2025-2026学年黑龙江龙东十校联盟高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列满足，则的值为（）A.13 B.14 C.15 D.162.某高山滑雪运动员在一次训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为.则当时，运动员的滑雪瞬时速度为（）A. B. C. D.3.已知数列的前项和为，满足，则（）A. B. C. D.4.已知函数，则（）A. B.1 C. D.5.已知数列的前项和为，则（）A. B. C.3040 D.60766.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知数列是首项和公比均为4的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前40项的和（）A.1399 B.1464 C.1468 D.14868.已知关于的方程有实数根，则的最小值为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等比数列中，，则（）A.B.公比C.数列为等比数列D.数列为等比数列，且公比为410.已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（）A. B. C.1 D.211.已知等差数列中，，其前项和为，若，则（）A.公差B.C.当时，的最小值为57D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列中，，则__________．13.已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为__________.14.若正项递增等比数列满足，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.16.已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足.（1）求和的通项公式；（2）记，求的前项和及的最小值.17.已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.18.已知数列的前项和为.（1）求的通项公式；（2）设求数列的前项和；（3）设，数列的前项和为，求证.19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，求的单调区间；（3）若存在，使得，求证.

数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列满足，则的值为（）A.13 B.14 C.15 D.16答案：C解析：解答过程：由题意知.2.某高山滑雪运动员在一次训练中滑行的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为.则当时，运动员的滑雪瞬时速度为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意得，所以.3.已知数列的前项和为，满足，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题意得数列是等差数列，利用等差数列前项和公式即可求解.解答过程：由，知数列是等差数列，公差，又，所以，故A正确.4.已知函数，则（）A. B.1 C. D.答案：D解析：解答过程：将求导得，取，代入得，解得.5.已知数列的前项和为，则（）A. B. C.3040 D.6076答案：B解析：思路：由通项公式确定为定值，即可求解.解答过程：由题知所以，所以.6.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.解答过程：由题意可知，函数在上单调递增，需同时满足以下三个条件：①在上单调递增；②在上单调递增；③当时，，因此.对于①，要使在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，所以，因为，所以，解得；对于②，因为在上单调递增，所以在上单调递增时，；对于③，，所以.综上所述，实数的取值范围是，故D正确.7.已知数列是首项和公比均为4的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前40项的和（）A.1399 B.1464 C.1468 D.1486答案：A解析：思路：确定前5项共插入多少项，进而可求解.解答过程：因为，由题意前5项共插入项则数列的前40项和.8.已知关于的方程有实数根，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将方程实根代入原式，把点转化为在对应定直线上，利用原点到该直线的距离作为的最小值，换元构造函数求导分析单调性得到最小值e，进而推出，最后验证取等条件求出对应的值.解答过程：设方程的实数根为.则，即.设点，则点在以为变量的直线上.点到直线的距离.设，则.当时，0；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，则.所以，则.当时，，由解得此时；由解得此时.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等比数列中，，则（）A.B.公比C.数列为等比数列D.数列为等比数列，且公比为4答案：ACD解析：解答过程：由题知，解得，故B错误；所以，故A正确，，则，故，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；因为，所以，所以，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，故D正确.10.已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（）A. B. C.1 D.2答案：CD解析：思路：根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，进而求解不等式.解答过程：令函数，求导得，由，得，即函数在定义域上单调递增，由，得，不等式，即，解得，所以所求的值可能为1，2.11.已知等差数列中，，其前项和为，若，则（）A.公差B.C.当时，的最小值为57D.答案：BCD解析：思路：由题意，S30−S26S30−S27解答过程：因为S30−S又为等差数列，设公差为，则a28=a所以S30若，由，得，则a28+a29a29由A选项可知，所以，由2a29−da29<0由B选项，可知，若，则，由，得，则当时，；由，则，则当n≥57时，，所以当时，的最小值为57，故C正确；由S28+则S=282⋅所以，故D正确.综上所述，选项BCD正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列中，，则__________．答案：7解析：解答过程：因为为等差数列，则，解得，因为，故．13.已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为__________.答案：解析：思路：结合导数的几何意义求曲线上过点的切线方程，再求曲线过点的切线方程，结合条件列方程，由此可得结论.解答过程：设曲线上的切点为，因为，所以直线为，即.设曲线上的切点为，因为，所以直线为，即，所以，解得，所以，所以在轴上的截距为.14.若正项递增等比数列满足，则的最小值为__________.答案：##解析：思路：先根据得，代入化简得，再设函数，利用导数分析函数的单调性，可求其最小值.解答过程：设正项递增等比数列的公比为，由，得，由等比数列的性质可得.令，则，令，得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，取得极小值，同时也是最小值，，即的最小值为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.答案：（1）最大值为28，最小值为；（2）解析：思路：（1）对函数求导得出函数单调性计算出极值并比较大小，可求得最值；（2）根据（1）中结论并结合其单调性以及零点个数可求出实数的取值范围.（1）由题知.令，得或；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；因此分别在和处取得极大值和极小值，又，所以函数在上的最大值为28，最小值为.（2）由（1）知在上单调递增，；在上单调递减，；在上单调递增，，所以要使在上有两个零点，只需或，即实数的取值范围为.16.已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足.（1）求和的通项公式；（2）记，求的前项和及的最小值.答案：（1），（2），的最小值为解析：思路：（1）根据等差数列和等比数列定义由已知条件列方程，解得公差、公比及首项即可写出数列和的通项公式；（2）由（1）可得，采用分组求和法，结合等差、等比数列求和公式可得，通过分析的单调性求得的最小值.（1）设数列的公差为，数列的公比为，由题知，解得，则，所以；由题知，解得，则，所以.（2）由（1）知，.当时，易知为递增数列，当时，，即；当时，，即；所以，即当时，取得最小值.17.已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：(1)由题可得，然后根据极值的概念即得；(2)由，构造辅助函数，问题转化为恒成立，求导分析单调性，利用经典不等式简化，分类讨论m的取值范围.（1）由题知的定义域为.因为是的极值点，所以，解得，此时.由，得；由，得或，则函数在上单调递增，在上单调递减.故是极值点，符合题意，所以.（2）法一：由（1）知.由，得.令，则.令，则.令，得.当时，单调递增；当时，单调递减.因此在处取得极小值，同时也是最小值，且.故对恒成立，即，同理也可得.令，则，所以，即在上单调递增，从而.当，即时，，则在上单调递增，从而，此时符合题意；当，即时，.设，则.令，则，则即在上单调递增.所以，从而在上单调递增.所以，故.又，由零点存在定理及在上单调递增可知存在唯一的，使得，所以当时，在上单调递减，从而，此时不符合题意.综上，实数的取值范围为.法二：当时，不等式恒成立，当时，由.易证，所以，令，当,.又，故下界为2，所以.18.已知数列的前项和为.（1）求的通项公式；（2）设求数列的前项和；（3）设，数列的前项和为，求证.答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）利用与的关系可求出数列的通项公式；（2）由（1）知，得为奇数时，，当为偶数时，，，令，，通过错位相减法分别求得即得；（3）由（1）知，通过放缩法结合裂项求和即可得证.（1）当时，，而满足上式，所以.（2）当为奇数时，，当为偶数时，，所以，令，则，，两式相减，得，故.而，，两式相减，得，故，故.（3）证明：由题知，所以，即命题得证.19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，求的单调区间；（3）若存在，使得，求证.答案：（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为；（3）证明见解析.解析：思路：（1）求导得函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.（2）求出函数，利用导数求出单调区间.（3）利用导数求得，确定函数单调性，由此可得，再按分类并构造函数，利用单调性证明不等式.（1）函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）依题意，的定义域为，求导得，令函数，求导得，函数，即在上单调递增