2026新教材人教版九年级上册数学26.4 第2课时 最大利润问题 教案

第第页2026新教材人教版九年级上册数学26.4第2课时最大利润问题教案26.4实际问题与二次函数第2课时最大利润问题课题26.4第2课时最大利润问题授课人教学目标1.（2022新课标）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.2.能够熟练掌握利用二次函数求最大利润的问题.3.能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型．会用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能应用这些关系解决实际问题.教学重点用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题.教学难点通过问题中的数量变化关系列出函数解析式.授课类型新授课课时1教学步骤师生活动设计意图情境导入一种商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出25件.已知该商品的进价为每件40元，请问：①题中调整价格的方式有哪些？②如何表示价格和利润之间的关系？③如何确定x的取值范围？④如何定价才能使每星期的销售利润最大？通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫探究新知探究点实际问题与商品利润某商品现在的售价为每件60元，经过市场调查，商家决定提高售价，同时销售数量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系为y＝－10x＋900，已知该商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？师生活动：教师引导学生回顾复习售价、进价、利润三者之间的关系，学生回答．教师展示问题：那么该如何定价呢？学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题.师生活动：教师引导学生总结解题过程．1．问题：①该如何定价呢？②问题中的变量是什么？提示：①学生分组讨论如何利用函数模型解决问题．②利润随着价格的变化而变化．学生先独立思考，教师给予引导．2．教师展示解答过程，指导学生进行对比：问题1：销售额为多少？成本为多少？问题2：如何表示利润？[利润＝售价×数量－进价×数量，利润＝(售价－进价)×数量]问题3：可否写出利润的函数解析式？经过上述3个问题的分析，设利润为w元，可得w＝(x－40)(－10x＋900)＝－10x2＋1300x－36000.问题4：根据题目要求可否得到自变量x的取值范围？eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥60，,－10x＋900≥0，))∴60≤x≤90.问题5：当x＝________时，w最大．因为a＝－10<0，所以函数有最大值．当x＝－eq\f(b,2a)＝65时，y有最大值，为6250.3．教师指导、点拨，重点强调：①怎样用函数观点来认识问题；②怎样建立函数模型；③怎样找到两个变量之间的关系；④从利润问题中体会函数模型对解决实际问题的价值．4．师生总结：教师指导学生总结解答问题的步骤和方法，学生代表进行说明，全班互相交流，师生共同确定解题思路：①确定自变量和函数．②利用“总利润＝单位利润×数量”列函数解析式．③确定自变量的取值范围．④利用顶点坐标公式求出问题中的最大利润.通过具体例子，让学生列出关系式，让学生在实践中感悟，提高学生利用函数思想解决问题的能力.典例精析【例】王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需要支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？【解】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，根据题意得70k+b=75,解得k=−0.5,故y与x之间的函数关系式是y＝－0.5x＋110．（2）设合作社每天获得的利润为w元，由（1）可知游客居住房间数为y＝－0.5x＋110，则w＝x(－0.5x＋110)－20(－0.5x＋110)＝－0.5x2＋120x－2200＝－0.5(x－120)2＋5000．因为60≤x≤150，所以当x＝120时，w取得最大值，此时w＝5000，故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．【方法总结】利用二次函数解决利润最大问题的一般策略(1)明确利润、单价、销售量之间的关系，根据题意列出二次函数的解析式.(2)讨论最大值时，可转化为顶点式y=a(-h)²+k,并利用二次函数的性质确定最大值.师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流.随堂检测1．某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30)出售，可卖出(600－20x)件，为使利润最大，则每件售价应定为________元．答案：25.2．进价为80元/件的某衬衣定价为100元/件时，每月可卖出2000件；售价每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出该衬衣的总件数y（件）与衬衣售价x（元/件）之间的函数关系式为____________________，每月利润w（元）与衬衣售价x（元/件）之间的函数关系式为____________________________.（以上关系式只列式不化简）．答案：y＝2000－5(x－100)w＝[2000－5(x－100)](x－80)3．一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次．第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元．产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件．如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则w＝[12＋2(x－1)][80－4(x－1)]＝(10＋2x)(84－4x)＝－8x2＋128x＋840＝－8(x－8)2＋1352．因为x≤9，故当x＝8时，w有最大值，且w最大＝1352．答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352元．4．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y＝ax2＋bx－75．其图象如图．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？解：（1）由题中条件可求y＝－x2＋20x－75．∵－1＜0，对称轴为x＝10，∴当x＝10时，y值最大，最大值为25．即销售单价定为10元时，销售利润最大为25元．（2）由对称性知y＝16时，x＝7或13．故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元．师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.课堂小结【课堂小结】引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？1.方法层面学习了利用二次函数解决最大利润实际问题，紧扣建模思想、数形结合、最值求解的核心思路，将商品销售、单价调整、销量变动的生活实际场景，转化为二次函数模型，通过求函数顶点最值解决销售最优利润问题，体会从实际到数学、再从数学到实际的转化方法，掌握销售类应用题的建模、