人教版八年级数学上册《14.3 角的平分线》同步练习题（带答案）

第页人教版八年级数学上册《14.3角的平分线》同步练习题（带答案）第1课时角的平分线的性质【知识梳理】1.尺规作图作角的平分线：先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点，再在角的内部作出与这两点距离相等的点，以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.2.角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离.【核心母题】核心母题l尺规作图作已知角的平分线【例1】如图,已知△ABC,点D在△ABC的AB边上,且∠ACD=∠A.(1)尺规作图：作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系，并说明理由.【变式】如图,在△ABC中,∠C=90°,利用直尺和圆规作∠ABC的平分线,交AC于点D(保留作图痕迹).核心母题2角的平分线的性质【例2】如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E,F.求证:PE=PF.【变式1】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,S△【变式2】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,AB=10,AO,BO是两内角的平分线,OD⊥AB于点D,求OD的长.核心母题3角的平分线与对称型全等①——截长补短【例3】如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD是△ABC的角平分线,延长BD至点E,使DE=AD,连接EC.求证:BC=AB+CE.【变式】如图,AD∥BC,E是CD上一点,且∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AB=AD+BC.核心母题4角的平分线与对称型全等②——延长处理(角平分线+垂直)【例4】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,交∠ABC的角平分线于点E.(1)求∠BED的度数;(2)过点E作EF⊥AE,交AC于点F,求证:AF+BD=AB.第2课时角的平分线的判定【知识梳理】1.角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在①.2.三角形的角的平分线的性质：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且该点到三边的距离②.【核心母题】核心母题1角的平分线的判定【例1】如图,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=PD.求证:∠COP=∠DOP.【变式】如图,已知BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D,BD=CD.求证:AD平分∠BAC.核心母题2作垂构造垂线，角平分线的性质与判定综合应用【例2】如图,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.求证:点C在∠DAB的平分线上.【变式】(教材P₅₃T₈改编)如图,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC.(1)求证:AE是∠DAB的平分线;(2)若AE=4,DE=3,求四边形ABCD的面积.核心母题3三角形三条角平分线的交点【例3】(教材P51练习T【变式】如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD.求∠CAD的度数.核心母题4作垂构造全等或利用面积法判定角平分线【例4】如图,已知C为射线AD上一点,∠DAP=∠PBC,PA=PB.求证:CP平分∠DCB.【变式】如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE,AD,BE交于点H,连接CH.求证:(1)△ACD≌△BCE;(2)HC平分∠AHE.参考答案第1课时角的平分线的性质【知识梳理】1.尺规作图作角的平分线：先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点，再在角的内部作出与这两点距离相等的点，以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.2.角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.【核心母题】核心母题1尺规作图作已知角的平分线【例1】如图,已知△ABC,点D在△ABC的AB边上,且∠ACD=∠A.(1)尺规作图：作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系，并说明理由.解：(1)如图，射线DE即为所求作.(2)DE∥AC.理由如下:∵DE平分∠BDC,∴∠BDE=∠CDE.而∠BDC=∠A+∠ACD,即∠BDE+∠CDE=∠A+∠ACD.∵∠ACD=∠A,∠BDE=∠CDE,∴∠BDE=∠A,∴DE∥AC.【变式】如图,在△ABC中,∠C=90°,利用直尺和圆规作∠ABC的平分线,交AC于点D(保留作图痕迹).解:∠ABC的平分线BD如图所示.A核心母题2角的平分线的性质【例2】如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E,F.求证:PE=PF.证明:∵OC是∠AOB的平分线,∴∠POE=∠POF.∵PE⊥OA,PF⊥OB,∴∠PEO=∠PFO=90°.∴△POE≌△POF(AAS).∴PE=PF.【变式1】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,S△解:过点D作DF⊥AC,垂足为F.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴DF=DE=2∴S△F【变式2】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,AB=10,AO,BO是两内角的平分线,OD⊥AB于点D,求OD的长.解:过点O作OE⊥AC于点E,OF⊥BC于点F,连OC∵AO平分∠BAC,BO平分∠ABC,∴OD=OE=OF.∵∴1∴1核心母题3角的平分线与对称型全等①——截长补短【例3】如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD是△ABC的角平分线,延长BD至点E,使DE=AD,连接EC.求证:BC=AB+CE.解:在BC上截取BM=BA,连接DM,∵BD平分∠ABC∴∠ABD∴DA=DM,∠ADB=∠BDM=180°-∠A-∠ABD=60°∴∠EDC=∠ADB=60°,∠MDC=60°,∴∠EDC=∠MDC.∵DE=AD,∴DE=DM,易证△EDC≌△MDC(SAS)∴EC=MC,∴BC=BM+MC=AB+EC.【变式】如图,AD∥BC,E是CD上一点,且∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AB=AD+BC.解:在AB上截取AF=AD,连接EF,易证△ADE≌△AFE(SAS),∴∠D=∠AFE.∵AD∥BC,∴∠D+∠C=180°.∵∠AFE+∠BFE=180°,∴∠C=∠BFE易证△BEF≌△BEC(AAS)∴BF=BC,∴AB=AF+BF=AD+BC.核心母题4角的平分线与对称型全等②——延长处理(角平分线+垂直)【例4】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,交∠ABC的角平分线于点E.(1)求∠BED的度数;(2)过点E作EF⊥AE,交AC于点F,求证:AF+BD=AB.解:(1)∵∠C=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°.∵AE平分∠CAB,BE平分∠ABC∴∠BAE∴∠(2)延长FE交AB于点M,∵EF⊥AE,∴∠AEF=∠AEM=∠DEM=90°.∵∠DEB=45°,∴∠BEM=∠BED=45°,易证△AEF≌△AEM(ASA),∴AF=AM,易证△BDE≌△BME(ASA),∴BD=BM.第2课时角的平分线的判定【知识梳理】1.角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在①角的平分线上.2.三角形的角的平分线的性质：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且该点到三边的距离②相等.【核心母题】核心母题1角的平分线的判定【例1】如图,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=PD.求证:∠COP=∠DOP.证明:∵PC⊥OA,PD⊥OB,∴∠OCP=∠ODP=90°.在Rt△OCP和Rt△ODP中{OP∴∠COP=∠DOP.【变式】如图,已知BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D,BD=CD.求证:AD平分∠BAC.证明:∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠BFD=∠CED=90°.在△DFB和△DEC中、(CADFECCOE、∴△DFB≌△DEC(AAS).∴DE=DF.又∵DE⊥AC,DF⊥AB,∴AD平分∠BAC.核心母题2作垂构造垂线，角平分线的性质与判定综合应用【例2】如图,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.求证:点C在∠DAB的平分线上.证明:作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,∴∠BEC=∠DFC=90°.∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,∴∠ABC=∠CDF.∴△CBE≌△CDF(AAS).∴EC=FC,∴点C在∠DAB的平分线上.【变式】(教材P₅₃T₈改编)如图,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC.(1)求证:AE是∠DAB的平分线;(2)若AE=4,DE=3,求四边形ABCD的面积.解:(1)过点E作EF⊥AD于点F,∵DE平分∠ADC,EC⊥DC,EF⊥DA,∴EC=EF.∵E是BC的中点,∴EC=EB=EF.∵EF⊥AD,EB⊥AB,∴AE是∠DAB的平分线.(2)在Rt△CDE和Rt△FDE中,{DE=∴∠CED=∠FED,S△∴∠AEB=∠AEF,SS核心母题3三角形三条角平分线的交点【例3】(教材P₅₁练习T₂变式)如图,BP,CP都是△ABC的外角平分线,PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N.求证:AP平分∠MAN.证明:过点P作PF⊥BC于点F∵BP,CP分别平分∠CBM,∠BCN,PM⊥AB,PN⊥AC∴PM=PF,PN=PF,∴PM=PN,∴AP平分∠MAN.【变式】如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD.求∠CAD的度数.解:过点D作DF⊥AC于点F,DM⊥BA于点M,DN⊥BC于点N∵BD,CD分别平分∠ABC,∠ACE,∴DM=DN,DF=DN∴DM=DF,∴AD平分∠CAM.∵∠CAM=∠ABC+∠ACB=110°,∴∠CAD核心母题4作垂构造全等或利用面积法判定角平分线【例4】如图,已知C为射线AD上一点,∠DAP=∠PBC,PA=PB.求证:CP平分∠DCB.解:过点P作PF⊥AD于点F,PE⊥BC于点E在△PAF和△PBE中{∠∴△PAF≌△PBE(AAS),∴PF=PE.∵PF⊥AD,PE⊥BC,∴CP平分∠DCB.【变式】如图,CA=CB,CD=