2025-2026学年江苏南通市崇川区、通州区、启东市高一下册期中测试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点，则（）A. B. C. D.2.（）A.0 B. C. D.13.在中，，设，则（）A. B. C. D.4.在中，，，，则（）A. B. C. D.5.如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（）A. B. C. D.6.在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形7.已知非零向量的夹角为，且满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.8.已知，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知表示空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若共面，共面，则共面10.已知向量满足，则（）A.当时，与的夹角为 B.当时，在上的投影向量为C.当与的夹角为时， D.的最大值为11.在锐角中，角所对的边分别为，则（）A. B.的取值范围是C.存在，其面积为1 D.边上的中线长的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，写出一个与垂直的单位向量_____．13.已知，则_____．14.在平面凸四边形中，，，，的面积为．当最大时，四边形的面积为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量．（1）若，求实数的值；（2）若，求与的夹角的值．16.如图，在正方体中，为棱的中点．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求异面直线与所成角的大小；（3）作出平面与正方体表面的交线，写出作图过程并说明理由．17.已知为锐角，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．18.如图，在半径为、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点．（1）若为的中点，证明：不是弧的中点；（2）求周长的最大值；（3）作，垂足为，求四边形面积的最大值．19.在中，已知是上的点，平分，．（1）证明：；（2）若，求的面积；（3）若，求．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，则.2.（）A.0 B. C. D.1答案：D解析：解答过程.3.在中，，设，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用三角形法则，以及平面向量基本定理，结合已知条件分析求解即可.解答过程：如图所示：因为，所以DE=又，所以.4.在中，，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由余弦定理直接计算求解即可.解答过程：由题意得，又，所以.故选：A5.如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：A选项中的图形旋转得到的是同心球，外面一个大球，里面一个小球；B选项中的图形旋转得到的是空心环状几何体；C选项中的图形旋转得到的是内胎；D选项中的图形旋转得到的是球.6.在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案：C解析：解答过程：在中，由，根据正弦定理，得sinA又，则，即，在中，，则，因为，所以，则为直角三角形.7.已知非零向量的夹角为，且满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由，得，化简得：a2=2a⋅b=2a设与的夹角为，cosθ=2a→−8.已知，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.解答过程：，因为，则，则，则.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知表示空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若共面，共面，则共面答案：AC解析：思路：应用线线位置关系，结合平行垂直及异面判断各个选项即可.解答过程：已知表示空间中三条不同的直线，若，则，A选项正确；若，则可以相交，平行或异面，B选项错误；若，则，C选项正确；若共面，共面，则可能是异面直线，D选项错误.10.已知向量满足，则（）A.当时，与的夹角为 B.当时，在上的投影向量为C.当与的夹角为时， D.的最大值为答案：BCD解析：解答过程：对于A，设向量的夹角为，由向量夹角公式cosθ=a→⋅b对于B，由，两边平方化简得：，因为在上的投影向量为，代入数据可得1222b→=对于C，由当与的夹角为，2a−b=(2a对于D，a+b+a−b=a+b2+a−b11.在锐角中，角所对的边分别为，则（）A. B.的取值范围是C.存在，其面积为1 D.边上的中线长的取值范围是答案：ACD解析：思路：对于A，由结合正弦定理及两角和与差的正弦公式化简判断即可；对于B，结合及锐角可得，，再根据正弦定理及二倍角公式可得，进而求解判断即可；对于C，表示出，求出面积的取值范围即可判断；对于D，设的中点为，根据平面向量的数量积可得CD=122a2+b2−4，结合，，可得a2+解答过程：对于A，由，根据正弦定理，得，则sinA即，则，即cosB在锐角中，，则，则，即，故A正确；对于B，由，则，在锐角中，，即，则，由正弦定理，得，故B错误；对于C，由，，，，即，根据正弦定理，得，则bsinB=2则=4因为函数在上单调递减，且时，，时，，所以3tanB−则存在，其面积为1，故C正确；对于D，设的中点为，则，所以CD=1又，而，则，则a2令sin2B=令5−4t=n因为函数在上单调递增，且时，，时，，则n+4n∈13所以CD=即边上的中线长的取值范围是，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，写出一个与垂直的单位向量_____．答案：（答案不唯一）解析：解答过程：设，由题意得，解得或，则或.13.已知，则_____．答案：解析：解答过程：由，，两式相减得，，即.14.在平面凸四边形中，，，，的面积为．当最大时，四边形的面积为__________．答案：解析：思路：利用余弦定理结合勾股定理可得出，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，根据以及图形求得，且有，分析可得，利用基本不等式结合两角差的正切公式可求出的最大值，利用等号成立的条件可求出点的坐标，进而可求得四边形的面积.解答过程：在中，，，，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以，故，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，则点在第一象限，设点，则，解得，则，因，而，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，此时取最大值，则点，故.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量．（1）若，求实数的值；（2）若，求与的夹角的值．答案：（1）（2）解析：（1）由，得，因为，所以，解得.（2）由，，则，因为，所以，解得，则，所以，因为，所以.16.如图，在正方体中，为棱的中点．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求异面直线与所成角的大小；（3）作出平面与正方体表面的交线，写出作图过程并说明理由．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先证明，可得为异面直线与所成角，进而求解即可；（2）先证明，可得为异面直线与所成角，进而求解即可；（3）连接，通过证明，得到四点共面，即可得解.（1）在正方体中，，则为异面直线与所成角，由于四边形为正方形，则，即异面直线与所成角为.（2）连接，在正方体中，，则为异面直线与所成角，而，则为等边三角形，即，则异面直线与所成角为.（3）设的中点为，连接，因为为的中点，所以，在正方体中，，，则四边形为平行四边形，即，则，则四点共面，因此平面与正方体表面的交线为，如图，17.已知为锐角，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由齐次式及同角三角函数的商数关系即可求解；（2）由同角三角函数的平方关系及二倍角公式即可求解；（3）由两角差的正弦公式及各象限三角函数的符号即可求解．（1）.（2）因为为锐角，所以，由，设，由得，（舍去负值），所以，则．（3）为锐角，则，所以，又cosα+β=−2由α∈0,π2⇒2所以，则=4因为，所以，所以．18.如图，在半径为、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点．（1）若为的中点，证明：不是弧的中点；（2）求周长的最大值；（3）作，垂足为，求四边形面积的最大值．答案：（1）证明过程见解析.（2）（3）解析：思路：（1）根据正弦定理进行判断；（2）利用平行线性质和正弦定理并设∠POQ=θ（1）证明：已知扇形半径，∠AOB=π3，PQ设∠POQ=θ，则∠OQP=代入得OP=若为中点，则，得sin(π3−若是弧中点，则，此时sin(π3−因此不是弧的中点.（2）由正弦定理得PQ=OQsin代入得L=4化简sin(π3故θ+π3∈(π3,因此周长最大值为Lmax（3）设α=∠QOB=π3−θ，，，故QH=6由梯形面积公式得S=化简得S=36利用三角恒等变换S=18由辅助角公式得18sin⁡2α因此面积最大值为Smax19.在中，已知是上的点，平分，．（1）证明：；（2）若，求的面积；（3）若，求．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理化简可证得结论成立；（2）利用（1）中