2025-2026学年湖南邵阳市邵东市创新高级中学册高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.小青计划从北京乘坐高铁、长途汽车、火车或飞机到山东，再从山东乘坐轮船或飞机到辽宁，则小青从北京出发，途经山东再到辽宁的交通工具乘坐方式共有（）A.5种 B.6种 C.8种 D.9种2.方程的解为（）A.4 B.15 C.5或14 D.4或153.已知随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（）A.4 B.3 C.2 D.14.现有4名男生和5名女生排成一排，且男生和女生逐一相间的排法共有（）A. B. C. D.5.在的展开式中，常数项为216，则（）A. B. C. D.6.由0，1，3，5，7，9这六个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（）A.9 B.21 C.36 D.427.在的展开式中，的系数为（）A. B.49 C. D.8.有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和1个红球，这8个球除颜色外没有区别，现从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，则收到白球的概率是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为1120 B.第4项二项式系数最大C.所有项的二项式系数和为 D.所有项的系数和为10.下列说法中正确的是（）A.样本数据2，3，4，5，6，7，8，9的第70百分位数是6.5B.随机变量，若，则C.已知随机事件，且，若，则事件相互独立D.若随机变量服从正态分布，且，则11.将五个编号为1，2，3，4，5的小球放入五个分别标有1，2，3，4，5号的盒子中，则下列结论正确的有（）A.共有3125种放法B.恰有一个盒子不放球，共有1200种放法C.恰有两个盒子不放球，共有3000种放法D.没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有44种第Ⅱ卷（客观题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一个箱子中装有7个白球和5个黑球，如果不放回地依次抽取2个球，则在第1次抽到黑球的条件下，第2次仍抽到黑球的概率是______．13.已知，则________．14.一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次得分，否则扣分，某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值为____四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，已知为的中点，，，.（1）求的面积；（2）求的长.16.如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．17.已知椭圆C：过点，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程：（2）设M，N为椭圆上异于上、下顶点的两个不同的动点，，若直线AM、AN的斜率之积为1，求证：直线MN过定点．18.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据．时间人数630351964（1）从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率；（2）估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数；（3）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并检测其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）一天内检验零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．附：若随机变量服从正态分布，则，，．

数学第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.小青计划从北京乘坐高铁、长途汽车、火车或飞机到山东，再从山东乘坐轮船或飞机到辽宁，则小青从北京出发，途经山东再到辽宁的交通工具乘坐方式共有（）A.5种 B.6种 C.8种 D.9种答案：C解析：思路：根据分步乘法计数原理即可求解．解答过程：从北京到山东有4种交通方式（高铁、长途汽车、火车、飞机），从山东到辽宁有2种方式（轮船、飞机），根据分步乘法计数原理，总方式数为种．2.方程的解为（）A.4 B.15 C.5或14 D.4或15答案：D解析：思路：方程相等分为两种情况，相加等于17或者相等，计算得到答案．解答过程：由得，或，解得或．3.已知随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（）A.4 B.3 C.2 D.1答案：A解析：解答过程：因为随机变量服从正态分布，且，则，解得.4.现有4名男生和5名女生排成一排，且男生和女生逐一相间的排法共有（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：先排4名男生有种不同的排法，由于男生和女生逐一相间，所以再排5名女生有种不同的排法，由分步乘法计数原理可得男生和女生逐一相间的排法共有.5.在的展开式中，常数项为216，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：展开式的通项．令，解得，得常数项为：，解得．6.由0，1，3，5，7，9这六个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（）A.9 B.21 C.36 D.42答案：C解析：解答过程：若组成的三位数的末位数是，则从这四个数中选一个排在百位，最后从除了百位上的数字和5之外的四个数字中选一个排在十位，共有A4若组成的三位数的末位数是，则从这五个数中选两个分别排在百位和十位，共有种排法；因此，由0,1,3,5,7,9这六个数组成的无重复数字的三位数中，是5的倍数的共有个.7.在的展开式中，的系数为（）A. B.49 C. D.答案：B解析：解答过程：的展开式的通项公式为.其中，.的系数为.8.有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和1个红球，这8个球除颜色外没有区别，现从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，则收到白球的概率是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求出和，再根据全概率公式即可求解．解答过程：记“从甲袋中取出白球”为事件，“从甲袋中取出红球”为事件，“从乙袋中取出白球”为事件，由题意可知，当事件发生时，乙袋中有3个白球，1个红球，此时从乙袋中取出白球的概率为；当事件发生时，乙袋中有2个白球，2个红球，此时从乙袋中取出白球的概率为；由全概率公式得，．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为1120 B.第4项二项式系数最大C.所有项的二项式系数和为 D.所有项的系数和为答案：ACD解析：解答过程：对于A，展开式的常数项为C84对于B，展开式共9项，第5项的二项式系数最大，B错误；对于C，所有项的二项式系数和为，C正确；对于D，取，得所有项的系数和为，D正确.10.下列说法中正确的是（）A.样本数据2，3，4，5，6，7，8，9的第70百分位数是6.5B.随机变量，若，则C.已知随机事件，且，若，则事件相互独立D.若随机变量服从正态分布，且，则答案：BCD解析：思路：由百分位数的计算方法即可判断A；由二项分布的期望与方差公式即可判断B；由条件概率公式，对立事件及独立事件的判断公式即可判断C；由正态分布的对称性即可判断D．解答过程：对于A，，所以第70百分位数是7，故A错误；对于B，EX=np对于C，由PA|B所以事件相互独立，故C正确；对于D，由正态分布得，，故D正确．11.将五个编号为1，2，3，4，5的小球放入五个分别标有1，2，3，4，5号的盒子中，则下列结论正确的有（）A.共有3125种放法B.恰有一个盒子不放球，共有1200种放法C.恰有两个盒子不放球，共有3000种放法D.没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有44种答案：ABD解析：思路：根据分步乘法计数原理即可判断A；根据分组分配判断BC；根据题意得出递推公式即可判断D．解答过程：对于A，由题意知，共有种放法，故A正确；对于B，恰有一个盒子不放球，选出不放球的盒子，共有种，再将5个球分为4份，其中一份有2球，再分给4个盒子，共有,所以共有种放法，故B正确；对于C，恰有两个盒子不放球，选出不放球的盒子，共有种，再将5个球分为3份，可分为和，再分给3个盒子，共有，所以共有种放法，故C错误；对于D，用递推的方法计算，记个元素的错位排列数为；对于：只有1个球，必须放1号盒，一定同号，所以，对于：只有两个球，只能互相放对方盒子，所以,递推公式:，意思是：先选1个球，比如选球1，它不能放1号盒，所以有个盒子可以选，如果球1选了号盒，再分两种情况算球的放法：要么球放1号盒，剩下个元素错位排列，对应；要么球不能放1号盒，相当于剩下个元素错位排列，对应，所以，，，故D正确．第Ⅱ卷（客观题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一个箱子中装有7个白球和5个黑球，如果不放回地依次抽取2个球，则在第1次抽到黑球的条件下，第2次仍抽到黑球的概率是______．答案：解析：解答过程：在第1次抽到黑球的条件下，箱子中还装有个白球，个黑球，共11个球，所以第2次仍抽到黑球的概率为.13.已知，则________．答案：2解析：思路：由组合数公式化简得到，即可求解.解答过程：根据组合数公式化简，可得，化简整理得，解得或，又由，所以.故答案为.14.一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次得分，否则扣分，某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值为____答案：15解析：思路：先确定随机变量，再确定对应概率，最后根据数学期望公式求结果.解答过程：得分可能情况为（分），故15方法提示：本题考查数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，已知为的中点，，，.（1）求的面积；（2）求的长.答案：（1）.（2）.解析：思路：(1)，又因已知为的中点，可得，根据余弦定理可求出长，继而求出面积，所以即可求出的面积；(2)根据余弦定理可求出的长.（1）根据题意可知，又因为为的中点，可得，，，，根据余弦定理，代入已知条件得，得到，故所以可得是直角三角形，所以可得故（2）由第一问可知，根据余弦定理可知，代入得，所以可得，故16.如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据线面垂直的判定与性质可证得；由正方形性质知；由线面垂直的判定可证得结论；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可求得结果.（1）四棱柱为直四棱柱，平面，平面，，，，，平面，平面，平面，；，，平行四边形为正方形，，，平面，平面.（2）以为坐标原点，正方向分别为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；轴平面，平面的一个法向量，，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.17.已知椭圆C：过点，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程：（2）设M，N为椭圆上异于上、下顶点的两个不同的动点，，若直线AM、AN的斜率之积为1，求证：直线MN过定点．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）结合列方程组解得得椭圆方程；（2）设直线MN方程为，，，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，计算，计算直线AM、AN的斜率之积．由积为1得出的关系，由此关系可得直线所过定点．（1）由题意可知得∴椭圆方程为：（2）设直线MN方程为，，，联立可得∴，则化简得：或（舍）直线MN方程为即直线MN过定点18.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，几对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校学生中随机选取了100名学生，调查得到如下表所示的统计数据．时间人数630351964（1）从该校任选1名学生，估计该学生每日使用手机的时间小于36min的概率；（2）估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数；（3）以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．答案：（1）；（2）；（3）分布列见解析，.解析：思路：（1）由频率估计概率即得；（2）设中位数为，由中位数定义知，即得；（3）由题可得，然后利用二项分布的概率公式可得概率，进而可得分布列及期望.（1）由表格数据可知：学生每日使用手机的时间小于36min共有人，所求概率；（2）设中位数为，由表格数据知：使用手机的时间小于分钟的频率为，使用手机的时间小于分钟的频率为，故，，解得：，即估计该校所有学生每日使用手机的时间t的中位数为；（3）由题可得学生每日使用手机的时间在内的概率为，则，所以,,,,所以的分布列为：0123所以.19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并检测其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）一天内检验零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.12