2025-2026学年吉林通榆县第一中学校高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单选题1.的展开式中的系数为15，则（

）A.9 B.8 C.7 D.62.某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（）A.264种 B.288种 C.312种 D.336种3.从0，1，2，3，4五个数字组成没有重复数字的四位数，则该数为偶数有多少个？（）A.66 B.60 C.90 D.964.已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（）A. B. C. D.5.若，有成立，则k的取值范围为（）A. B. C. D.6.已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.7.某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（）A.12种 B.24种 C.36种 D.30种8.已知函数有两个不同的零点且有，则下列说法中错误的是（）A. B.C. D.二、多选题9.已知函数的导函数的图象如下图所示，则（）A.函数的图象在处的切线斜率小于零B.函数在区间上单调递增C.当时，函数取得极值D.当时，函数取得极值10.下列说法正确的是（）A.已知，则x的取值为6或7.B.除以8的余数为1C.由1，1，1，2，3，4这六个数字组成的不同六位数共有120个D.将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有35种不同放法11.已知数列满足，则（）A. B.的前项和为C.的前100项和为100 D.的前9项和为三、填空题12.若3名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这4个兴趣小组，每人选报1组，则不同的报名方式有__________种.13.的展开式中含的项为____.14.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________.四、解答题15.从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛．（1）如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？（2）如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？（3）如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？16.已知等差数列满足，；等比数列的前3项和为7，前6项和为63.（1）求和的通项公式；（2）若，求的前n项和.17.已知函数．（1）讨论的极值；（2）求在上的最小值．18.函数.（1）若，求的极小值；（2）当时，证明.19.已知函数，若有三个实数根，，，且.（1）求实数的取值范围；（2）求证：①；②.

数学一、单选题1.的展开式中的系数为15，则（

）A.9 B.8 C.7 D.6答案：D解析：思路：由二项式定理通项公式即可求解.解答过程：设二项展开式中的第项含有，即中含有项，令，可得；所以，解得，故选：D2.某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（）A.264种 B.288种 C.312种 D.336种答案：B解析：思路：首先2名老师捆绑为一个元素和2名男同学全排列，再让女同学插空排列.解答过程：将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列，共有种方法，再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种.3.从0，1，2，3，4五个数字组成没有重复数字的四位数，则该数为偶数有多少个？（）A.66 B.60 C.90 D.96答案：B解析：思路：首先以个位数是否为0区分两种情况，其次对每种情况，都按照分步乘法原理即可求解．解答过程：若个位数为0，此时一定为偶数，没有重复数字的偶数有个；若个位数不为0，则第一步先确定个位数，必须为2或4，共种，其次确定千位数，千位数不能为0，则必须从剩余的一个偶数以及1、3中选，共种，最后从剩余的三个数字中选两个组成有顺序的十位数和百位数，共种，一共有个，所以没有重复数字的四位数为偶数的情况共有个．故选：B．4.已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据求解不等式可构造函数，求导得单调性，把求解不等式变形为，即，利用单调性比大小即可.解答过程：令，则，所以在上单调递减，因为，所以，不等式可变形为，即，可得，故选：B.5.若，有成立，则k的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先化简已知不等式得出在上单调递减，再应用导函数结合恒成立转化为最值得出参数范围.解答过程：由题得，∴在上单调递减，恒成立，即恒成立，又，所以．故选：B.6.已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用导数研究函数的单调性与最值，将问题化为计算两个函数的最大值即可.解答过程：易知，令得，得，则在上单调递减，在上单调递增，所以时，单调递增，即，而时，，由题意可知，所以，即.故选：A7.某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（）A.12种 B.24种 C.36种 D.30种答案：B解析：思路：根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解.解答过程：因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素，因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素，若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法；若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素，则有种分配方法；所以不同的安排方式有种；故选：B.8.已知函数有两个不同的零点且有，则下列说法中错误的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：对A、B，求导讨论函数单调性，然后计算可知；对C，，两边取对数然后结合对数均值不等式判断即可；对D，构建函数，然后求导可知函数单调性，结合，计算判断即可.解答过程：由题得，故当时，，不符合题意．当时，令，得，若，则；若．则．由题知必有，故．因为，所以．则A，B正确．由和知，因为，所以等号两边取对数得，即，由对数平均不等式知，即．则C错误．构造函数．则，所以单调递增，故，即．由知，所以，因为在上单调递增，所以．则D正确．故选：C．二、多选题9.已知函数的导函数的图象如下图所示，则（）A.函数的图象在处的切线斜率小于零B.函数在区间上单调递增C.当时，函数取得极值D.当时，函数取得极值答案：BC解析：思路：根据导数的几何意义判断Ａ；利用导函数的正负，分析函数的单调性，判断Ｂ；利用极值点的定义判断Ｃ，Ｄ.解答过程：由图可知，所以函数的图象在处的切线斜率大于零，所以Ａ错误.当时，恒成立，所以函数在区间上单调递增，所以Ｂ正确.由图可知，在的附近，当时，；当时，.即是的一个变号零点，所以在处取得极值.所以Ｃ正确.在的附近，恒成立，所以单调递增，所以不是的极值点，所以Ｄ错误.故选：BC.10.下列说法正确的是（）A.已知，则x的取值为6或7.B.除以8的余数为1C.由1，1，1，2，3，4这六个数字组成的不同六位数共有120个D.将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有35种不同放法答案：ACD解析：思路：由组合数的性质，计数原理及排列组合可得.解答过程：对于A，由组合数的性质得或者，得或，故A正确，对于B，因为，所以除以8的余数为，故B错误；对于C，由这六个数字组成的不同六位数共有，故C正确，对于D，将个相同小球放入个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，采用隔板法，有种不同放法，故D正确.故选：ACD11.已知数列满足，则（）A. B.的前项和为C.的前100项和为100 D.的前9项和为答案：ACD解析：思路：对于A：根据前n项和与通项公式之间的关系运算求解；对于B：结合等差数列求和公式运算求解；对于C：可得当为奇数，则，结合并项求和运算求解；对于D：整理可得，结合裂项相消法运算求解.解答过程：对于选项A：因为，当时，；当时，则，两式相减可得，即；且符合上式，所以，故A正确；对于选项B：因为，可知数列为等差数列，所以的前项和为，故B错误；对于选项C：因为，所以的前100项和为，故C正确；对于选项D：因为，所以的前9项和为，故D正确.三、填空题12.若3名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这4个兴趣小组，每人选报1组，则不同的报名方式有__________种.答案：64解析：思路：由分步乘法计数原理即可算出答案.解答过程：由分步乘法计数原理，得不同的报名方式有（种）.故6413.的展开式中含的项为____.答案：解析：思路：解法一：将三项展开式变为，根据和展开式的通项乘积可求得结果；解法二：直接根据组合数公式计算多项式的系数可得.解答过程：方法一:因为，二项式展开式的通项为，二项式展开式的通项为，所以多项式展开式的通项为，令，得，且，所以或或或或.①当时，的展开式中含的项为；②当时，的展开式中含的项为，③当时，的展开式中含的项为；④当时，的展开式中含的项为；⑤当时，的展开式中含的项为.综上，得的展开式中含的项为.方法二：可看成6个相乘，的展开式中含的项有以下三种情况：①个多项式取，个多项式取乘积得到，即；②个多项式取，个多项式取，个多项式取乘积得到，即；③个多项式取，个多项式取乘积得到，即；综上所述，的展开式中含的项为.14.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________.答案：解析：思路：令，，首先利用导数说明的单调性，即可得到，再对分类讨论，当时显然成立，当时，利用导数说明函数的单调性即可得.解答过程：令，设，则对任意的恒成立，所以在上单调递增，从而.①若，则当时，恒成立，符合题意.②若，，易知在上单调递增，因为，所以，所以，即，所以.因为，，所以，，所以.因为在上单调递增，其图象是一条连续的曲线，且，所以存在唯一的，使得，当时，，所以函数在上单调递减，，不符合题意，舍去.综上，实数a的取值范围为.故答案为.四、解答题15.从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛．（1）如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？（2）如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？（3）如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？答案：（1）60（2）91（3）14解析：思路：（1）用组合知识直接求解；（2）先求出若小王和小红均未入选时的选法，从而求出如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选时的选法；（3）分两种情况进行求解，再使用分类加法计数原理进行求解.（1）从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，，故有60种选法；（2）若小王和小红均未入选，则有种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，则有种选法；（3）若2个考点派送人数均为2人，则有种派送方式，若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有种派送方式，故一共有8+6=14种派送方式.16.已知等差数列满足，；等比数列的前3项和为7，前6项和为63.（1）求和的通项公式；（2）若，求的前n项和.答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据题意求得等差数列的首项和公差，即可求得的通项公式；根据等比数列的前项和公式求得其首项和公比，即可求得的通项公式；（2）根据等比数列及等差数列的前项和公式，利用分组求和法求得的前n项和.（1）设等差数列的公差为，则，解得.所以；设等比数列的公比为，若，则，显然无解，所以.所以，所以，解得，所以.所以.综上的通项公式为，的通项公式为.（2）设数列的前n项和为，则.因为，，所以.即的前n项和为.17.已知函数．（1）讨论的极值；（2）求在上的最小值．答案：（1）答案见解析（2）解析：思路：（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负可得单调性，由极值定义可求得结果；（2）分别在、和的情况下，根据的正负可得单调性，由此可得最值点，代入可求得最值.（1）由题意知：的定义域为，；当时，，恒成立，在上单调递增，无极值；当时，若，；若，；在上单调递减，在上单调递增；的极小值为，无极大值；综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）当时，在上恒成立，在上单调递增，；当时，若，；若，；在上单调递减，在上单调递增，；当时，在上单调递减，；综上所述：在上的最小值.18.函数.（1）若，求的极小值；（2）当时，证明.答案：（1）；（2）证明见解析.解析：思路：（1）代入，求导判断函数单调性，根据单调性求解函数的极小值（2）要证，即证，令，求导判断单调性，求出的最小值，得证.（1）函数的定义域为，当时，，由，得，即在上单调递增；由，得，即在区间上单调递减，所