2025-2026学年黑龙江省佳木斯市第八中学高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（）A. B. C. D.2.向量与共线，则的值为（）A.-4 B.4 C.9 D.-93.若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（

）A.4 B. C. D.4.在，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（）A.2 B.3 C. D.5.如图，在矩形中，为的中点，则（）A. B.C. D.6.已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.7.在空间中，若直线平面，直线平面，则与（）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线8.如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（）A.当时，是实数B.当且时，是纯虚数C.复数的模D.虚数单位满足10.已知不重合的直线，，和平面，，则（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，，则D.若，，则11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c则（）A.若，则为等腰三角形B.若，则C.在锐角中，不等式恒成立D.若，，且有两解，则b的取值范围是三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.是虚数单位，则的值为__________.13.已知的内角的对边分别为，且，则________.14.如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，则原四边形的面积为_________．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，已知，，，解三角形．16.已知复数．（1）若为纯虚数，求的值；（2）若为实数，求的值；（3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．17.（1）一平面截一球得到直径为6cm的圆，球心到这个圆的距离是4cm，求该球的体积和表面积.（2）在正四棱台中，，求棱台的体积.18.由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.19.在中，（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．

数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意可得复数的虚部为.2.向量与共线，则的值为（）A.-4 B.4 C.9 D.-9答案：A解析：解答过程：由向量与共线，得，所以.3.若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（

）A.4 B. C. D.答案：A解析：解答过程：正三棱锥的所有棱长均为，则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，等边三角形的高为，则该三棱锥的表面积为.4.在，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（）A.2 B.3 C. D.答案：A解析：解答过程：在，，，，则，所以.5.如图，在矩形中，为的中点，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：因为为矩形，为的中点，所以.6.已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，得，而，则，因此，又，所以与的夹角为．7.在空间中，若直线平面，直线平面，则与（）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线答案：D解析：解答过程：由题意，在空间中，直线与没有公共点，即与不相交，则与可能平行，也可能是异面直线.8.如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：将正三棱台中补成正三棱锥，如图所示．因为为棱的中点，所以，又，所以四边形是平行四边形.所以.由，且，得是的中位线，所以分别为的中点，故，与的面积比为.所以三棱锥是正四面体.取底面的中心为，连接，易知底面，又平面，所以．因为为正三角形，，．在中，．所以正四面体的体积为.所以．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（）A.当时，是实数B.当且时，是纯虚数C.复数的模D.虚数单位满足答案：AB解析：解答过程：A.当时，复数简化为，其中为实数，故是实数，正确.B.当且时，复数，其中为非零实数，符合纯虚数定义，正确.C.复数的模定义为，选项中为立方根，错误.D.虚数单位满足，选项中为，错误.10.已知不重合的直线，，和平面，，则（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，，则D.若，，则答案：AD解析：思路：根据直线和平面的相关性质逐一判断即可.解答过程：对于A，根据平行传递性可知，若，，则，故A正确；对于B，若，，则可能出现，或，或相交但不垂直，或异面但不垂直，故B错误；对于C，若，，，，则或相交，故C错误；对于D，根据面面垂直判定定理可知，若，，则，故D正确.故选：AD11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c则（）A.若，则为等腰三角形B.若，则C.在锐角中，不等式恒成立D.若，，且有两解，则b的取值范围是答案：ACD解析：思路：A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项，由大边对大角与余弦函数的单调性可得；在锐角中，得到与正弦定理即可判断C的正误；根据题意，可得，求出b的范围，可判断D的正误；解答过程：选项A，因为，即，所以有整理可得，所以，故为等腰三角形，故A正确；选项B，由大边对大角，，由余弦函数在上单调递减，故，故B错误；选项C：若为锐角三角形，所以，所以，由正弦函数在单调递增，则，故C正确；选项D：因为，，如图，因为有两解，所以，，解得，故D正确；三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.是虚数单位，则的值为__________.答案：解析：思路：先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．解答过程：．方法提示：本题考查了复数模的运算，是基础题.13.已知的内角的对边分别为，且，则________.答案：解析：解答过程：由正弦定理，可得.14.如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，则原四边形的面积为_________．答案：解析：思路：利用斜二测画法的规则即可画出原四边形，即可求解．解答过程：由题可知，如图，建立平面直角坐标系，在轴上截取，，，在过点的轴的平行线上截取，在过点的轴的平行线上截取，连接，即可得到原四边形．原四边形是直角梯形，故四边形的面积为．选5四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，已知，，，解三角形．答案：，，.解析：思路：由三角形内角和定理求出，正弦定理求得边，勾股定理可得边.解答过程：由，，得.由正弦定理，可得,在中，．16.已知复数．（1）若为纯虚数，求的值；（2）若为实数，求的值；（3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．答案：（1）（2）或（3）解析：思路：（1）（2）（3）利用复数的定义，以及复数的几何意义，列出相应的关系式，即可求解.（1）由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得．（2）由复数为实数，可得，解得或．（3）由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则满足，解得，即的取值范围为．17.（1）一平面截一球得到直径为6cm的圆，球心到这个圆的距离是4cm，求该球的体积和表面积.（2）在正四棱台中，，求棱台的体积.答案：（1）体积，表面积为；（2）.解析：思路：（1）由勾股定理求出球的半径，再利用球的体积公式和表面积公式求球的体积和表面积；（2）根据题意求出、，则计算出、，根据棱台体积公式计算即可.解答过程：（1）设球心为，截面圆心为，连结，则截面圆，，

在中，，，∴球的半径，因此球的体积，球的表面积为；（2）如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，因为，则，，故，则，所以所求体积为.18.由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）要证明线面平行，需证明线线平行即可，即证明.（2）要证明面面平行，需通过证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行即可.（1）取的中点，连接.则.所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，不在平面内，所以平面.（2）因为，平面，不在平面