2025-2026学年河南洛阳市高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()A.a＝－b B.a∥bC.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|2.已知i是虚数单位，，复数是的共轭复数，则下列结论错误的是（）A. B. C.为纯虚数 D.3.下列说法正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B.过空间内不同的三点，有且只有一个平面C.棱锥的所有侧面都是三角形D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台4.如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则（）A. B.C. D.5.已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（）A. B. C. D.6.在中，角的对边分别为，若，，点是的重心，且，则的面积为A. B. C.或 D.或7.下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（）A.①③ B.②③ C.①④ D.②④8.在中，，P为线段上的动点，且，则最小值为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中错误的为（）A.已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B.向量不能作为平面内所有向量的一个基底C.已知，且，则D.非零向量和满足，则与的夹角为10.在中，角、、所对的边分别为、、，且，且，则下列说法正确的是（）A.的外接圆的半径为B.若只有一个解，则的取值范围为或C.若为锐角，则的取值范围为D.面积的最大值为11.在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（）A.棱上存在一点，使得平面B.点在线段PQ上，则的最小值是C.过且与平面平行的平面截正方体所得截面面积为D.过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，已知，直角梯形是一个水平放置的四边形OABC的直观图，且，，则四边形的周长为__________.13.复数满足，则的最大值是______．14.在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，为的面积，且，则的取值范围是__________．四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，（1）求圆柱的表面积；（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．16.已知向量满足与的夹角为.（1）求向量在向量上的投影向量；（2）求与的夹角.17.设复数，且是纯虚数.（1）求实数的值；（2）若是关于的方程的一个根，求实数m，n的值.18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点为的内心，已知，向量，且.（1）求角的大小；（2）延长AM交BC于点，若，求的周长.19.如图所示，在四棱锥中，BC//平面PAD，，E是PD的中点．（1）求证：CE//平面PAB；（2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点，使MN//平面PAB？说明理由．20.如图，在中，是BC的中点，是的重心，过点的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.设.（1）若，求的值；（2）求的最小值；（3）若是边长为1的等边三角形，求的最小值.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()A.a＝－b B.a∥bC.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|答案：C解析：解答过程：A.可以推得为既不充分也不必要条件；B.可以推得或为必要不充分条件；C．为充分不必要条件；D同B.所以选C.2.已知i是虚数单位，，复数是的共轭复数，则下列结论错误的是（）A. B. C.为纯虚数 D.答案：C解析：解答过程：由题意易知，，所以，故A正确；，故B正确；，当时，C显然错误；，，故D正确.3.下列说法正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B.过空间内不同的三点，有且只有一个平面C.棱锥的所有侧面都是三角形D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台答案：C解析：思路：根据定义逐项分析即可解答过程：对：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以错误，反例如图：对：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故错误；对：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故正确；对：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误，故选.4.如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据题意，结合图形，易于判断A,B两项；对于C项，理解折纸过程知点是线段的中点，易得结论；对于D项，合并其中两个向量后，只需判断余下的两向量能否共线即可.解答过程：不妨设，则，对于A项，显然与方向不一致，所以，故A项错误；对于B项，由图知是钝角，则，故B项错误；对于C项，由题意知点是线段的中点，则易得：,即得：，故C项正确；对于D项，由，而与显然不共线，故．即项错误．故选：C．5.已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据相切结合勾股定理可得，即可求解，由圆台和球的体积公式即可求解.解答过程：设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图：的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6，则，解得，故所求体积之比为故选：B6.在中，角的对边分别为，若，，点是的重心，且，则的面积为A. B. C.或 D.或答案：D解析：思路：利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得或，利用和余弦定理列方程，求得面积的两种取值.解答过程：由题可知，，则，或.又，延长交于点，所以.因为，所以，即，当时，，所以的面积为；当时，，所以的面积为.故选D.方法提示：本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查向量运算，考查三角形的面积公式，属于中档题.7.下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（）A.①③ B.②③ C.①④ D.②④答案：C解析：思路：用面面平行的性质判断①的正确性.利用线交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性.解答过程：对于①，连接如图所示，由于，根据面面平行的性质定理可知平面平面，所以平面.对于②，连接交于，由于是的中点，不是的中点，所以在平面内与相交，所以直线与平交.对于③，连接，则，而与相交，即与平交，所以与平交.对于④，连接，则，由线面平行的判定定理可知平面.综上所述，能得出平面的图形的序号是①④.故选：C方法提示：本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.8.在中，，P为线段上的动点，且，则最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：在中，设，，，结合三角形的内角和以及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.解答过程：在中，设，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，则，所以，，解得，.以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，为线段上的一点，则存在实数使得，，设，，则，，，，，消去得，，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.方法提示：关键点点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中错误的为（）A.已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B.向量不能作为平面内所有向量的一个基底C.已知，且，则D.非零向量和满足，则与的夹角为答案：ACD解析：思路：利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用平面向量基底的定义可判断B选项；由平面向量数量积的定义可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.解答过程：选项A，已知，则.若两向量夹角为锐角，需要满足两个条件：数量积大于0，且不共线同向，则，即；若两向量共线，解得，此时夹角为（不是锐角），需排除，因此的范围是，A错误.选项B，平面向量基底要求两个向量不共线，由，可知两向量共线，因此不能作为基底，B正确.选项C，由只能推出，无法得到，（反例：，满足数量积相等但），C错误.选项D，设，的夹角为，展开得，则，所以，因此，D错误.10.在中，角、、所对的边分别为、、，且，且，则下列说法正确的是（）A.的外接圆的半径为B.若只有一个解，则的取值范围为或C.若为锐角，则的取值范围为D.面积的最大值为答案：AD解析：思路：首先利用三角恒等变换求，再根据正弦定理判断A；根据三角形的个数，建立不等式，判断B；求角的范围，利用正弦定理求，并求的取值范围，判断C；利用余弦定理，结合基本不等式求的最大值，即可判断D.解答过程：因为，所以，，所以，因为，所以，解得：，故A正确；B.若只有一个解，则或，得或，故B错误；C.因为角为锐角，，所以，所以，，所以，故C错误；D.，当时，等号成立，所以，所以面积的最大值为，故D正确.故选：AD11.在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（）A.棱上存在一点，使得平面B.点在线段PQ上，则的最小值是C.过且与平面平行的平面截正方体所得截面面积为D.过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为答案：BCD解析：思路：选项A：设，利用直线方向向量和平面法向量关系，建立关于的方程并求解；选项B：利用空间中两点之间距离公式，建立函数求解最值；选项C：确定平行且和平面平行的平面与正方体各棱的交点，确定截面形状，再计算面积；选项D：确定球心到过的平面的最大距离，再根据球的半径，利用勾股定理计算最小半径，进而得到最小面积.解答过程：如图所示，建立空间直角坐标系：设，得.选项A，设，，设平面的一个法向量，则，令，可得，即，若平面，则，即，超出棱范围，A错误.选项B，在上，满足，则：二次函数对称轴，代入得最小值为，B正确.选项C,过且平行于平面的平面截正方体得到等腰梯形，四个交点为：上底长，下底长，梯形高，面积，C正确.选项D,正方体外接球球心为，半径.正方体的外接球球心为，所有过的截面都经过直线，设是球心在直线上的垂足，的长度就是到直线的固定距离.对任意过的截面，设到的距离为，由几何关系：，是到截面的垂线段长度，满足（为与平面法向量的夹角，范围）.因此（球心到截面的距离）的最大值就是，为中点，，则，截面最小半径满足，最小面积，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，已知，直角梯形是一个水平放置的四边形OABC的直观图，且，，则四边形的周长为__________.答案：解析：思路：先作，求得，然后利用斜二测画法还原四边形，即可求解.解答过程：如图，作，则为等腰直角三角形，因为，所以，即，则四边形为如图所示的直角梯形，所以，，，，故四边形的周长为.13.复数满足，则的最大值是______．答案：49解析：思路：利用复数的几何意义，得到复数对应的图形，由图形求出的最大值.解答过程：解：设复数在复平面内对应的点坐标为，复数满足，则的几何意义为复平面内到点的距离为2的点的集合，即以为圆心，以2为半径的圆.，其几何意义为复平面内点到原点距离的平方，所以的最大值为圆心到原点的距离加半径的平方，即.故4914.在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，为的面积，且，则的取值范围是__________．答案：解析：思路：利用三角形面积公式和余弦定理转化为关于角的三角函数方程，进而利用三角形内角和关系把原式转化为仅含角的表达式，再结合基本不等式求解范围.解答过程：由已知，由余弦定理得，整理得，结合，解得（为锐角，舍去），故.为锐角三角形，故，且，得，因此.化简，令，由，可得，则随增大而增大，当时：，当时：，故，所以，代入原式得由基本不等式可得，当且仅当即时取最小值.验证端点值：，，故.综上，取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，（1）求圆柱的表面积；（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．答案：（1）；（2）．解析：思路：（1）设圆锥底面半径为r，圆柱底面半径为，求得和的值，以及圆柱和圆锥的母线长，结合侧面积和圆的面积公式，即可求解；（2）利用圆锥和圆柱的体积公式，即可求得剩下几何体的体积．解答过程：（1）设圆锥底面半径为r，圆柱底面半径为，因为过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，可得，，且圆柱母线长，圆锥母线长，所以圆柱的表面积为：（2）剩下几何体的体积．16.已知向量满足与的夹角为.（1）求向量在向量上的投影向量；（2）求与的夹角.答案：（1）（2）150°解析：思路：（1）利用向量投影的公式求解即可；（2）利用向量夹角的余弦公式求解即可.（1）与方向相同的单位向量为.所以向量在向量上的投影向量为.（2）由已知得.所以,又因为，所以设与的夹角为则，所以.17.设复数，且是纯虚数.（1）求实数的值；（2）若是关于的方程的一个根，求实数m，n的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据复数除法法则计算出，由纯虚数的概念列出关于的方程组解出即可；（2）将代入到方程中得出关于的方程组解出即可.（1）因为是纯虚数，所以，解得.（2）由（1）知，，因为是关于的方程的一个根，则，即，所以，.18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点为的内心，已知，向量，且.（1）求角的大小；（2）延长AM交BC于点，若，求的周长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）结合向量共线性质和正弦定理建立关于的方程并求解；（2）根据三角形内心的性质和面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解.（1），由正弦定理，得，，即.（2）点为的内心，为的