2025-2026学年湖南省衡阳市衡阳县高三下册考前学情调研数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A=x∈A.1 B.2 C.3 D.42.已知复数z=103−A. B. C. D.3.已知正数a，b满足，的最大值为（）A. B. C. D.4.已知正三棱台的高为，，则该棱台的侧面积为（）A. B. C. D.5.已知函数f(x)=A.1 B.2 C.3 D.46.已知直线与轴、轴分别交于，两点，与圆交于，两点，且，则（）A.4 B.3 C.2 D.17.如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（）A. B. C. D.8.已知为的任意一个排列，则满足对于任意的n∈1,2,3,4,5，都有a1+aA.个 B.个 C.个 D.个二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.对相同的样本数据选取不同的组距（每组为左闭右开区间）画出如图1､图2所示的频率分布直方图，其中图2的部分信息丢失，由频率分布直方图的信息对总体进行估计，则（）A.图2中的频率为0.3B.图2众数的估计值唯一C.图1与图2中位数的估计值相同D.图1与图2平均数的估计值相同10.如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（）A.B.三棱锥体积的最大值为C.若，则三棱锥外接球的表面积为D.存在，使得平面11.已知幂函数，则（）A.B.曲线y=f(C.已知m>0，对∀x>0,fD.方程无实根三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则曲线在处的切线方程为_________．13.梯形中，，线段交以，为焦点且过，的双曲线于点，若，则双曲线的离心率为_____.14.已知O为锐角△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的面积的取值范围为_____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数f(（1）若在处取得极值，求a的值；（2）若当时，恒成立，求实数a的取值范围．16.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足bn=an,n为偶数2an17.如图，圆台的下底面圆的半径为，为圆的内接正方形．为上底面圆上两点，为的中点，且平面平面，．（1）求证：；（2）若，求与平面所成角正弦值的最大值．18.某款AI(人工智能)机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分X达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直进行下去，当时获胜，当时落败．已知该款AI机器人射门的命中率为a()，每次射门相互独立．（1）求机器人恰好射门4次后获胜的概率；（2）表示“机器人射门n次，游戏仍未结束”．①若，求和P(A2②若P(A219.已知椭圆的左，右焦点分别为，点M1,32是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线：相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线，分别与相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：；（3）记和的面积分别是、，求的最小值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则的子集的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：D解析：解答过程：，，所以，所以的子集的个数为4.2.已知复数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为z=103−3.已知正数a，b满足，的最大值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由得，于是，当且仅当，即，时，等号成立.4.已知正三棱台的高为，，则该棱台的侧面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：不妨设上、下底面中心为，，，的中点分别为，，易知为斜高，由，得O1D=1作于，所以，，，故所求棱台的侧面积为3×35.已知函数为奇函数，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：根据奇函数的性质求解即可．解答过程：由奇函数的定义域为，得，解得．当时，0，则，又时，，所以，所以．6.已知直线与轴、轴分别交于，两点，与圆交于，两点，且，则（）A.4 B.3 C.2 D.1答案：C解析：思路：利用圆心到直线的距离和半径，可得，再求出，即可求出结果.解答过程：在直线中，令，得，故，令，得，故，所以，圆心到直线的距离，所以，由，得，化简得，解得.故选：C.7.如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意可得，进一步由可得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式计算可得结果.解答过程：依题意则得，即，所以,；设，因为，所以,，解得,；因此,，可得，结合图象可得，解得.故选：B方法提示：关键点点睛：本题关键在于利用点的位置特征以及向量关系式，得出两点的坐标关系式，再利用诱导公式以及二倍角公式计算可得结果.8.已知为的任意一个排列，则满足对于任意的，都有的排列有（）A.个 B.个 C.个 D.个答案：D解析：思路：先由时的总和约束，推出首项，仅可能为或；当时，剩余个数任意排列均满足条件，共个；当时，分三类讨论，其中，时剩余数任意排列，分别由个，时，不能取，仅个有效排列，合计个；两类相加共个．解答过程：因为，所以时，必有，即．①当时，任意排列均满足题意，共有（个）．②当时，只能取或或（不满足），则满足题意的所有情况如下：排列均符合题意，有（个），排列均符合题意，有（个），排列符合题意的有，，，共个（，不满足）．综上，满足题意的排列共有（个）．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.对相同的样本数据选取不同的组距（每组为左闭右开区间）画出如图1､图2所示的频率分布直方图，其中图2的部分信息丢失，由频率分布直方图的信息对总体进行估计，则（）A.图2中的频率为0.3B.图2众数的估计值唯一C.图1与图2中位数的估计值相同D.图1与图2平均数的估计值相同答案：AC解析：思路：A计算矩形面积即可；B先估计缺失部分的高度，进而结合众数的概念判断；C利用中位数的定义计算；D利用平均数的定义计算.解答过程：图2中的频率为，故A正确；设在图2中所对应矩形的高度分别为，在图1中的频率为，故，得，故，则众数必在中取得，因图2中的高度相等，故众数的估计值不唯一，故B错误；图1中中位数的估计值为；图2中，前个矩形面积之和为，故中位数的估计值为，故C正确；图1平均数的估计值为；图2平均数的估计值为，不确定，故D错误.故选：AC10.如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（）A.B.三棱锥体积的最大值为C.若，则三棱锥外接球的表面积为D.存在，使得平面答案：ABD解析：思路：利用空间向量的数量积判断A，根据三棱锥的体积公式及二次函数的最值判断B，找出外接球球心，得到球的半径即可判断C，利用面面平行可得线面平行判断D.解答过程：对A，，，，即，故A正确；对B，过作于，因为平面平面，平面平面，所以平面，即三棱锥的高为，，，当时，，故B正确；对C，当时，，故为中点，又为中点，所以，所以到距离都为，即外接球的球心为，球半径为1，所以外接球表面积，故C错误；对D，在正方体中，，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，当时，是的中点，此时平面，所以平面，故D正确.故选：ABD11.已知幂函数，则（）A.B.曲线关于y轴对称C.已知m>0，对恒成立，则D.方程无实根答案：ACD解析：思路：首先根据幂函数的定义：幂函数的系数必须为1，据此求解参数的值，确定的具体解析式；再逐一分析各选项：针对选项A，直接验证求解得到的的取值即可判断正误；针对选项B，先化简y=f(针对选项C，先分析的定义域与单调性，将f(ex)>针对选项D，两边取对数，构造函数h(x)=x解答过程：对于A，由幂函数fx=lna+2⋅x对于B，由题意知y=对于C，由题意知，fx=xe−1由对，fex>fmx令，则g'x=exx−2x当时，，单调递增，所以当时，g(x)min=g2=对于D，由方程，得，因为，所以，即e−1lnx=x令hx=x当时，，当时，，所以函数在0,e−1上单调递减，在上单调递增，所以h(x)所以x>e−1lnx三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则曲线在处的切线方程为_________．答案：解析：思路：利用导数的几何意义计算即可.解答过程：由已知，，，又，所以切线方程为，即.故方法提示：本题考查导数的几何意义，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.13.梯形中，，线段交以，为焦点且过，的双曲线于点，若，则双曲线的离心率为_____.答案：解析：思路：设，双曲线为，求坐标，应用定比分点求坐标，将代入双曲线方程得到齐次方程求离心率即可.解答过程：由题设，如下图示，令双曲线为，由，则，令，可得，故，又，则，，所以，由E在双曲线上，可得，整理得，且，则.故答案为.14.已知O为锐角△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的面积的取值范围为_____．答案：解析：思路：先根据向量等式和外心的性质，转化得出，再根据锐角三角形利用余弦定理得出和的取值范围，最后用面积公式求出面积范围.解答过程：分别取边，，的中点，，，因为为锐角的外心，根据中垂线易知CO⋅CB=同理，，，所以CO⋅同理，BO⋅由题意得，即，于是．因为为锐角三角形，所以，所以，同理，，即．令，由，得，则且，解得．又bc=b2又，所以，所以，又，所以63<又，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）若在处取得极值，求a的值；（2）若当时，恒成立，求实数a的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）求出原函数的导函数，由，求解验证即可；（2）分类讨论的范围，根据导数求得最小值，结合题意列出不等式求解即可．（1）由题意得．因为在处取得极值，所以，解得．经验证，当时，在处取得极小值，符合题意，故．（2）由（1）知．①若，则当时，，即恒成立，所以在上单调递增，，由，得，故．②若，令，得或，当时，，单调递减，当时，，单调递增．所以，由，可得，解得，故．综上，实数的取值范围是．16.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）（2）存在，为所有不小于的偶数解析：思路：（1）先由时求首项，再用推导通项，最后验证是否满足该式，得到。（2）先根据的分段定义，将分为为偶数、奇数两类，分别写出表达式；再通过相邻项比值判断单调性，计算关键项的数值，得出仅当为偶数且时，．（1）当时，，当时，，因为也满足，所以．（2）①当时，，所以，所以当时，为递增数列，又当时，，当时，，当时，，故存在正整数，使得．②当时，，所以，因为，所以，所以当时，为递减数列，所以，故不存在正整数，使得．综上，存在满足条件的正整数，其取值为所有不小于的偶数．17.如图，圆台的下底面圆的半径为，为圆的内接正方形．为上底面圆上两点，为的中点，且平面平面，．（1）求证：；（2）若，求与平面所成角正弦值的最大值．答案：（1）证明见解析（2）．解析：思路：（1）利用正方形的性质证明，再借助已知线线垂直可证明线面垂直，再利用面面垂直可证明线面垂直，从而可得线线垂直，即证中点；（2）利用空间向量法来研究线面角的正弦值，然后借助函数的单调性求出最大值.（1）证明：取的中点G，连交AF于H.在正方形中，由于F为的中点，可得，则，因为，所以，得到，即因为平面，所以平面，又平面，故由于平面平面，平面平面，，故平面，又平面，则.因为，平面，所以平面，又因为平面，则，又点G是的中点，故.（2）由于圆O的半径为，则正方形的边长为2，又，则.以O为坐标原点，过点O作平行的直线分别为x轴，y轴，所在的直线为z轴建立如图空间直角坐标系.则，易求上底面圆的半径为1，故.故，，.设平面的法向量为，由，得取，，故，设与平面所成角为，则，，令得，，所以在上单调递增，故.所以与平面所成角正弦值的最大值为．18.某款AI(人工智能)机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分X达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直进行下去，当时获胜，当时落败．已知该款AI机器人射门的命中率为a()，每次射门相互独立．（1）求机器人恰好射门4次后获胜的概率；（2）表示“机器人射门n次，游戏仍未结束”．①若，求和；②若，求游戏结束时X的数学期望答案：（1）（2）①，；②解析：思路：（1）根据独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）①利用条件概率公式即可得到答案；②分第2次游戏结束和第2次游戏未结束两种情况讨论即可.（1）若机器人恰好射门4次获胜，则前两次仅射中一次，后两次都射中，故P=2⋅（2）①由题意得，，所以.若第次游戏未结束，则累计得