小学奥数计算综合专题教材

(i)掌握计算中常用计算结论；

(2)能快速准确观察出计算中数字规律并运用换元法计算。

阖惊绐箍

【特殊多位数实用结论】

1、abcabc=abcx.1001=abcxlx11x13

2、ababab=tzZ?x10101

3、444=0x111=4x3x37

【其他常用结论】

1、

2、j111...J1x1J11.___._.1J=123..321(n<9)

a)缺8数乘以9倍数可以得到“清一色”：

b)12345679x9=111111111

c)12345679x18=222222222

d)12345679x27=333333333

e)12345679x36=444444444

D12345679x45=555555555

g)12345679x54=666666666

h)12345679x63=777777777

i)12345679x72=888888888

j)12345679x81=999999999

a)特殊平方数：

b)121x(1+2+1)=22x22

12321x(l+2+3+2+1)=333x333

1234321x(1+2+3+4+3+2+1)=4444x4444

123454321x(1+2+3+4+5+4+3+2+1)=55555x55555

12345654321x(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1)=666666x666666

12345678987654321x(l+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1)

=999999999x999999999

4、……

如右图所示：

【换元思想】

换元法——解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫

换元法.换元实质是转化，将复杂式子化繁为简.

・'SI羽赢

(1)培养学生运用转化思想利用特殊规律解题简化解题过程；

培养学生观察数字规律及特点，运用换元法简化解题过程。

一、重要结论应用

【例1】2007x20062(X)6-2(X)6x20072(X)7=.

【巩固】计算:

12025050513131313

［例2］一+---+-----+

21212121212121212121

【巩固】计算:

化成小数后，小数点后面第2007位上数字为

【巩固】化成小数后，小数点后若干位数字和为1992,问n=.

【例3］算式1234567876545321X(1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1)结果等于自然数

__________平方.

【巩固】计算:

二、换元法

计算：

【巩固】计算:

।例—"：…》b

【巩固】计算：()()

(0.1+0.21+0321+0.4321+0.54321)x(0.21+0.321+0.4321)

,1111

【例6】计算:1+—+…+•••+4-H----------

220073200822008>2(X)7)

【巩固】计算:

I239

【例7】计算:+—+—+—+

23410

［巩固］0+0.12+0.23)x(0.12+0.23+0.34)-(1+0.12+0.23+0.34)x(0.12+0.23)=

计算：⑴（）（）（）（）

【巩固】计算：口

【例8】计算:

【巩固】计算:

S3菖脸蒯

1、计算:9999x2(X)72(X)7-2(X)8x88888888

66x6666x3232-32x6666x6666

2、计算:

20112

3、计算:

579II791113579II137911

111111+也1111111

4、计算:i+L卓+-x-+-+—+-+—+-+—x

2345八23456>234562345

2008+2009x2007

计算:

2008x2009-1

计算下面算式：()()()()

计算:

111x2323-101x2553

1、计算:

201112+20122

2、计算：11111111xllllllll-(1+2+3+4+5+6+7+8+7+64-5+4+3+2+1)

20112x2010+2x2012

3、计算:

20113I22011x2009

（1）能熟练运算常规裂和型题目;

（2）复杂整数裂项运算；

（3）分子隐蔽裂和型运算。

朝邀第黛

一、复杂整数裂项型运算

复杂整数裂项特点：从公差一定数列中依次取出若干个数相乘，再把所有乘积相加。其巧解方法是：

先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们差除以公差及因

数个数加1乘积。

整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N。N取什

么值，两数相乘枳。公差要乘以，因个加上一。

需要注意是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对

于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面结果再加上笫一项结果。

此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。

二、“裂和”型运算

常见裂和型运算主要有以下两种形式：

/1、a+。abI1/门、，/十力*«2b~ab

axbaxbaxbbaaxbaxbaxbba

裂和型运算及裂差型运算对比：

裂差型运算核心环节是“两两抵消达到简化目”，裂和型运算题目不仅有“两两抵消”型，同时还有转化

为“分数凑整”型，以达到简化目。

(i)复杂整数裂项特点及灵活运用

(2)分子隐蔽裂和型运算。

做］题需除

整数裂项

【例1】计算：Ix3+2x4+3x5+4x6+...+99x101

【巩固】计算：口

【例2】计算10x16x22+16x22x28+…+70x76x82+76x82x88

【例3】计算1x1+2x24-3x3+......+99x99+100x100

【巩固】3x3x3+4x4x4+…+79x79x79

【例4】计算：1x1x14-2x2x2+3x3x3+--•+99x99x99+100x100x100

【例5】1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+-,+(1+2+3+••.+100)

【巩固】3+(3+6)+(3+6+9)+-.+(3+6+.・・+300)

二、分数裂和

填空：，，

【巩固】计算：口

5+66+77+88+99+10

【例6】----------------+----------------+--------

5x66x77x88x99x10

二十

【巩固】旱+“33

57612203042

计算:

12379111725

【巩固】-+—+—+—+—+—+—+—

3571220283042

111112010263827

【例7】—十一+—+—+----------+-----+-----+——+------

2330314151119120123124

r3549^37791105Ap/

【巩固】

不一五+元一犷石一石厂8"8

『+2?22+32182+192192+202

【例8】+-----------+--------------H----------------

1x22x318x1919x20

1~I2+2212+22+3212+22+32+4212+22+...+26

【巩固】—------------1---------------------------------------U---------------------

I313+2313+23+3313+23+33+43…13+23+...+26

确邕脸■

1、1X4+4X7+7X104----+49X52=

计算：1-?+2___9_11_1219

2、12-26+36-421561~-171290

6

11798175

3、-+-+—+—+—+30+12

45122015

12+2222+3220042+2005220052+20062

4、1F•••H1

1x2----2x3------------2004x2005------2005x2006

5、1+——X1+--X…X|1+--------------

22-lJI32-lJI992-)

氯国俗逃

1v1X1+2X2+3X3H----1-50x50

2、2x4x6+4x6x8+---+96x98xl(X)

12389

4、(l--)x(2--)x(3--)x...x(8--)x(9--)

1+21+2+31+2+3+41+2+3+…+50

5、xxX---X

22+32+3+42+3+…+50

(D掌握循环小数化分数基本方法及规律；

(2)在计算中能灵活运用循环小数化分数方法进行简便运算。

【基本概念】

纯小数一一整数部分是零小数。

循环小数一一从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字十进制无限小数。

循环小数有以下两类类：混循环小数、纯循环小数。

混循环小数一一循环节不是从小数部分第一位开始循环小数。

纯循环小数——循环节从小数部分第一位开始循环小数。

【基本方法】

纯循环小数化分数：这个分数分子等于一个循环节所组成数，分母由9构成，9个数等于一个循环节中位

数。

混循环小数化分数：这个分数分子是第二个循环节以前小数部分组成数及小数部分中不循环部分组成数

差；分母头几位数是9,末几位是0,9个数及一个循环节中位数相同，。个数及不循环部分位数相同。

*61铠慰

-JUT

重点：循环小数化分数基本方法及规律；

难点：灵活运用循环小数化分数规律进行运算。

一、分数拆分

【例1】-=—=

10()

【巩固】在下面括号里填上不同自然数，使等式成立.

1111111

10()()()()()()

如果，均为正整数，则最大是多少？

【巩固】若，其中a、b都是四位数，且avb,那么满足上述条件所有数对(a,b)是哪些？

钝循环小数化分数

把纯循环小数化分数:

(1)0.6(2)3.102

【巩固】把纯循环小数化成分数

(1)0.216(2)4.i23

三、混循环小数化分数

【例3】把混循环小数化分数。

(1)0.2i5(2)6.353

【巩固】把混循环小数化成分数。

(1)0.276(2)7.42

四、循环小数四则运算及周期运算

循环小数化成分数后，循环小数四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环

小数四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数四则运算。

计算下面各题：

.(1)2.45+3.13(2)2.609-1.32(3)43x2.4(4)1.24-^03

【巩固】⑴0.54+0.36=;

•••1Q

(2)(2006年第四届“希望杯”六年级笫1试)1.2x1.24+7；=

【例4】计算下面各题。

(।)(2)1.25x0.3+1.25x+1.25x0.6

J

(3)0.14+0.2$+0.36+0.4)+0.59

【巩固】⑴；⑵（2.2羽-0.兔）+11（结果表示成循环小数）。

将循环小数及相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值最后一位小数是多少？

【巩固】计算（结果表示为循环小数）。

真分数化为小数后，如果从小数点后第一位数字开始连续若干个数字之和是1992,那么是多少?

【巩固】型生和_L化成循环小数后第io。位上数字之和是

2009287

某学生将乘以一个数时，把误看成1.23,使乘积比正确结果减少03则正确结果该是多少?

设ahc是0〜9数字（允许相同），将循环小数化成最简分数后，分子有多少种不同情况?

【巩固】分母为1996所有最简分数之和是

【例5】将纯循环小数（），活化为最简单分数时，分子及分母之和为19,求。和〃（。和〃上面都带小数点）。

【巩固】纯循环小数0/加写成最简分数时，分子和分母和是58,则三位数就=

■

—11111111I1i

45()()()()()0()()()()

2、计算(1)0.29i-0.192+0375+0.526(2)0.330x0.186

有8个数，，，，，是其中6个，如果按从小到大顺序排列吐第4个数是，那么按从大到小排列时，第4

个数是哪一个数?

3、计算：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89

真分数化成小数后，如果小数点后连续2004个数字之和是8684,那么可能等于多少？

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在下面括号里填上不同自然数，使等式成立.

1I1I1I1I1I1

(1)——=------1------=--------1-------=--------1-------=--------1-------=--------1-------

1020200()00()0()()

(2)

计算：（结果保留三位小数）。

计算:

算式计算结果，小数点后第2008位是数字几？

真分数化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是，则是多少？

所有分母小于30并且分母是质数真分数相加，和是

(1)灵活运用平方和、立方和公式进行计算;

(2)了解等比数列；

(3)灵活运用等比数列求和公式进行计算。

【基本概念】

等比数列——如果一个数列从第2项起，每一项及它前一项;匕等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比

数列(geometricprogression)o这个常数叫做等比数列公比(commonratio),公比通常用字母q表示(q

#=0)<,注:q=l时，an为常数列。

［常用公式】

F+22+32+…+〃2=〃X(〃+1)X(2〃+1)

1、

6

2、尸+2,+33+…+/=(1+2+3+•••+〃『="+D

3、1+3+5+7+・・・+(2〃—1)=1+2+3+・・•+(〃—+〃+—1)+・・・+3+2+1=〃〜；

等比数列求和公式：(1);

⑵s”=%/)+//=叫q)依)。

4、平方差公式：：

完全平方公式：，；

用文字表述为：两数和(或差)平方，等于这两个数平方和，加上(或者减去)这两个数积倍，两条公式也可以

合写在一起：.为便于记忆.可形象叙述为：“首平方，尾千方，倍乘积在中央”.

«812渡

(1)平方和、立方和公式灵活运用;

(2)等比数列公式灵活运用。

［例9］(1)(31415926)2-31415925x31415927=

(2).

［巩固］2009x2009-2008x2008=

有一串数，，，，，……它们是按一定规律排列，那么其中第个数及第个数相差多少？

【巩固】□代表任意数字，苦口，这个公式在微学上称为平方差公式.根据公式，你来巧算

下列各题吧.

⑴98x102⑵67x73⑶64x28(4)2x29x3x31

【例10】计算：(31415926『-314I5925x31415927=

【巩固】

计算:

【巩固】计算:

计算：值。(已知，，，，，，，)

【巩固】计算:

对自然数和，规定，例如，那么:

(1)IV2+2V2+3V2+...+99V2=

⑵

【巩固】看规律,试求

【例11】计算：Ix3+2x4+3x5+…9x11

【巩固】计笄:

计算:

【巩固】计算:

【例12】计算：1x99+2x97+3x95+…+50x1

【巩固】计算:

【例13】计算：1x2x3+2x3x44-3x4x5+...4-8x9x10

【巩固】计笄:

【例10】计算：100x100—99x99+98x98—97x97+…+2x2—1x1

【巩固】计算:

2014x503-503x2010+2006x501-501x2002+---+6x1-1x2

2、计算：13—23+33—43+53—63+73—83+93—103+113

3、计算：50x50+49x51+48x52+47x53+46x54=

4、计算：2x4x6+4x6x8+6x8x10+...+50x52x54

计算:

1、37x37+2x63x37+63x63=

2、计算：2x4+4x6+6x8+8x10+…+24x26

计算：.

3、计算：1x69+2x67+3x65+-■•+35x1

4、计算：56X36+57X38+58X3,()+59X3,2+5,OX3,4

公式应用二

皑襁思照

(1)灵活运用平方和、立方和公式进行计算；

(2)了解等比数列；

(3)灵活运用等比数列求和公式进行计算。

劭便飨胸

【基本概念】

等比数列一一如果一个数列从第2项起，每一项及它前一项比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比

数列(geometricprogression)o这个常数叫做等比数列公比(commonratio),公比通常用字母q表示(q

W0)。注：q=l时，an为常数列。

【常用公式】

(1)r+2-+3-+…+〃-=---------；

6

(2)l3+23+33+..-+/t3=(l+2+3+...4-/?)2=/Zx(^lr.

(3)1+3+5+7+・・・+(2〃—1)=1+2+3+・・•+(〃-+〃+—1)+・•♦+3+2+1=；

等比数列求和公式：(1);

⑵s“=“+4,+…+=叫小S⑴。

i-q

(4)平方差公式