2025-2026学年湖南省邵阳市邵东市第四中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.）1.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（）A. B. C. D.2.口袋中装有4个白球和5个红球，每个球编有不同的号码，从中取出2个球，则至少有1个白球的取法数为（）A.26 B.30 C.32 D.523.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A.40个 B.48个 C.52个 D.64个4.已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.85.二项式的展开式中，系数最大的项为（）A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项6.已知小明和小红参加学校组织的兴趣小组活动，已知两人同时报名围棋兴趣小组的概率为，且在小明已报名围棋兴趣小组的条件下，小红报名围棋兴趣小组的概率为，则小明报名围棋兴趣小组的概率为（）A. B. C. D.7.现安排甲、乙、丙、丁、戊位数学老师负责学校校本课程的授课任务，学校提供数独、数学建模、数学史、解题逻辑四门课程供学生选择，每位老师仅负责一门课程，每门课程至少有位老师负责，已知甲、乙不能讲授数独但能讲授另外三门课程，丙、丁、戊能讲授这四门课程中的任意一门，则不同安排方案的种数是（）A. B. C. D.8.下列有关说法正确的是（）A.已知随机变量服从二项分布，若，则B.记两个变量的样本相关系数为，若越接近0，线性相关程度越强C.设随机变量ξ服从正态分布，若，则D.一组数据1，2，2，3，5，8，15，20的第60百分位数为4二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）9.设，为一次随机试验中的两个事件．若，，，则（）A. B. C. D.10.下列选项正确的是（）A.从5男3女中选2人，若至少有1名女生，则有21种不同的选法B.5人排成一列，若甲，乙必须相邻，则有48种不同的排列方法C.3男3女排成一列，若女生互不相邻，则有144种不同的排法D.10个相同小球分给3个小朋友，若每人至少1个，则有42种不同的方法11.下列结论正确的有（）A.若随机变量，，则B.若随机变量，则C.样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D.如果随机变量服从，且，那么是上的增函数三、填空题填空题（共3小题，每小题5分，共15分.）12.的二项展开式中，的系数为____________.13.某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______（用数字作答）．14.某地区有两种天气类型：晴天和雨天.气象台对第二天的天气进行预报，但预报有误差：如果实际是晴天，预报为雨天的概率是0.2，如果实际是雨天，预报为雨天的概率是0.9.已知该地区预报为雨天的总概率是0.76，现在某天气象台预报为雨天，则实际为雨天的概率是________.四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知且满足各项的二项式系数之和为256．（1）求的值；（2）求的值．16.一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为.（1）求这位教授迟到的概率；（2）现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率.17.某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望.18.某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据：天数(序号)x12345每日取件人数120100807055（1）计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)；（2）从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望.注:（1）样本的相关系数（2）参考数据：19.杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等．如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，．补充一：补充二：（1）求图中第行的各数之和；（2）在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由；（3）杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，．数学一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.）1.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1；图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近；图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以；图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以；所以.2.口袋中装有4个白球和5个红球，每个球编有不同的号码，从中取出2个球，则至少有1个白球的取法数为（）A.26 B.30 C.32 D.52答案：A解析：解答过程：至少有1个白球为2个白球或1个白球，所以至少有1个白球的取法数为.3.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A.40个 B.48个 C.52个 D.64个答案：C解析：思路：分0，2，4作为尾数三种情况讨论，结合排列知识可得答案.解答过程：三位数为偶数，则尾数只能为0，2，4若偶数尾数为0，则百位，十位的数字排列情况数为；若尾数为2，百位的情况数为4种，十位的情况数为4种，则共有16种；若尾数为4，百位的情况数为4，十位的情况数为4，共有16种.则满足题意的偶数共有：种.故选：C4.已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8答案：A解析：思路：利用正态分布曲线对称性求解即可.解答过程：根据正态分布曲线可知图象关于对称，则．5.二项式的展开式中，系数最大的项为（）A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项答案：D解析：解答过程：二项式的展开式的通项公式为，当为偶数时，，系数为正数，当为奇数时，，系数为负数，因此只有为偶数时，能取到系数的最大值，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，因此当时，系数为是所有项中最大的系数，，因此系数最大的项是第7项.6.已知小明和小红参加学校组织的兴趣小组活动，已知两人同时报名围棋兴趣小组的概率为，且在小明已报名围棋兴趣小组的条件下，小红报名围棋兴趣小组的概率为，则小明报名围棋兴趣小组的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：本题可根据条件概率公式求解小明报名围棋兴趣小组的概率.解答过程：记小明，小红报名围棋兴趣小组分别为事件，则，故．故选：D．7.现安排甲、乙、丙、丁、戊位数学老师负责学校校本课程的授课任务，学校提供数独、数学建模、数学史、解题逻辑四门课程供学生选择，每位老师仅负责一门课程，每门课程至少有位老师负责，已知甲、乙不能讲授数独但能讲授另外三门课程，丙、丁、戊能讲授这四门课程中的任意一门，则不同安排方案的种数是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：对讲授数独课程的教师人数进行分类讨论，结合分组分配法求解即可.解答过程：对讲授数独课程的教师人数进行分类讨论，①若只有一位教师讲授数独课程，只能是丙、丁、戊中的一位，有种选择，再将剩余的四位老师分为三组，每组人数分别为、、，再将这三组老师分配给三门课程，不同的分配方法种数为种；②若有两位老师讲授数独课程，可从丙、丁、戊中三位老师中选择两位，有种选择，然后再将剩余的三位老师分配给三门课程，则不同的分配方法种数为种.综上所述，不同的分配方法种数为种.8.下列有关说法正确的是（）A.已知随机变量服从二项分布，若，则B.记两个变量的样本相关系数为，若越接近0，线性相关程度越强C.设随机变量ξ服从正态分布，若，则D.一组数据1，2，2，3，5，8，15，20的第60百分位数为4答案：C解析：解答过程：A选项，，，故．B选项，记两个变量的样本相关系数为，若越接近1，线性相关程度越强．C选项，根据正态分布密度函数对称性，由得．D选项，，该组数据的第60百分位数为5．二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）9.设，为一次随机试验中的两个事件．若，，，则（）A. B. C. D.答案：ABC解析：思路：由对立事件概率可得A；利用条件概率公式可求B；根据可得C；由全概率公式可判断D.解答过程：因为，所以，故A正确；因为，所以，故B正确；因为，根据乘法公式得，，故C正确；由全概率公式可得，，故D错误，故选：ABC．10.下列选项正确的是（）A.从5男3女中选2人，若至少有1名女生，则有21种不同的选法B.5人排成一列，若甲，乙必须相邻，则有48种不同的排列方法C.3男3女排成一列，若女生互不相邻，则有144种不同的排法D.10个相同小球分给3个小朋友，若每人至少1个，则有42种不同的方法答案：BC解析：思路：根据对立事件法可判断A；根据捆绑法可判断B，根据插空法可判断C；根据隔板法可判断D.解答过程：对于A：从8人中选2人，总选法为，全是男生的选法为，因此至少1名女生的选法为，A错误；对于B：将甲乙看作1个整体，共4个元素全排列，再乘甲乙内部的排列：

，B正确；对于C：先排3名男生，全排列得，3名男生共形成4个空位，从4个空位中选3个排入3名女生，得，总排法为，C正确；对于D：个相同元素分给个对象、每人至少1个，公式为，代入得，D错误.11.下列结论正确的有（）A.若随机变量，，则B.若随机变量，则C.样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D.如果随机变量服从，且，那么是上的增函数答案：AD解析：解答过程：对于选项A：因为随机变量，，所以，故A正确；对于选项B：因为随机变量，则，所以，故B错误；对于选项C：因为相关系数的绝对值的大小越接近，两个变量的线性相关性越强；反之线性相关性越弱，故C错误；对于选项D：由正态曲线的性质可知，是上的增函数，故D正确．三、填空题填空题（共3小题，每小题5分，共15分.）12.的二项展开式中，的系数为____________.答案：解析：思路：写出二项展开式的通项公式，令，解出，代入即可得到答案.解答过程：二项式的展开式的通项公式为，令，解得，所以的系数为.故答案为.13.某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______（用数字作答）．答案：150解析：解答过程：先将5位教师分成3组，且每组至少1人，一共有2种分组方式：其中1、1、3分配方式有种；1、2、2分组方式有种；再将分好组的3组教师分配到3所乡村中学，其分法有种，所以分配方案的总数为14.某地区有两种天气类型：晴天和雨天.气象台对第二天的天气进行预报，但预报有误差：如果实际是晴天，预报为雨天的概率是0.2，如果实际是雨天，预报为雨天的概率是0.9.已知该地区预报为雨天的总概率是0.76，现在某天气象台预报为雨天，则实际为雨天的概率是________.答案：解析：思路：利用条件概率公式与全概率公式计算即可得.解答过程：设事件表示预报为雨天，事件表示实际为雨天，则由题意可得，，所以，解得，则，故，所以.四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知且满足各项的二项式系数之和为256．（1）求的值；（2）求的值．答案：（1）448（2）255解析：思路：（1）先由各项的二项式系数之和为256．可得，求得，再利用通项求解即可；（2）利用赋值法令，得，再令，得，再减去即可．（1）因为各项的二项式系数之和为256，所以，所以，二项式展开式的通项为，所以；（2）令，得，令，得，所以．16.一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为.（1）求这位教授迟到的概率；（2）现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）设A=“这位教授迟到”；B1=“乘飞机”；B2=“乘动车”；B3=“乘非机动车”，根据全概率公式，即可求得答案；（2）由题意可知所求概率为，根据贝叶斯公式即可求得答案.（1）设“这位教授迟到”；=“乘飞机”；=“乘动车”；=“乘非机动车”，则，由全概率公式得.（2）由题意可知所求概率为，由贝叶斯公式得.17.某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望.答案：（1）（2）（3）分布列见解析，解析：思路：（1）由频率分布直方图可得；（2）由（1）结合频率分布直方图可求平均数；（3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，由题可得，则随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，据此可得答案.（1）由题知，，解得.（2）设为样本数据的平均数，则，故这组样本数据的平均数为76.5.（3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，由题知，随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，∴X的分布列为01230.2160.4320.2880.064随机变量X的数学期望.18.某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据：天数(序号)x12345每日取件人数120100807055（1）计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)；（2）从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望.注:（1）样本的相关系数（2）参考数据：答案：（1）；变量x与y之间具有很强的线性相关关系（2）分布列见解析；期望：1.8解析：思路：（1）使用相关系数计算公式求相关系数，根据求解结果判