2025-2026学年河南省南阳市高二下册期中质量评估数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.，则（）A. B. C. D.2.已知等差数列的前3项分别为，，，则此数列的通项为（）A. B. C. D.3.函数在处的切线方程为（）A. B. C. D.4.在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最小的是（）A. B. C. D.5.在等差数列中，，等比数列满足，则（）A. B. C. D.36.已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（

）A.或 B.或 C.或 D.或7.若数列满足，，则（

）A.1020 B.1024 C.2044 D.20488.已知单调递增数列的通项公式为，，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论错误的是（）A.由样本数据得到的回归直线必过点B.若两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数就越接近于1C.从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺癌D.若散点图中所有点都在直线上，则样本相关系数10.设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（）A. B. C. D.与均为的最大值11.如图，有一列曲线，，，…，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记为曲线的边数，为曲线所围成图形的面积，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列：1，，，4，，…，则是这个数列的第______项．13.等比数列的公比为q，前n项和为，若，则______．14.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）求函数的导函数；（2）求曲线在点处的切线方程．16.直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2025年前5个月的带货金额：月份x12345带货金额y/万元350440580700880（1）求y关于x的线性回归方程，并据此预测2025年7月份该公司的直播带货金额；（2）该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：参加过直播带货未参加过直播带货总计女性3035男性10总计请填写上表，并判断是否有99.5%的把握认为参加直播带货与性别有关？参考数据：，，，．参考公式：，；，其中．0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.82817.已知正项数列的前n项和为，且．（1）求证：数列是等差数列，并求；（2）令，设数列的前n项和为．证明：．（教材P6改编）18.一辆快递车从A地往B地运送快递，沿途（包括A，B）共有10站．从A地出发时，装上发往后面9站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件．设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列．（1）求，，，并写出与的递推关系式；（2）求数列的通项公式，并求出的最大值．19.设函数，过点作x轴的垂线交函数的图象于点，以为切点作函数图象的切线交x轴于点，再过作x轴的垂线交函数的图象于点，以此类推得点，，…，记点，，…，，…的横坐标分别为，，…，，…，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，若对于任意的，都有，求实数的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由基本函数的导数公式即可求解.解答过程：，.2.已知等差数列的前3项分别为，，，则此数列的通项为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据等差中项解得，可得等差数列的首项为，公差为2，进而可得通项公式.解答过程：因为，，为等差数列，则，解得，可知等差数列的前3项分别为，1，，即首项为，公差为2，所以此数列的通项为.故选：B.3.函数在处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：使用导数的几何意义求解.解答过程：解：，切线斜率为，切线方程为，即为．4.在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最小的是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据正负相关，以及相关性的强弱即可求解.解答过程：由图可知：，由于图2的相关性比图4的相关性更强，故，故选：B5.在等差数列中，，等比数列满足，则（）A. B. C. D.3答案：A解析：思路：根据等差数列的性质有，即可求出，再由等比数列的性质有即可求解.解答过程：由等差数列下标和性质知，，则由等比数列下标和性质可知，故选：A.6.已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则（

）A.或 B.或 C.或 D.或答案：C解析：思路：先利用，，成等差数列解出，再利用求和公式化简求值即可.解答过程：解：设等比数列公比为，由，，成等差数列可得，，化简得，解得或，当时，2；当时，.故选：C.7.若数列满足，，则（

）A.1020 B.1024 C.2044 D.2048答案：C解析：思路：整理可得，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解.解答过程：因为，则，且，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，则，即，所以.故选：C.8.已知单调递增数列的通项公式为，，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据数列单调性列出不等式求解即可.解答过程：解：根据题意可知，实数的取值需满足，解得，则实数的取值范围为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列结论错误的是（）A.由样本数据得到的回归直线必过点B.若两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数就越接近于1C.从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺癌D.若散点图中所有点都在直线上，则样本相关系数答案：BCD解析：思路：由回归直线方程、相关系数、独立性检验相关概念逐项判断即可.解答过程：对于A，回归直线方程概念可知，回归直线必过样本中心点，故A正确；对于B，若两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数的绝对值就越接近于1，故B错误；对于C，由独立性检验的基本思想可知该判断不正确，故C错误；对于D，散点图中所有点都在直线上，则样本相关系数，故D错误．10.设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（）A. B. C. D.与均为的最大值答案：ABD解析：思路：设等差数列的公差为，根据题意，得到，结合等差数列的性质，逐项判定，即可求解.解答过程：根据题意，设等差数列的公差为，因为，可得，对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，所以，所以C不正确；对于D中，由，可得数列为递减数列，且，所以，所以和均为的最大值，所以D正确.故选：ABD.11.如图，有一列曲线，，，…，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记为曲线的边数，为曲线所围成图形的面积，则（）A. B.C. D.答案：BC解析：思路：使用等比数列通项公式，前项和公式求解.解答过程：解：依题意，令图形的边长为a，，边数是3；根据图形规律，图形边长为，边数为边数的4倍，即；图形边长为，边数为；依此类推，图形边长为，边数为，选项B正确，选项A错误；由图形知曲线所围图形的面积等于曲线所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，而每一个边增加的小等边三角形面积为，则，整理得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，又图形的面积，，选项C正确，选项D错误；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列：1，，，4，，…，则是这个数列的第______项．答案：406解析：思路：确定数列通项公式，进而可求解.解答过程：由数列是首项为1，公差为5的等差数列，通项公式为，故数列：1，，，4，，…，通项公式为，由，∴．即是这个数列的第406项.13.等比数列的公比为q，前n项和为，若，则______．答案：或1解析：解答过程：解：等比数列中，法一：若，则，符合题意；若，则，故，∴，或（舍）．或1．法二：由题知，∴，即，解得或1.14.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______．答案：2025解析：思路：由新定义确定的对称中心，即可求解.解答过程：解：因为，所以，，令，得，又，所以的对称中心是，所以，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）求函数的导函数；（2）求曲线在点处的切线方程．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）使用导数公式与导数运算法则求解；（2）使用切点处的导数值等于切线的斜率求解.解答过程：解：（1）设，根据求导的乘法法则，可得，∴（2）设，根据导数公式表及导数的四则运算法则，可得∴，∴切线方程为即．16.直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2025年前5个月的带货金额：月份x12345带货金额y/万元350440580700880（1）求y关于x的线性回归方程，并据此预测2025年7月份该公司的直播带货金额；（2）该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：参加过直播带货未参加过直播带货总计女性3035男性10总计请填写上表，并判断是否有99.5%的把握认为参加直播带货与性别有关？参考数据：，，，．参考公式：，；，其中．0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828答案：（1），1118万元（2）列联表见解析，有99.5%的把握认为参加直播带货与性别有关解析：思路：（1）由系数公式直接计算即可求解；（2）由计算公式，再比较临界值即可求解.（1）因为，，，，所以，，所以y关于x的线性回归方程为，当时，（万元），所以预测2025年7月份该公司的直播带货金额为1118万元；（2）补全完整的列联表如下：

参加过直播带货未参加过直播带货总计女性30535男性101020总计401555根据以上数据，经计算得到．因为，所以有99.5%的把握认为参加直播带货与性别有关．17.已知正项数列的前n项和为，且．（1）求证：数列是等差数列，并求；（2）令，设数列的前n项和为．证明：．答案：（1）证明见解析，（2）证明见解析解析：思路：（1）由的关系通过作差法即可求解；（2）通过裂项相消法即可解题.（1）当时，，∴当时，，∴，即，即，∵，∴所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，故（2）由（1）知∴又因为数列为递增数列，，综上．（教材P6改编）18.一辆快递车从A地往B地运送快递，沿途（包括A，B）共有10站．从A地出发时，装上发往后面9站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件．设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列．（1）求，，，并写出与的递推关系式；（2）求数列的通项公式，并求出的最大值．答案：（1），，；（）（2），解析：思路：（1）根据题意求前三项，分析可知在第n个快递站卸下件快递，同时装上件快递，即可得递推公式；（2）根据题意利用累加法求通项公式，结合二次函数求最大值.（1）由题意可知：，，．在第n个快递站卸下件快递，同时装上件快递，则，所以，．（2）由（1）知：，，可得，且，符合上式，所以，可得．19.设函数，过点作x轴的垂线交函数的图象于点，以为切点作函数图象的切线交x轴于点