2025-2026学年江苏苏州大学附属中学高二下册期中检测数学试题 含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设向量，，若，则（）A. B. C. D.2.已知是定义在上的可导函数，若，则（）A. B. C. D.3.用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，6，8，12，16中任意一个数作分母，可构成（）个不同的分数A.10种 B.18种 C.20种 D.40种4.已知曲线在点处的切线方程为，则A. B. C. D.5.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种 B.60种 C.120种 D.240种6.若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（）A. B.C. D.8.若函数有三个零点，则k的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（）A.取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种B.取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种C.取出的3个球中至多有2个蓝球的取法有种D.取出的3个球中至少有1个红球的取法有种10.设函数，则（）A.是的极大值点B.曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为C.当时，D.当时，11.在直三棱柱中，，是底边上一点，且，则（）A.直三棱柱外接球的表面积为B.当时，平面平面C.直线与所成角的余弦的最大值为D.点是的中点，点是线段上的一个动点，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______．13.从0，1，2，3，4中任取4个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数（用数字作答）．14.已知，.当时，函数的单调递减区间为________；若与的图象在交点处的切线重合，则________.四、解答题：本题共5小圈，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，，且.（1）求的值及曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.16.如图，在正方体中，，，分别是，的中点．（1）与平面所成角的正切值为________；（本小题直接写出答案即可）（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离．17.（1）解关于的不等式：3Ax（2）已知，求的值（用数字作答）；（3）为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有多少种?（用数字作答）18.如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面.，，是的中点.（1）证明：平面；（2）证明：直线平面；（3）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值.19.已知函数.（1）当时，求证：；（2）当时，求证：对于任意，恒成立；（3）若存在，，使得，求证.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设向量，，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据空间向量垂直转化为数量积为计算即可.解答过程：因为，可得，即，解之可得.故选：D2.已知是定义在上的可导函数，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：将题目给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解.解答过程：因为，即，即，则.故选：A.3.用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，6，8，12，16中任意一个数作分母，可构成（）个不同的分数A.10种 B.18种 C.20种 D.40种答案：C解析：思路：由分子、分母的选择个数及分步乘法计数原理可得分数的个数；解答过程：从1，5，9，13中的任选一个数作分子，4，6，8，12，16中任选一个数作分母，可构成个不同的分数；4.已知曲线在点处的切线方程为，则A. B. C. D.答案：D解析：思路：通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．解答过程：详解：，将代入得，故选D．方法提示：本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．5.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种 B.60种 C.120种 D.240种答案：C解析：思路：相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.解答过程：首先确定相同得读物，共有种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，根据分步乘法公式则共有种，故选：C.6.若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求出，分、、、讨论，根据是函数的极大值点可得答案.解答过程：f′当时，令可得，令可得，所以在上单调递减，在上单调递增.所以是函数的极小值点，不满足题意；当时，令得，或，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，不满足题意；当时，在上恒成立，此时单调递增，无极大值，不满足题意；当时，令得，或，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以是函数的极大值点，满足题意.综上所述，实数的取值范围是.7.在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据空间向量的线性运算即可求解.解答过程：.故选：C.8.若函数有三个零点，则k的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案.解答过程：由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示：若使得函数有3个零点，则.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（）A.取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种B.取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种C.取出的3个球中至多有2个蓝球的取法有种D.取出的3个球中至少有1个红球的取法有种答案：AD解析：思路：根据组合数的计算方式，分类和分步求出各选项给定条件的不同取法数目.解答过程：对于A，取出的3个球中恰好有1个蓝球，则还有个红球，故有种，故A正确；对于B，取出的3个球中至少有2个蓝球，包含2个蓝球1个红球和3个蓝球两种情况，故有，故B错误；对于C，取出的3个球中至多有2个蓝球的对立事件为个蓝球，则有C50对于D，取出的3个球中至少有1个红球的对立事件为个都是蓝球，有种，故D正确.10.设函数，则（）A.是的极大值点B.曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为C.当时，D.当时，答案：ABD解析：思路：求出函数的导数，求出函数的单调区间，再结合极值、对称性逐项判断得解.解答过程：函数的定义域为，求导得，当或时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，对于A，是的极大值点，A正确；对于B，令，，函数是奇函数，函数的图象关于原点对称，则函数的图象关于点对称，若函数的图象还有一个对称中心，则，而不为常数，因此点不是函数图象的对称中心，即函数的图象有且只有一个对称中心，则曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为，B选项正确；对于C，在上单调递减，，则，C错误；对于D，当时，，，，故−4<fx+1<0，D正确；11.在直三棱柱中，，是底边上一点，且，则（）A.直三棱柱外接球的表面积为B.当时，平面平面C.直线与所成角的余弦的最大值为D.点是的中点，点是线段上的一个动点，则的最小值为答案：ABD解析：思路：把直三棱柱补形为长方体，利用长方体的体对角线即外接球的直径，后计算外接球的表面积判断A选项；以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，通过判断法向量是否垂直判断B选项；构建关于的函数，分析其最大值判断C选项；取的中点，记为，取的中点，记为，因为点是的中点，所以点的轨迹是线段.因为点是线段上的一个动点，所以的最小值，即为线段上的点到线段的距离的最小值，结合长方体的性质可求得此距离，判断D.解答过程：直三棱柱的底面中，，所以可将直三棱柱补为如图所示长方体，则其外接球直径为长方体体对角线.因为，所以.因为所以，所以.所以直三棱柱外接球直径，半径，表面积：，A选项正确；以为原点，方向为轴建立空间坐标系，，，，，，则，，.当时，.，，.设平面的一个法向量，则，令则,,即，设平面的一个法向量，由，令，则1，，即.因为，故平面平面，B选项正确.设,设直线与所成的角为，则,设，，因为，所以，所以，所以，所以，当时，，即在，取得最大值，最大值为，所以C选项错误；对于选项D，如图所示，取的中点，记为，取的中点，记为，因为点是的中点，所以点的轨迹是线段.因为点是线段上的一个动点，所以的最小值，即为线段上的点到线段的距离的最小值.过作的平行线，交长方体的棱于点，由长方体的性质知，分别为所在棱的中点.因为平面，所以，所以与间的距离为.因为均在平面的同侧，所以点到的距离（即与间的距离）即为所求最小值.所以的最小值为.所以D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______．答案：解析：思路：根据关于轴对称的点的坐标特征，可直接得求解.解答过程：在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，故．13.从0，1，2，3，4中任取4个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数（用数字作答）．答案：96解析：解答过程：从0，1，2，3，4中任取4个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．14.已知，.当时，函数的单调递减区间为________；若与的图象在交点处的切线重合，则________.答案：①.②.解析：思路：当时，直接求导，解导函数小于0在定义域内的解集即可求得答案；设与的图象的交点为，结合题意得12x0=a解答过程：根据题意，当时，y=f,令，解得，所以函数y=fx设与的图象的交点为，，，所以交点处的切线斜率为f′x0因为与的图象在交点处的切线重合，所以12x0=a再将代入得x0=e12x所以.四、解答题：本题共5小圈，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，，且.（1）求的值及曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.答案：（1），切线方程为（2）最大值为，最小值为解析：思路：（1）求导后计算可得，再利用导数的几何意义计算即可得切线方程；（2）利用导数可得原函数单调性，再利用函数单调性计算即可得其最值.（1），则，故，则，，，，故曲线在点处的切线方程为，整理得；（2），则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故在区间上的最大值为，又，，故在区间上的最小值为.16.如图，在正方体中，，，分别是，的中点．（1）与平面所成角的正切值为________；（本小题直接写出答案即可）（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据线面夹角的定义即可求解；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）根据平面法向量的性质，结合空间点到面距离公式进行求解即可．（1）由正方体得，平面，四边形为正方形，连接，则与平面所成角即为，因为是中点，所以，在中，．（2）以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1A1所以直线与所成角的余弦值为cos〈A1（3）设平面的法向量为n=x则n⋅DB=0,n⋅BF=0,得平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为A1E⋅17.（1）解关于的不等式：3Ax（2）已知，求的值（用数字作答）；（3）为方便广大人民群众就医，普及医疗健康知识，社区组织“义诊下乡”活动，某医疗队伍有5名医生需分配到3个志愿团队，每个志愿队至少分配一名医生，甲医生被分到志愿队的方法有多少种?（用数字作答）答案：(1)；（2）；（3）50解析：思路：（1）根据排列的计算公式，代入化简，结合一元二次不等式即可求解.（2）由组合数的对称性得，代入所求式子中结合组合数的运算性质即可得解；（3）先按照A志愿队的人数分类，再按照分组分配的方法，即可求解.解答过程：（1）因为，所以3xx化简整理可得，解得，所以不等式解集为．（2）因为，则，解得，经验证符合，所以．（3）先按照A志愿队的人数分类，第一种情况，A志愿队只有甲医生，则剩下的4人可以为1，3或2，2的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法，第二种情况，A志愿队除甲医生外，还有1人，剩下的3人为1，2的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法，第三种情况，A志愿队除甲医生外，还有2人，剩下的2人为1，1的分组，再分配到另2个志愿团队，有种方法，所以共有种方法.18.如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面.，，是的中点.（1）证明：平面；（2）证明：直线平面；（3）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）取的中点为，连接，由正三角形性质得，结合面面垂直得出线面垂直，再根据线面垂直的判定定理可得平面；（2）取PA的中点为F，连接EF，BF，证得，进而根据线面平行的判定定理即可得出结论；（2）建立空间直角坐标系，空间向量表示直线与底面所成角，进而利用二面角的向量方法求解即可.（1）侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，取的中点为，连接，为等边三角形，，平面，所以底面，底面，，又因为，所以，平面，所以平面；（2）取的中点，连接，，如图．是的中点，，．由得，又，，，四边形是平行四边形，，又平面，不在平面内，平面．（3