2025-2026学年江苏省淮安市高三下册模拟预测卷（A）数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足（其中为虚数单位），则（）A.10 B. C.5 D.2.已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.3.一组实数的上四分位数是（）A.12 B.13.5 C.15 D.204.已知随机事件满足，．则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.函数（，，）的部分图象如图所示．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A. B.C.1 D.6.已知展开式中项的系数为30，则（）A.2 B. C.4 D.7.已知双曲线离心率为2，左焦点为，右顶点为，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点，则（）A. B. C. D.8.已知正方体的棱长为1，为平面内动点，则的最小值为（）A.2 B. C. D.3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某次多省联考中，所有学生数学考试成绩服从正态分布，且有．现按16％，34％，34％，16%的比例将成绩由高到低划分为A，B，C，D四个等级，下列说法正确的有（）A.所有学生成绩的标准差为100B.若某考生成绩为105分，则其等级为BC.D.随机抽取名考生，得A等级的人数记为，则10.在中，，的内心，下列说法正确的有（）A.的内切圆的半径为3B.直线方程为C.直线方程为D.外接圆的方程为11.已知函数的图象与轴交于三点，是函数图象上的一点，记直线斜率分别为．下列说法正确的有（）A.实数的取值范围为B.当是曲线的对称中心时，C.当时，D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列的公比，且，若成等差数列，则___________．13.的值域为___________．14.袋中装有个红球和个黑球，现进行依次随机摸球实验．规则如下：每次随机摸出1个小球，若摸出的是红球，则将其放回袋中；若摸出的是黑球，则不将其放回袋中．如此不断进行下去，直到袋中的黑球被全部摸出为止．记此时摸球的总次数为，若的数学期望，则袋中红球个数的最大值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在锐角中，内角的对边分别为．已知向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长．16.已知椭圆的焦距为，短轴的一个端点为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，点关于原点的对称点为．若，求直线的方程；17.已知数列的前项和为，且，数列为等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和．若恒成立，求的最小值；（3）若从数列的前项中任取两项，记这两项之和能被4整除的概率为，证明：．18.如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求到平面的距离；（3）若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值．19.已知函数存在两个不同的极值点．（1）求实数的取值范围；（2）设，求的最大值；（3）求证：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足（其中为虚数单位），则（）A.10 B. C.5 D.答案：D解析：解答过程：由，得因此，所以.2.已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据集合的包含关系直接得到参数的取值范围．解答过程：由题意有，又，，可得，故实数的取值范围是．故选：B．3.一组实数的上四分位数是（）A.12 B.13.5 C.15 D.20答案：C解析：思路：根据四分位数的求法求得正确答案.解答过程：一共有个数字，，取第个数，所以上四分位数是.4.已知随机事件满足，．则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据条件概率公式结合充分条件和必要条件即可求解.解答过程：由题得：，，所以由，由，所以或，所以“”是“”的充分不必要条件.5.函数（，，）的部分图象如图所示．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A. B.C.1 D.答案：B解析：思路：由图象确定振幅、周期和相位，写出函数解析式，根据平移规则得到新函数解析式，代入自变量计算即得结果.解答过程：由图象可知，，图象与轴交点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，所以，所以，解得，将代入，得，所以，所以，又因为，所以，所以，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，所以，所以.6.已知展开式中项的系数为30，则（）A.2 B. C.4 D.答案：A解析：解答过程：，其中的展开式通项为，展开式中项来自两部分，当，，当，，由题意可得，解得.7.已知双曲线离心率为2，左焦点为，右顶点为，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由题意可知，及渐近线方程，再计算出圆心到其中一条渐近线的距离，从而得到弦长，最后利用余弦定理求解.解答过程：由题可知，则，渐近线方程.,则，圆的半径.圆心到一条渐近线的距离：，则，在中，由余弦定理可得：8.已知正方体的棱长为1，为平面内动点，则的最小值为（）A.2 B. C. D.3答案：B解析：思路：根据给定条件建立空间直角坐标系，求出点关于平面的对称点，再利用两点间线段最短求解.解答过程：在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，连接，三棱锥是正四面体，令正的重心为，则，因点即正的中心，则平面，设，即点，则点与点关于平面对称，由为平面内动点，得，则，当且仅当是线段与平面的交点时取等号，所以的最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某次多省联考中，所有学生数学考试成绩服从正态分布，且有．现按16％，34％，34％，16%的比例将成绩由高到低划分为A，B，C，D四个等级，下列说法正确的有（）A.所有学生成绩的标准差为100B.若某考生成绩为105分，则其等级为BC.D.随机抽取名考生，得A等级的人数记为，则答案：BD解析：思路：利用正态分布和二项分布的数学期望和方差的公式即可求解.解答过程：由学生数学考试成绩服从正态分布，所以学生成绩的标准差为，故A错误；又，，由于考试成绩从高到低分为四个等级，所以等级对应“”，所以等级对应“”，由，所以等级对应“”，所以考生成绩为105分，则其等级为，故B正确；又由，，所以，故C错误；由，所以，所以，故D正确.10.在中，，的内心，下列说法正确的有（）A.的内切圆的半径为3B.直线方程为C.直线方程为D.外接圆的方程为答案：BCD解析：思路：对于A，求出到直线的距离即可判断；对于BC，设直线方程根据点到直线的距离公式即可判断；对于D，求出点坐标，设圆的一般方程，代入即可判断.解答过程：直线的方程为，即，内心到直线的距离为，故的内切圆的半径为，故A错误；当直线斜率不存在时，直线方程为，此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为，当直线斜率存在时，设直线方程为，即，则，解得或，其中时，表示的是直线，舍去，所以直线方程为，即，故B正确；当直线斜率不存在时，直线方程为，此时到直线的距离为，不符合的内切圆的半径为，当直线斜率存在时，设直线方程为，即，则，解得或，其中时，表示的是直线，舍去，所以直线方程为，即，故C正确；联立，解得，所以，设外接圆的方程为，所以，解得，所以外接圆的方程为，故D正确.11.已知函数的图象与轴交于三点，是函数图象上的一点，记直线斜率分别为．下列说法正确的有（）A.实数的取值范围为B.当是曲线的对称中心时，C.当时，D.答案：ACD解析：思路：根据，得方程有两个不同的根，由即可判断A；根据可知函数关于对称即可判断B；由代入不等式即可判断C；根据可得三点的横坐标的表达式以及，从而得到斜率的表达式即可判断D.解答过程：对于A，由于已知函数的图象与轴交于三点，因此方程有三个不同的实数根，由于，所以是的一个根，则方程有两个不同的根且根不为，得，解得，且，解得，因此实数的取值范围为，故A正确；对于B，由于，有，因此关于中心对称，当是曲线的对称中心时，则，因此，故B错误；对于C，当时，函数，由于是函数图象上的一点，所以，则，所以，故C正确；对于D，已知函数的图象与轴交于三点，设三点的横坐标分别为，由于，不妨设，则是方程的两个不同实数根，根据韦达定理有，由于是函数图象上的一点，，则直线的斜率，同理，，由于方程有三个不同的实数根，则，故，所以，同理，，因此，代入数据得，对函数求导得，则，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列的公比，且，若成等差数列，则___________．答案：27解析：解答过程：由条件得，因为，所以，解得，（舍去），所以.13.的值域为___________．答案：解析：思路：首先根据的正负去掉绝对值符号，将整理为分段函数形式，再利用辅助角公式求出的整体取值范围，最后结合分段函数的表达式即可得到的值域.解答过程：设，化简得，因此，当时：，当时：，此时，合并两种情况，可得的所有取值范围是.14.袋中装有个红球和个黑球，现进行依次随机摸球实验．规则如下：每次随机摸出1个小球，若摸出的是红球，则将其放回袋中；若摸出的是黑球，则不将其放回袋中．如此不断进行下去，直到袋中的黑球被全部摸出为止．记此时摸球的总次数为，若的数学期望，则袋中红球个数的最大值为___________．答案：6解析：思路：把摸出3个黑球的过程，拆成三个独立的几何分布阶段，分别计算各阶段期望，再根据及期望的性质列出不等式，即可求出的最大值.解答过程：我们把摸出3个黑球的过程，拆成三个独立的几何分布阶段，分别计算各阶段期望：第一阶段，从袋中开始有放回的摸球，直到第一次摸到黑球的摸球次数记为，在这一阶段，袋中始终有个红球和个黑球，共个球，所以每次摸到黑球的概率为，所以服从参数为的几何分布，由几何分布的期望公式可得；第二阶段，把第一次摸到黑球后到第二次摸到黑球的摸球次数记为，在这一阶段，袋中始终有个红球和2个黑球，共个球，所以每次摸到黑球的概率为，同理可知服从参数为的几何分布，所以；第三阶段，把第二次摸到黑球后到第三次摸到黑球的摸球次数记为，在这一阶段，袋中始终有个红球和1个黑球，共个球，所以每次摸到黑球的概率为，同理可知服从参数为的几何分布，所以.因为黑球被全部摸出时摸球的总次数，且，所以由期望的性质可知，将上式通分可得，解得，所以的最大值为6.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在锐角中，内角的对边分别为．已知向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长．答案：（1）（2）6解析：思路：(1)利用向量平行的坐标条件结合辅助角公式求解角；(2)通过面积公式求出的值，再结合余弦定理和完全平方公式求出，进而得到周长.（1）由，根据向量平行的坐标条件，得，化简得.利用辅助角公式，将左边整理为，因此：，因为锐角三角形，故，则.所以，解得.（2）由(1)知，结合面积公式，代入，得，再由余弦定理，代入、，得，由完全平方公式，，故(边长为正，取正值).因此，的周长为.16.已知椭圆的焦距为，短轴的一个端点为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，点关于原点的对称点为．若，求直线的方程；答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据椭圆的基本量关系计算求解；（2）方法一：联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可表示出线段，求出的值；方法二：取线段的中点，则，且.通过计算得，则，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，求出的值.（1）设椭圆的焦距为，则，解得．由题意．椭圆的标准方程为：．（2）方法一：常规代数（韦达定理）设点，点．将直线的方程代入椭圆方程，整理得：．解得：①由韦达定理知：．因为点关于原点的对称点为，所以的坐标为．又因为，所以：由题意知，即．显然满足条件①．解得．所以直线的方程为．方法二：几何转化（中位线）设，弦的中点为．在中，因为点与点关于原点对称，所以为线段的中点．．．代入得：．故直线的方程为：．联立直线与直线的方程：解得中点的坐标为：因为，即，代入点坐标得：解得：．验证可知中点在椭圆内部，符合题意．综上所述，直线的方程为．17.已知数列的前项和为，且，数列为等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和．若恒成立，求的最小值；（3）若从数列的前项中任取两项，记这两项之和能被4整除的概率为，证明：．答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）根据题意得到，结合，两式相减即可求解；（2）由（1）得的表达式，裂项相消即可求出，从而求出的最小值；（3）根据数列的奇数项和偶数项的特点，即可求出，由于即可求解.（1）当时，，所以，当时，，所以，设等差数列的公差为，则，因此数列的通项为：，所以，当时，，符合题意；当时，，则，整理得，得，所以，即数列是常数列，首项为，即，解得，经检验，当时也满足，因此数列的通项公式为.（2）由（1）可知，所以：，即，又因为恒成立，则，所以的最小值为．（3）显然数列各项均为奇数，奇数项，即被除余．偶数项，即被除余．在数列的前项中，奇数项和偶数项各有个．若从这项中任取两项，要求“和能被整除”，则两项必一个余、另一个余．总取法数：种，满足条件的取法数：种．所以，所以．即成立．18.如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求到平面的距离；（3）若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）设，先证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明平面；（2）方法一，以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及点D到平面的距离，利用平面，将到平面的距离转化为点D到平面的距离，即可得解；方法二，利用平面，将到平面的距离转化为点到平面的距离，进而转化为点B到平面的距离，再利用等体积法计算即可；（3）设，利用正得到其外接圆圆心的坐标及半径，进而设出球心的坐标，根据球的性质求出点坐标，进而求出平面的法向量，即可根据向量法求出直线和平面所成角的正弦值，即可得解.（1）设，连接．因为四边形为菱形，所以为的中点．在中，因为为的中点，所以OM为的中位线，故，又因为平面，平面，所以平面；（2）方法一：向量法以A为原点，以所在直线为轴，在平面内过作与垂直的直线为轴，过作与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.在平面内过作，交的延长线于，连接.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以.因为，所以，因为，，所以，所以，，即，所以.在中，，所以，，则，因为为中点，所以，则，.设平面的法向量为，则，即，令，则，则.设点D到平面的距离为，则．由（1）知平面，所以到平面的距离即为点D到平面的距离，所以到平面的距离为；方法二：等体积法由（1）知平面，所以到平面的距离等于点到平面的距离，设为．因为为中点，所以点到平面的距离等于点B到平面的距离，即，在平面内作交直线的延长线于，取中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以.在中，，所以，，所以到平面的距离为.因为，所以．在中，，由余弦定理可得，在中，．在中，，为中点，则，由余弦定