优化设计鲍威尔法

优化设计鲍威尔法第1页，共71页。（优选）优化设计鲍威尔法.第2页，共71页。Ⅰ、鲍威尔法基本原理、迭代格式原始的Powell法是沿着逐步产生的共轭方向进行一维搜索的。现以二维二次目标函数为例来说明。如下图所示，选定初始点X0(1)，初始方向：S1(1)=e1=[1,0]T

S2(1)=e2=[0,1]T第3页，共71页。模式方向第4页，共71页。S(1)与S(2)之间的关系？

第5页，共71页。由图可知点X0(2)、X2(2)是先后两次沿S(1)方向一维搜索的极小点。由共轭性质知：连接X0(2)，X2(2)构成的矢量S(2)与S(1)对H共轭。第6页，共71页。从理论上讲，二维二次正定函数经过这组共轭方向的一维搜索，迭代点已达到函数的极小点X*。将此结构推广至n维二次正定函数，即依次沿n个（S(1)，S(2)，…，S(n)）共轭方向一维搜索就能达到极小点。第7页，共71页。Ⅱ、鲍威尔法缺陷当某一循环方向组中的矢量系出现线性相关的情况（退化、病态）时，搜索过程在降维的空间进行，致使计算不能收敛而失败。为了避免此种情况产生，提出了修正的Powell法。新一轮搜索方向新一轮搜索方向和原方向线性相关第8页，共71页。为了避免鲍威尔法缺陷，提出了修正算法。Ⅲ、修正Powell法映射点第9页，共71页。和原始Powell法的主要区别在于：在构成第k+1次循环方向组时，不用淘汰前一循环中的第一个方向S1(k)的办法，而是计算函数值并根据是否满足条件计算：f1=f(Xk(0))f2=f(Xk(n))f3=f(Xk(n+2))第10页，共71页。找出前一轮迭代法中函数值下降最多的方向m及下降量△m，即：

△m=max｛[f(Xk(i))－f(Xk(i+1))]（i=0,1,…,n-1）｝=f(Xk(m-1))－f(Xk(m))可以证明：若f3<f1

(f1-2f2+f3)(f1-f2-△m)2<0.5△m(f1-f3)2同时成立第11页，共71页。表明方向Sk(n)与原方向组成线性无关，可以用来替换对象△m所对应的方向Sk(m)。否则仍用原方向组进行第k+1轮搜索。第12页，共71页。例：试用修正Powell法求f(X)=X12+2X22－4X1-2X1X2的最优解。X0=[1,1]T，收敛精度ε=0.001。思考：如采用原始Powell法，如何判别此题具有几次收敛性？修正Powell算法是否具有同样的收敛性？提示：先沿(e1,e2)进行搜索：e1=[1,0]T，e2=[0,1]T第13页，共71页。解:f1=f(X0(1）)=－3第一次循环：沿坐标轴方向e1进行一维搜索：得则有代入f(X)令f(X)=X12+2X22－4X1-2X1X2第14页，共71页。f(X1(1）)=－7以X1(1）为起点，沿坐标轴方向e2进行一维搜索：f(X2(1）)=－7.5检验是否满足终止迭代条件代入f(X)并令得则有f(X)=X12+2X22－4X1-2X1X2第15页，共71页。计算各个方向的函数下降量：△1=f(X0(1))－f(X1(1))=-3－(-7)=4△2=f(X1(1))－f(X2(1))=-7－(-7.5)=0.5映射点：

条件：

满足。第16页，共71页。故沿新的搜索方向进行

沿作一维搜索：

代入f(X),令

得

=故有，

第17页，共71页。故以为新起点，沿（）方向一

，沿方向进行一维搜索

维搜索，进行第二次循环：

以为起点沿方向进行搜索，得，

第18页，共71页。检验：继续进行迭代，计算：

映射点：

条件不成立。进行继续迭代时取

沿方向一维搜索进行第三循环，并得：

第19页，共71页。

,,基本情况同第二循环但更接近极极小点。由第二循环产生的新方向为：第20页，共71页。由于及为共轭方向，方向进行一维搜索得到

即为目标函数的最优解：目标函数是二次函数，若沿第21页，共71页。 §5.5惩罚函数法将约束优化问题转化为无约束优化问题的一种解法。约束优化设计的数学模型一般可表示为：用类似于拉格朗日法的方法，可将上述问题中的不等式和等式约束函数经过加权转化，并和原目标函数构成新的目标函数，成为惩罚函数（简称罚函数）第22页，共71页。惩罚项罚因子第23页，共71页。罚因子，大于零的递增序列第24页，共71页。解：构造惩罚函数，将原问题转化为无约束优化问题。第25页，共71页。第26页，共71页。第27页，共71页。第28页，共71页。第29页，共71页。第30页，共71页。第31页，共71页。例：用内点罚函数求解：解：构造罚函数

得：

故其无约束的极值为：故原问题的约束最优解问题的约束最优解。第32页，共71页。内点法及外点法求解比较示意图外点法内点法从可行域外部逼近可行域边界，一旦到达边界，得最优点所有迭代点是可行的，边界设置障碍第33页，共71页。5.5.3混合罚函数法内点法有一定的优点，不能处理等式约束极值问题；但在处理等式约束极值方面，外点法具有一定的长处。混合罚函数法就是将外点法和内点法混合使用，对于p个等式约束，构造外罚；对于m个不等式约束，构造内罚函数。这样构造的混合罚函数为初始点应在可行域内，罚因子按内点法选取。综合内点法和外点法的特点和长处，应用广泛。或采用第34页，共71页。本章练习：P1875.4（1）5.6（2）5.7（2）5.8（2）5.9（2）5.10（3）第35页，共71页。第６章机械可靠性设计

§6.１.1机械可靠性发展历史始于20世纪60年代美国的航天计划机械和电子故障是NASA（NationalAeronauticsandSpaceAdministration，NASA，美国国家航空航天局）主要关心的问题，其中机械故障引起的事故多，损失大。如：1963年同步通讯卫星SYMCOMⅠ，高压容器断裂，引起卫星空中坠毁；1964年人造卫星Ⅲ号因机械故障而损坏。1965年始，NASA开始三项机械可靠性工作用过载试验方法进行可靠性试验验证用随机动载荷验证结构和零件的可靠性在关键机械零件中采用概率设计方法，将可靠度设计到结构和机械零部件中第36页，共71页。§6.１.1机械可靠性发展历史从20世纪70年代起，西方工业发达国家全面开展可靠性工程实践和应用，可靠性技术变得越来越重要从航空、航天、尖端武器和电子等行业，逐步推广应用到各个行业核能、机械、电气、冶金、化工、铁道、船舶、电站、建筑、水利、通讯、医药等从宇宙飞船到日用产品全面普及汽车、洗衣机、冰箱、复印机等NASA将可靠性工程技术列为登月成功的三大技术成就之一第37页，共71页。§6.１.1机械可靠性发展历史美国六七十年代就将可靠性技术引入汽车、发电设备、拖拉机、发动机等机械产品。80年代，美国罗姆航空研究中心专门作了一次非电子设备可靠性应用情况的调查分析美国国防部可靠性分析中心（RAC）收集和出版了大量的非电子零部件的可靠性数据手册以美国亚利桑那大学D.Kececioglu教授为首的可靠性专家开展机械可靠性设计理论的研究，积极推行概率设计法，提出开展机械概率设计的十五个步骤第38页，共71页。§6.１.1机械可靠性发展历史80年代以来机械可靠性研究在我国开始受到重视从1986年起，机械部已经发布了六批限期考核机电产品可靠性指标的清单，前后共有879种产品已经进行可靠性指标的考核1990年11月和1995年10月，机械工业部举行了两次新闻发布会，先后介绍了236和159种带有可靠性指标的机电产品1992年3月国防部科工委委托军用标准化中心在北京召开了“非电产品可靠性工作交流研讨会”第39页，共71页。§6.１.1机械可靠性发展历史由美国、英国、加拿大、澳大利亚和新西兰五国组成的技术合作计划（TTCP）委员会编制出一本常用机械设备可靠性预计手册。日本以民用产品为主，大力推进机械可靠性的应用研究。日本科技联盟的一个机械工业可靠性分科会将故障模式、影响（FMEA）等技术成功地引入机械工业的企业中日本企业界普遍认为：机械产品是通过长期使用经验的累积，发现故障经过不断设计改进获得的可靠性日本一方面采用成功的经验设计，同时采用可靠性的概率设计方法的结果以及与实物试验进行比较，总结经验，收集和积累机械可靠性数据第40页，共71页。§6.１.2机械产品可靠性的重要性产品故障影响国家安全与声誉，可造成巨大经济损失泰坦尼克号沉没例如，1979年美国三里岛核电站发生的放射性物质泄漏，是由于冷凝器循环泵发生故障和人为因素等造成的1984年12月，美国联合炭化物公司设在印度博帕尔的农药厂，由于地下的气罐阀门失灵造成3000人死亡的严重事故挑战者号航天飞机升空爆炸2003年8月14日美加大停电第41页，共71页。泰坦尼克海难海难后果船体钢材不适应海水低温环境，造成船体裂纹观察员、驾驶员失误，造成船体与冰山相撞船上的救生设备不足，使大多数落水者被冻死距其仅20海里的California号无线电通讯设备处于关闭状态，无法收到求救信号，不能及时救援顶事件逻辑门

中间事件底事件第42页，共71页。§6.1.3机械可靠性设计概述可靠性是指机械产品在规定的条件下和规定的时间内完成规定功能的能力，是衡量机械产品质量的一个重要指标。机械可靠性设计是将概率统计理论、失效物理和机械学等相结合起来的综合性工程技术。机械可靠性设计特点：设计变量~随机变量用统计概率规律设计结构参数第43页，共71页。

一般机械产品的可靠性设计程序（1）方案论证阶段（确定指标、成本估算）（2）审批阶段（验证、评价、选择试制厂家）（3）设计研制阶段（预测、分配、综合分析及结构设计）（4）生产及试验阶段（寿命试验、故障分析反馈、验收）（5）使用阶段（收集数据，为改进提供依据）可靠性设计的重要内容：可靠性预测可靠性分配第44页，共71页。§6.2基本理论§6.2.1可靠度（Reliability）可靠度表示产品在规定的工作条件下和规定的时间内完成规定功能的概率。假设有N个零件，在预定的时间内累积有NQ个零件失效，其余NR个零件仍能正常工作，则该零件对时间t的可靠度R(t)为

是不可靠度，即故障分布函数。

第45页，共71页。在开始使用t=0产品为NQ(0)=0R(0)=1Q(0)=0NQ(∞)=NR(∞)=0Q(∞)=1故在[0，+∞）区间R(t)↘Q(t)↗对Q(t)求导得失效密度函数f(t)是故障分布函数又称故障概率密度函数，由上式知为累计失效密度函数第46页，共71页。也称故障率。定义：产品工作到t时刻后，单位时间内失效的概率。６.２.2失效率(failurerate)单位时间失效产品数t时刻附近正常工作产品数第47页，共71页。例：设有100个某种器件，工作5年失效4件，工作6年失效7件。求t=5的失效率。解：取△t=1年时，有或：单位时间失效产品数t时刻附近正常工作产品数第48页，共71页。说明：N个产品t=0时开始工作，到时刻t失效数为n(t)，t时刻的残存产品数为N－n(t),在(t,t+△t)时间区间内有△n(t)个产品失效，则时刻t的失效率为第49页，共71页。§6.2.2三种失效率——失效模式机械产品零件的典型失效曲线如下图示早期失效区域：试车跑合期。正常工作区域出现的失效具有随机性，故障变化率不大。功能失效区域的故障率迅速上升。零件：耗损、疲劳、老化机械产品浴盆曲线第50页，共71页。概率论的基本知识：指数分布正态分布韦布尔分布平均寿命：失效的平均间隔时间(1)正态分布的MTBF(2)指数分布时的MTBF(3)韦布尔分布时的MTBF第51页，共71页。§6.3机械强度可靠性设计§6.3.1机械可靠性设计原理——应力强度分布干涉理论1、应力—强度干涉模型机械可靠性设计就是要搞清楚载荷应力及零件强度的分布规律，合理的建立应力与强度之间的数学模型，严格控制失效概率，以满足设计要求。下图给出了强度可靠性设计过程第52页，共71页。第53页，共71页。由于零件在动载荷的长时间作用下第54页，共71页。零件可能出现失效的区域干涉区(1)安全系数＞1存在不可靠度(2)材料强度和工作应力离散程度达，干涉部分加大，不可靠度增大(3)当材质性能好、工作应力稳定时，使两分布离散度小，干涉部分相应的减小，可靠度增大。所以为保持产品可靠性，只进行安全系数计算是不够的，还需要进行可靠度计算。第55页，共71页。2求可靠度应力强度干涉时可靠度的表达式不可靠度令f(σ)为应力分布的概率密度函数，g(δ)为强度分布的概率密度函数，如图示，两者发生干涉。相应的分布函数为f(σ)与g(δ)第56页，共71页。可按下面两种方法来计算零件破坏的概率和可靠度的一般表达式。A、△概率密度函数联合积分法应力σ1落入宽度为dσ1的小区间内的概率等于该小区间所决定的单位面积A1即：第57页，共71页。第58页，共71页。此概率是应力σ1在dσ小区间内不会引起故障失效的概率(σ>δ)。将σ1变为随机变量σ，则可靠度(对于零件所有可能的应力值σ，强度δ均大于应力S的概率，即可靠度)第59页，共71页。第60页，共71页。由于正态分布是对称分布，因此上式可变换成：ZR为可靠度指数，若应力、强度为相关随机变量且相关系数为ρ时，则第61页，共71页。解：第62页，共71页。§6.3.3变差系数和安全系数第63页，共71页。结论：当强度和应力的标准差不变时，提高平均安全系数就会提高可靠度。当强度和应力的标