2025-2026学年河南省南阳市九师联盟高三下册考前自测数学试题 含解析

/数学满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足为纯虚数，则（）A.13 B.5 C. D.3.若双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. C. D.4.的展开式中，的系数为（）A.135 B.15 C. D.5.已知，为单位向量，向量在向量方向上的投影向量为，则（）A.2 B. C.8 D.126.若，，则（）A. B. C. D.7.已知实数满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知函数，，，，，则（）A. B. C. D.0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.将的图象向右平移个单位长度后，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象D.的图象与的图象在内有4个交点10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是C上不同于顶点的一点，直线交C于另外一点Q，其中O为坐标原点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，直线交C于另外一点G，则下列说法正确的是（）A.C的短轴长为 B.四边形的周长为8C.的最小值为 D.11.定义在上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知各项均为正数的等比数列{}的前n项和为，且，则_______13.已知轴截面为等边三角形的圆锥的体积与球的体积的比值是，则该圆锥的底面半径与球的半径的比值为______．14.在面积为的锐角中，内角的对边分别为，且，则c的最小值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值．16.甲、乙两人进行射箭游戏，规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭．两位同学每次射箭相互独立，甲的命中率为，乙的命中率为，第1次射箭是甲．（1）求第3次射箭的人是甲的概率；（2）甲、乙一共射箭4次，用随机变量X表示乙射箭的次数，求X的分布列及数学期望．17.如图，在三棱柱中，平面ABC，，，点D是棱PA的中点，点E满足，点F是棱BP上的一点（不包含端点）．（1）若平面ABC，求证：；（2）若直线AF与平面BCD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．18.已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点．（1）若C的焦点恰好是的垂心，求；（2）若直线OA与直线OB的斜率之积为．（ⅰ）求证：直线AB恒过定点；（ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积．19.已知函数．（1）若，求的图象在处的切线方程；（2）若对任意的恒成立，求a的取值范围；（3）若，设是在区间内的根，求证：．

数学满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意，故A错误；因，故B错误；又，故C正确；因，故D错误．2.已知复数满足为纯虚数，则（）A.13 B.5 C. D.答案：D解析：思路：利用复数运算法则化简，再结合复数的模求解.解答过程：因为，又为纯虚数，所以且，解得，所以．3.若双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用双曲线的渐近线方程计算即可.解答过程：双曲线的渐近线方程为，所以，即．4.的展开式中，的系数为（）A.135 B.15 C. D.答案：A解析：解答过程：由题意可知的通项为，，可知的通项为，令，，解得，，所以的系数为．5.已知，为单位向量，向量在向量方向上的投影向量为，则（）A.2 B. C.8 D.12答案：B解析：解答过程：因为向量在向量方向上的投影向量为，且，所以，所以，所以．6.若，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用二倍角公式及两角和的正余弦公式可得解答过程：因为，所以，故．又，所以，．所以．所以．7.已知实数满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意得出点是在圆的上半部分，以及表示点到直线距离的倍，利用点到直线的距离即可求解.解答过程：由，得，即为圆的上半圆，圆心，半径为，如图所示，取点，又因为表示点到直线距离的倍，圆心到直线的距离，即直线与圆相离，点到直线的距离，所以的最小值为，最大值为，所以的取值范围为，故B正确．8.已知函数，，，，，则（）A. B. C. D.0答案：D解析：解答过程：因为，，，，所以有4个实数解，即有根1，2，3，4，设，当时，，解得，所以，故．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.将的图象向右平移个单位长度后，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象D.的图象与的图象在内有4个交点答案：BD解析：思路：利用辅助角公式得，对A和B，利用正弦函数的性质，代入检验，即可求解；对C，利用图象的平移变换，即可求解；对D，在同坐标系中作出两函数的图象，数形结合，即可求解.解答过程：对于A，由题意知，因为，故不是的对称轴，所以A错误，对于B，因为，故的图象关于点对称，所以B正确，对于C，将的图象向右平移个单位长度后，得到，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数，故C错误，对于D，在同坐标系中，作出与在内的图象，由图可知的图象与的图象在内有4个交点，故D正确．10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是C上不同于顶点的一点，直线交C于另外一点Q，其中O为坐标原点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，直线交C于另外一点G，则下列说法正确的是（）A.C的短轴长为 B.四边形的周长为8C.的最小值为 D.答案：BCD解析：思路：选项A，椭圆短轴长为，直接排除；选项B，利用椭圆定义和中心对称，四边形周长为；选项C，由，用均值不等式可求最小值为；选项D，利用椭圆对称性设点，通过斜率关系结合椭圆方程推导的值，再由推出，从而证.解答过程：选项A，由题意知椭圆的短轴长为，A错误；选项B，根据椭圆定义，，因为Q是P关于原点的对称点，所以，则四边形的周长为，B正确；选项C，由选项B，，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为，C正确；选项D，设，则，，，所以，，又，所以，故，D正确．11.定义在上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：先利用条件①②求出等特殊值，验证选项A、B；再通过迭代递推与条件①推导的表达式，验证选项C；最后利用条件②求出与，结合单调性得到的值，验证选项D．解答过程：对于A，因为，所以，即，因为，所以，A正确；对于B，因为，所以，解得，因为，所以，解得，B错误；对于C，因为，所以，C正确；对于D，因为，且，所以，因为当时，，且，所以，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知各项均为正数的等比数列{}的前n项和为，且，则_______答案：解析：解答过程：因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为，所以，，由得，即，解得或－1（舍），所以．13.已知轴截面为等边三角形的圆锥的体积与球的体积的比值是，则该圆锥的底面半径与球的半径的比值为______．答案：解析：思路：由轴截面为等边三角形求出圆锥底面半径与圆锥高的关系，求出圆锥的体积、球的体积即可得解.解答过程：设圆锥的底面半径为，球的半径为，因为圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高，所以圆锥的体积为，球的体积，所以，解得．14.在面积为的锐角中，内角的对边分别为，且，则c的最小值为__________.答案：1解析：思路：根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，化简得到，令，利用导数求得函数单调性和最小值，进而得到答案.解答过程：因为，由正弦定理得，所以，即，又因为的面积，故，所以，其中，令，所以，当时，，则，单调递减；当时，，则，单调递增，所以，即，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为1．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据条件得到，再由与间的关系，即可求解；（2）利用裂项相消法得到，再由数列的单调性，即可求解.（1）因为，数列是公差为的等差数列，所以，则，当时，，整理得到，则，所以数列是常数列，又，则，所以．（2）由题意知，所以，又，所以是递增数列，又，，所以使得成立的最小正整数的值为．16.甲、乙两人进行射箭游戏，规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭．两位同学每次射箭相互独立，甲的命中率为，乙的命中率为，第1次射箭是甲．（1）求第3次射箭的人是甲的概率；（2）甲、乙一共射箭4次，用随机变量X表示乙射箭的次数，求X的分布列及数学期望．答案：（1）（2）分布列见解析，解析：思路：（1）根据独立事件的乘法公式，结合加法概率公式进行求解即可；（2）根据独立事件的乘法公式，结合数学期望的公式进行求解即可.（1）记“第3次射箭的人是甲”为事件A，所以，即第3次射箭的人是甲的概率为．（2）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，所以，，，，所以X的分布列为X0123P所以．17.如图，在三棱柱中，平面ABC，，，点D是棱PA的中点，点E满足，点F是棱BP上的一点（不包含端点）．（1）若平面ABC，求证：；（2）若直线AF与平面BCD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．答案：（1）证明见解析（2）．解析：思路：（1）利用线面平行性质推得线线平行，结合向量线段比例关系，借助相似三角形比例证得线段倍数关系；（2）依据垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面法向量，套用线面角公式列方程求解参数，再利用等体积转化与线段比例，算出几何体体积．（1）在中，点是棱的中点，点满足，所以是的重心，连接，并延长交于点，连接，如图所示，则，因为平面，平面平面，平面PEF，所以，所以，即．（2）因为平面，平面，所以，，又，，所以，所以，所以两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，，，设平面BCD的法向量为，又，，所以，令，得，设，所以，所以，解得，所以，所以三棱锥的体积．18.已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点．（1）若C的焦点恰好是的垂心，求；（2）若直线OA与直线OB的斜率之积为．（ⅰ）求证：直线AB恒过定点；（ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积．答案：（1）（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）．解析：思路：（1）根据题意，结合图形可得，，设，由求出的值，即得；（2）（ⅰ）依题设直线AB的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用直线OA与直线OB的斜率之积为，列方程求得，即可得证；（ii）由（ⅰ）结合条件可得，求得点的坐标，写出直线MN的方程，与直线直线AB的方程联立，求得点的坐标，进而得到点的坐标，利用三角形的面积公式即可求得答案.（1）记C的焦点为F，因为C的焦点恰好是的垂心，所以，，设，则，又，由可得，解得或，所以．（2）（ⅰ）显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，由，得，所以，，，又直线OA与直线OB的斜率之积为，所以，解得，所以直线AB的方程为，故直线AB过定点．（ⅱ）由题意知，可得，即，所以或，当时，MN的中点为，直线MN的斜率为，方程为．此时直线AB的方程为，由，得，解得或，即，或，，故，又，点到直线MN的距离为，所以；当时，同理可得．综上，的面积为．19.已知函数．（1）若，求的图象在处的切线方程；（2）若对任意的恒成立，求a的取值范围；（3）若，设是在区间内的根，求证：．答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）分别求出