^{-\frac{5}{2}}\)。（3）由题意\(|\mathrm{C}_{10}^k2^k|=5|\mathrm{C}_{10}^{k-1}2^{k-1}|\)，化简得\(\frac{2(11-k)}{k}=5\)，解得\(k=2\)。17.（15分）解：（1）代入\((2,3)\)得\(2+\frac{k}{2}=3\Rightarrowk=2\)。（2）\(f(x)=x+\frac{2}{x}(x\gt0)\)，由对勾函数性质，\(x=\sqrt{2}\)时取最小值\(2\sqrt{2}\)，值域为\(\boldsymbol{[2\sqrt{2},+\infty)}\)。（3）\(g(x)=2^x+\frac{2}{2^x}\)，令\(t=2^x\gt0\)，则\(y=t+\frac{2}{t}\)，最小值为\(2\sqrt{2}\)，即\(g(x)_{\min}=2\sqrt{2}\)。18.（17分）（1）证明：取\(BD\)中点\(O\)，连接\(AO,CO\)，菱形中\(AO\perpBD,CO\perpBD\)，\(AO\capCO=O\)，\(AO,CO\subset\)平面\(AOC\)，故\(BD\perp\)平面\(AOC\)，又\(AC\subset\)平面\(AOC\)，因此\(AC\perpBD\)。（2）由题意\(\angleAOC=\theta\)，\(AO=CO=\sqrt{3}\)，\