2025-2026学年黑龙江龙东十校联盟高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，，且，则（）A.-2 B. C. D.23.已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（）A. B.6 C. D.34.已知是两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（）A. B.2 C. D.6.在中，内角的对边分别为，且，的面积为，则的值为（）A.1 B. C.2 D.7.如图，在梯形中，为上一点，且满足，则（）A.1 B. C. D.28.已知直四棱柱的底面是边长为的正方形，分别是棱的中点，点是棱上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量不共线，，若三点共线，则的可能的取值为（）A. B. C. D.10.已知为复数，则下列说法正确的是（）A.若，则B.C.若且，则D.11.如图，在三棱柱中，四边形是边长为2的正方形，点为棱的中点，平面，则下列说法正确的是（）A.直线与直线是异面直线B.C.三棱柱的侧面积可能为10D.三棱柱的体积的最大值为2三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数是纯虚数，则__________．13.在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________.14.已知平面向量满足，非零向量满足，向量满足，则的最小值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，且，锐角满足．（1）求的值；（2）若是线段的中点，求的值．16.如图，在正方体中，点分别为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）记平面平面平面，求证：三点共线.17.在中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的值；（3）若，求的值.18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面分别是棱的中点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）若四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为，记平面平面，求直线与所成角的余弦值.19.在中，内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）已知满足.（i）若，求的值；（ii）若，求面积的最大值.

数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：先化简复数为代数形式，然后根据其几何意义写出对应点坐标，从而判断所在象限．解答过程：复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.2.已知向量，，且，则（）A.-2 B. C. D.2答案：D解析：思路：根据向量垂直的坐标表示可构造方程求得结果.解答过程：因为向量，，且，所以，即，解得.3.已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（）A. B.6 C. D.3答案：B解析：思路：根据给定条件，利用圆锥体积公式，结合扇形弧长公式列式求解.解答过程：设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意，解得，所以这个圆锥的底面直径是.4.已知是两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：A解析：思路：根据充分不必要条件定义判断可得答案.解答过程：若，则存在，使得，又，所以，可得，故“”是“”的充分条件；若，且，则可能在平面内，得不到，故“”不是“”的必要条件．综上，“”是“”的充分不必要条件．故选：A．5.如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（）A. B.2 C. D.答案：A解析：思路：过点作直线，使得，通过平行线分线段成比例定理得出​的比值，再结合，得到​的值.解答过程：因为，直线与分别交于点和点，过点作直线，使得，交于点，所以，所以，故.6.在中，内角的对边分别为，且，的面积为，则的值为（）A.1 B. C.2 D.答案：B解析：思路：先利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和差的正弦公式化简，即可求出，再根据三角形的面积公式即可得解.解答过程：因为，由正弦定理得，即，所以，又，所以，所以，所以，又，即，由得，所以，又，即，所以，所以的面积为，解得，所以.7.如图，在梯形中，为上一点，且满足，则（）A.1 B. C. D.2答案：A解析：思路：根据给定条件，利用数量积的运算律及定义求解.解答过程：在梯形中，令，由，得，由，得，所以.8.已知直四棱柱的底面是边长为的正方形，分别是棱的中点，点是棱上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设直线分别交的延长线于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可.解答过程：设直线分别交的延长线于点，连接，交于点，连接，交于点，连接，所以过点的平面截直四棱柱的截面为五边形.由平行线分线段比例可知：，故，故为等腰直角三角形，所以，故，则，.连接，易知，所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分，等腰梯形的高，则等腰梯形的面积为.又，所以五边形的面积为.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量不共线，，若三点共线，则的可能的取值为（）A. B. C. D.答案：AC解析：解答过程：因为三点共线，所以.所以，即，解得或.10.已知为复数，则下列说法正确的是（）A.若，则B.C.若且，则D.答案：BCD解析：思路：本题先依据复数不能比较大小判定选项A错误，再通过设出复数代数形式展开运算并化简模长表达式，证得两模长相等从而确定选项B正确，接着对复数等式因式分解，利用非零复数性质推出两复数相等判定选项C正确，最后结合复数的几何意义与向量三角不等式，证明复数模的不等式恒成立得出选项D正确.解答过程：由，但是不成立，故A错误；设，则所以.所以，故B正确；因为，所以，又，所以，即，故C正确；设对应的向量分别为，由向量三角不等式，可得，当且仅当与反向时，等号成立，所以恒成立，故D正确.11.如图，在三棱柱中，四边形是边长为2的正方形，点为棱的中点，平面，则下列说法正确的是（）A.直线与直线是异面直线B.C.三棱柱的侧面积可能为10D.三棱柱的体积的最大值为2答案：ABD解析：思路：根据异面直线的定义即可判断A；先证明平面，再根据线面垂直的性质可得，即可判断B；设，则，求出侧面积公式结合已知即可判断C；根据结合基本不等式即可判断D.解答过程：对于A，因为平面平面，故直线与直线是异面直线，故A正确；对于B，因为四边形是边长为2的正方形，所以，又，所以，因为平面平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又点为棱的中点，所以，故B正确；对于C，设，则，所以三棱柱的侧面积，该方程无解，故三棱柱的侧面积不可能为10，故C错误；对于D，由题意得，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数是纯虚数，则__________．答案：解析：思路：根据纯虚数的定义列方程组，求解即可．解答过程：因为复数是纯虚数，所以，解得．13.在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________.答案：解析：思路：取的中点，过点作直线的垂线，垂足为，证明平面，求出即可．解答过程：是边长为3的等边三角形，所以，取的中点，则，又平面，所以平面，在中，由余弦定理得，所以，过点作直线的垂线，垂足为，则，又平面，所以，又平面，所以平面，即点到平面的距离为.14.已知平面向量满足，非零向量满足，向量满足，则的最小值是__________.答案：解析：思路：先由已知单位向量与的数量积求出与夹角为,再设各向量对应定点,利用得出点的轨迹是以为圆心、半径为1的圆,将转化为定点到动点的距离,过圆心作的垂线,在直角三角形中求出垂线段长,减去圆半径即可得到的最小值.解答过程：因为非零向量满足.所以向量与的夹角为，设，则.所以有，则，所以点的轨迹为以为圆心的圆.过点，作，垂足为，交圆于点.根据图象可得出即为的最小值.在中，有，所以有.又，所以.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，且，锐角满足．（1）求的值；（2）若是线段的中点，求的值．答案：（1）；（2）．解析：思路：(1)已知两边及其夹角，利用余弦定理计算边即可；(2)求中线的值利用向量的平行四边形法则，将中线表示为相邻两边的向量和，利用向量模长的计算方法计算即可（1）因为，且为锐角，所以，又因，由余弦定理，．（2）因为是线段的中点，所以，则，即，即的值为．16.如图，在正方体中，点分别为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）记平面平面平面，求证：三点共线.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）先由正方体中点性质证、,再利用线面平行判定定理证、分别平行于平面,最后由面面平行判定定理证平面平面；（2）依据点与直线、平面的从属关系,推出都在平面与平面的交线上,从而证得三点共线.（1）连接，又点分别为棱的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面，连接，又点分别为棱的中点，所以，在正方体中，，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因为平面，所以平面，又平面，所以平面，因为平面，所以平面.又平面，所以平面.所以平面平面，因为平面，所以平面.又平面，所以平面.所以，即三点共线.17.在中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的值；（3）若，求的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理可得，结合余弦定理即可求解；（2）由三角形的面积公式结合余弦定理即可求解；（3）利用辅助角公式化简可得，由求出，利用正弦定理即可求解.（1）因为，由正弦定理得，即，由余弦定理可得.又，所以.（2）因为的面积为，解得.由（1）可得，所以，即，所以.（3）由，得.因为，所以，所以，即.所以，由正弦定理可知.18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面分别是棱的中点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）若四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为，记平面平面，求直线与所成角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）连接，证明平面即可得到结论；（2）取的中点，连接，可证，由线面平行的判定即可证明结论；（3）由线面平行的性质可得，取的中点，连接，或其补角为直线与所成的角，结合几何关系求解即可.（1）连接，如图所示，因为底面是边长为2的正方形，所以，又平面平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.（2）取的中点，连接，如图所示，又是棱的中点，所以，又底面是边长为2的正方形，是棱的中点，所以，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.（3）由（2）知平面，又平面平面平面，所以，所以，取的中点，连接，则，所以或其补角为直线与所成的角.因为四棱锥的所有顶点都在球的球面上，所以球的半径，所以球的表面积，解得.记，连接，又平面平面，所以，所以，所以，由余弦定理得，即直线与所成角的余弦值为.19.在中，内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）已知满足.（i）若，求的值；（ii）若，求面积的最大值.答案：（1