量子计算与金融 课件 第5-8章 量子力学背后的数学与金融应用-常见量子计算算法

量子计算与金融QuantumComputingand

Finance第五章

量子力学背后的数学与金融应用CUEB2026年7月4

日1

/

111Contents31

概率波函数与量子世界的不确定性2

概率守恒与量子力学的关系薛定谔方程时变薛定谔方程求解时变薛定谔方程的思路讨论定态薛定谔方程自由粒子无限方阱狄拉克符号下的量子力学离散谱与连续谱量子力学视角下的三种主要表象坐标表象动量表象能量表象狄拉克符号下的薛定谔方程量子力学的动态效应研究薛定谔绘景海森堡绘景45二者的关系不确定性原理的数学解释从傅里叶变换的基本性质说起位置与动量彼此间不确定的解释数学解释物理背景：从经典波到量子力学路径积分与

Feynman-Kac

公式用通俗的语言理解费曼的路径积分路径积分入门与传播子传播子的多重积分展开动量表象下的内积计算自由粒子短程传播子的计算从离散时间到连续时间的极限作用量泛函与理论意义维纳过程视角下的路径积分与Feynman-Kac公式参数替换与Feynman-Kac公式简介维纳过程与路径积分的联系推导CUEB2026年7月4

日2

/

111概率波函数与量子世界的不确定性概率波函数与量子世界的不确定性CUEB2026年7月4

日3

/

111概率波函数与量子世界的不确定性Fokker-Planck

方程及其随机微分背景多维扩散过程的随机微分方程

(SDE)：给定随机过程

Xt

的

SDE

形式：dXt

=

a(Xt,

t)dt

+

b(Xt,

t)dWt

=

a(Xt,

t)dt

+

√︁B(Xt,

t)dWt其中，a

为漂移向量，Wt

为

M

维标准维纳过程。

对应的

Fokker-Planck

方程：该扩散过程对应的概率密度函数

ρ(x,

t)

满足：∂ρ(x,

t)∂t=

−N∑︂

∂∂xii[a(x,t)ρ(x,

t)]+N

N∑︂

∑︂i=1 i=1

j=121

∂ 2 ∂xi∂xjij[D(x,t)ρ(x,

t)]t 0 021

T注：ρ(x,

t)dx

:=

P

[X

∈

dx|X

=

x

]，D

为扩散张量，定义为

D

:=

bb

。CUEB2026年7月4

日4

/

111概率波函数与量子世界的不确定性概率流形式与概率恒等式概率恒等式（连续性方程）：Fokker-Planck

方程可改写为概率流形式：∂ρ(x,

t)∂t+

∇

·

J(x,

t)

=

0此等式表示概率既不会凭空产生，也不会凭空消失，完全由

ρ

和

J

的流动来传递。

概率流

J(x,

t)

的定义：J(x,

t)

是一个实向量，其第

i

个分量与

ρ

的关系为：1Ji(x,

t)

=

ai(x,

t)ρ(x,

t)

−

2

∇

·

(B(x,

t)ρ(x,

t)), 1

≤

i

≤

NCUEB2026年7月4

日5

/

111概率波函数与量子世界的不确定性从经典概率到量子概率波纯数学假设：假设概率密度函数可以分解为

ρ

:=

|Ψ|2

=

ΨΨ∗，其中

Ψ(x,

t)

∈

C。

核心问题：能否在遵守概率恒等式的前提下，写出一个关于复函数

Ψ(x,

t)

的偏微分方程？物理意义：这是完全可行的！

这个偏微分方程正是下一节将介绍的

薛定谔方程。在量子力学中，Ψ(x,

t)

被称为“波函数”，代表一种“概率波”，其模的平方即为经典概率密度。CUEB2026年7月4

日6

/

111概率波函数与量子世界的不确定性量子概率流的定义为保证概率恒等式成立且具有物理学含义，量子力学中的概率流

J

被定义为：

ℏ

2mi∗ ∗J

:= (Ψ∇Ψ−Ψ∇Ψ

)参数说明：ℏ：普朗克常数

(Planck’sconstant)m：粒子质量i：虚数单位CUEB2026年7月4

日7

/

111概率守恒与量子力学的关系概率守恒与量子力学的关系CUEB2026年7月4

日8

/

111概率守恒与量子力学的关系

薛定谔方程时变薛定谔方程假设粒子的位置用

x

表示（一维）或

x

表示（三维）。

一维形式：∂ˆℏ2

∂2[︃ ]︃(5-1)iℏ

∂t

Ψ(x,

t)

=

HΨ(x,

t)

=

−

2m

∂x2

+

V(x,

t)

Ψ(x,

t)三维形式：∂ˆℏ22[︃ ]︃iℏ

∂t

Ψ(x,

t)

=

HΨ(x,

t)

=

−

2m

∇

+

V

(x,

t)

Ψ(x,

t)

(5-2)注：Ψ(x,

t)

∈

C

为复数波函数（概率波），Hˆ

为哈密顿算子，V

为势能。CUEB2026年7月4

日9

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111概率守恒与量子力学的关系

薛定谔方程能量守恒与哈密顿算子能量守恒视角：总能量

=

动能

+

势能。在实际物理系统中，势能通常不随时间变化，即V(x,

t)

≈

V(x)。

哈密顿算子

(Hamiltonian

Operator)：Hˆ是一个线性算子，满足叠加原理：Hˆ(aΨ)=

aHˆ

(Ψ), Hˆ(Ψ1+Ψ2)=Hˆ(Ψ1)+

Hˆ(Ψ2)其中

a

可以为复数。

共轭波函数的薛定谔方程：对

Ψ

取共轭，得到

Ψ∗

满足的方程：∂∗ˆℏ2[︃ ]︃∗ 2 ∗−iℏ

∂t

Ψ

=

HΨ

=

−

2m

∇

+

V

Ψ

(5-4)即iℏ∂tΨ=HˆΨ⇐⇒−iℏ∂tΨ∗=

(HˆΨ)∗。CUEB2026年7月4

日10

/

111概率守恒与量子力学的关系

薛定谔方程概率密度与概率流概率密度：2 ∗ρ:=|Ψ|=

ΨΨ(5-5)概率流

(Probability

Current)：

ℏ

2mi

ℏm∗ ∗ ∗J

= (Ψ∇Ψ−Ψ∇Ψ

)

= Im(Ψ∇Ψ)(5-6)概率恒等式（连续性方程）：上述定义可严格保证概率守恒：∂ρ(x,

t)∂t+∇·J(x,t)=0

(5-7a)这即是量子力学版本的

Fokker-Planck方程。CUEB2026年7月4

日11

/

111概率守恒与量子力学的关系

薛定谔方程概率质量守恒的算子视角一般令总概率

P

(t0)≡

1，且

limx→±∞

Ψ(x,

t)

=

0。对概率质量方程进行变换：dP

(t)

dt=s∈Ω

i

iℏ ℏ∗ ∗ˆ ˆ∫︂ [︃ ]︃(HΨ)Ψ−Ψ(HΨ)

ds⇒=dP

(t)

idt ℏ[︃∫︂s∈Ωs∈Ω(HˆΨ)∗Ψds

−

∫︂ Ψ∗(Hˆ

Ψ)ds]︃dt为保证

dP

(t)

=

0，必须满足：(HˆΨ)∗Ψds

=

∫︂ Ψ∗(Hˆ

Ψ)dss∈Ω（这体现了哈密顿算子的厄米性

/

自伴性）CUEB2026年7月4

日12

/

111概率守恒与量子力学的关系

薛定谔方程动量算子与波函数的傅里叶表示动量算子

(Momentum

Operator)：iℏ

2 2

2定义

pˆ

:=

−iℏ∇

=

∇，则

pˆ=

−ℏ

∇

。2m2哈密顿算子可表示为：Hˆ

:=

pˆ

+

V(x,

t)。薛定谔方程亦可写为：iℏ∂tΨ

=

H[x,

−iℏ∇]Ψ。

波函数的直观理解（一维傅里叶变换）：波函数可表示为不同波数

k

的平面波叠加：∫︂∞

1

Ψ(x,

t)

=

√2π

Φ(k)ei[kx−ω(k)t]dk−∞其中

ω(k)

为频率，Φ(k)

与初始波函数

Ψ(x,

0)

互为傅里叶变换对。CUEB2026年7月4

日13

/

111概率守恒与量子力学的关系

薛定谔方程有限区间内的概率守恒以上讨论假设

x

∈

(−∞,

+∞)。若考虑有限区间

x

∈

[a,

b]，区间内概率为：∫︂bPab(t)

= ρ(x,

t)dxa利用高等微积分知识（无需量子力学假定）：dPab(t)

dt∫︂ ∫︂b ba a∫︂ba∂ρ

∂J= dx

=

−

∇

·

Jdx

=

−

dx∂t ∂x=

−J(b,

t)

+

J(a,

t)本节小结：本节完成了从

Fokker-Planck

方程到薛定谔方程的推导。反之，从薛定谔方程也可推导回

Fokker-Planck

方程，且这一推导方向更契合该知识体系的发展顺序，故

Fokker-Planck

方程常被视为源自量子力学。CUEB2026年7月4

日14

/

111概率守恒与量子力学的关系

时变薛定谔方程时变vs定态：两种薛定谔方程薛定谔方程可以分为时变（Time-Dependent）薛定谔方程和定态（Time-Independent）薛定谔方程，这里先介绍时变薛定谔方程的解法，再介绍定态薛定谔方程。式（5-2）即为时变薛定谔方程，它是一个偏微分方程，而且是抛物线型偏微分方程。CUEB2026年7月4

日15

/

111概率守恒与量子力学的关系

时变薛定谔方程分离变量法与定态薛定谔方程时变薛定谔方程为抛物线型偏微分方程。设初值

Ψ(x,

0)

=

Ψ0(x)，利用分离变量法令

Ψ(x,

t)

:=

ψ(x)T

(t)：

空间部分（定态薛定谔方程）：ℏ22[︃ ]︃−

2m

∇

ψ(x)

+

V(x)ψ(x)

=

Eψ(x)时间部分：T′Tiℏ =E

=⇒T(t)=

Ae−iEt/ℏ注：ψ(x)

与时间无关，故称为平稳态

(Stationary

State)。E

为分离常数，在物理上对应能量谱

(Spectrum)。CUEB2026年7月4

日16

/

111概率守恒与量子力学的关系

时变薛定谔方程一维情形与谱展开在一维问题中，空间方程化为

Sturm-Liouville

形式：2mℏ2ψ′′+[q(x)+

λ]ψ=

0, 其中

q(x)

=

− V(x),λ

=2mEℏ2物理实验中谱常为离散值

E1,

E2,

·

·

·

，对应本征态

ψ1,

ψ2,

·

·

·

。

一般解（谱展开）：∞∑︂n=1n nΨ(x,

t)

= ψ(x)A

en−iE

t/ℏ由初值确定系数

An：∫︁∞−∞0 nΨ(x)ψ

(x)dxAn

=

∫︁∞−∞2nψ

(x)dxCUEB2026年7月4

日17

/

111概率守恒与量子力学的关系

时变薛定谔方程时间演化算子

UHˆt

iℏˆ ˆ若哈密顿算子

H

不随时间变化，时变薛定谔方程

∂

Ψ

=

−

HΨ

的解可写为：Ψ(x,t)=

UHˆ

Ψ0(x), 其中

UHˆ

=

eiℏˆ0−H(t−t

)算子性质：ˆ†H

ˆH酉算子

(Unitary)：U

U =

I，保证概率守恒。级数展开：算子指数函数满足泰勒展开

iUHˆ≡1+−

ℏHˆ∆t(︃ )︃

1

i(︃ )︃2+ −

Hˆ∆t +

·

·

·2! ℏ注：此性质是路径积分

(Path

Integral)

与

Feynman-Kac

公式的数学基础。CUEB2026年7月4

日18

/

111概率守恒与量子力学的关系

时变薛定谔方程薛定谔方程与热传导方程的数学联系ti2m

ℏ

2当

V

=

0

时，薛定谔方程为

∂

Ψ

=

− ∇

Ψ。

与标准热传导方程对比：热传导:

∂tu

=

κ∇2u

(κ

>

0,

实数)

ℏ

i2m薛定谔:

∂tΨ

=

κ∇2Ψ

(κ

=

− ∈

C)物理内涵：薛定谔方程始于波动方程（二阶时间导数），终于物质描述（一阶时间导数，类似热传导）。这体现了微观粒子的

“波粒二象性”。CUEB2026年7月4

日19

/

111概率守恒与量子力学的关系

时变薛定谔方程与金融资产定价

(BSM)

的数学类比BSM

欧式期权定价公式经坐标变换后，化为时间正向抛物线型方程：∂v ∂2v ∂v= +

k1 −

k0v∂τ ∂x2 ∂x数学形式对比：薛定谔方程：系数为复数，无

∂xΨ

项，有势能项

V(x)Ψ。BSM

方程：系数为实数，有

∂xv

项，无势能项。Feynman-Kac

联系：当考虑随时间变化的利率

V(t,

Xt)

时，衍生品定价方程出现

V(t,

Xt)C

项，在数学形式上严格对应薛定谔方程中的势能项

V(x)Ψ(x,

t)。CUEB2026年7月4

日20

/

111概率守恒与量子力学的关系

时变薛定谔方程自由粒子与柯西问题

(1/2)对于不受限的自由粒子

(V

=

0)，可利用柯西问题

(Cauchy

Problem)

求解。

标准热传导方程的解：∫︁∞−∞初值

u(x,

0)

=

ϕ(x)，解为卷积形式

u(x,

t)

= ϕ(s)G(x

−

s,

t)ds。其中热传导核

(格林函数)

为：

1 G(x−s,t)=√4πκtexp

−(x−

s)24κt(︃ )︃注：当

ϕ(x)

=

δ(x)

时，uG(x,

t)

=

G(x,

t)。此结论在

κ

>

0

且为实数时成立。CUEB2026年7月4

日21

/

111概率守恒与量子力学的关系

时变薛定谔方程自由粒子与柯西问题

(2/2)2m将热传导核中的

κ

替换为薛定谔方程的复数系数

κ

=

iℏ

，可直接得到量子传播子：G(xf

,

tf

;

s,

ti)

=f i2πℏi(t−t

)expf

m

im(x−

s)22ℏ

t−

tf i√︃ [︃ ]︃(5-8)薛定谔方程的通解：∫︂∞−∞Ψ(x,

t)

=

Ψ0(s)√︃[︃

m

im

(x

−

s)22πℏit

exp

2ℏ

t]︃ds注：此处的传播子

(Propagator)

与路径积分中的核心概念完全等价，且与格林函数(Green’s

Function)

在数学上等价。CUEB2026年7月4

日22

/

111概率守恒与量子力学的关系

定态薛定谔方程定态薛定谔方程的引入从时变薛定谔方程出发：iℏ∂Ψ(x,

t)ℏ2∂2Ψ(x,

t)∂t

∂x2=

−

2m +

V

Ψ(x,

t)利用分离变量法

Ψ(x,

t)

:=

ψ(x)T

(t)，定义仅关于

x

而与时间无关的波函数ψ(x)（称为

平稳态

Stationary

State）。

定态薛定谔方程：ℏ2

∂2ψ−

2m

∂x2

+

V

ψ

=

Eψ注：该方程属于

椭圆型

(Elliptic)

偏微分方程。常见的

PDE

类型包括：抛物线型（热传导）、双曲线型（波动）及椭圆型。CUEB2026年7月4

日23

/

111概率守恒与量子力学的关系

定态薛定谔方程平稳态的四个重要性质

(1/2)性质

1：概率密度不随时间变化Ψ(x,

t)

和

ψ(x)

满足：|Ψ(x,

t)|2

∝

|ψ(x)|2。

性质

2：物理量期望值的计算归一化后

|Ψ(x,

t)|2

=

|ψ(x)|2，任意物理量

Q

的期望值为：E(Q)=∫︂

Q|ψ(x)|2dx=

∫︂

ψ∗Qψdx性质

3：哈密顿量的方差为零定态方程即

Hˆψ

=

Eψ。能量期望值

E(Hˆ

)

=

E，且

E(Hˆ

2)

=

E2。2Hˆˆ ˆ2 2因此，哈密顿量的方差

σ =E(H)−[E(H)]=

0。CUEB2026年7月4

日24

/

111概率守恒与量子力学的关系

定态薛定谔方程平稳态的四个重要性质

(2/2)性质

4：线性叠加与能量期望一般解具有线性叠加特性：∞∑︂n=1n nΨ(x,

t)

= ψ(x)A

en−iE

t/ℏ为保证经典物理含义，需满足归一化条件∑︁∞n=1n2|A|=

1（注：部分文献如Griffiths

使用

cn

代替

An）。

此时，系统总能量的期望值为特征值的加权平均：∞∑︂n nE(H)

= E|A

|2n=1结论：物理量的期望值与其本征值（特征值）及对应概率幅的模方直接相关。CUEB2026年7月4

日25

/

111概率守恒与量子力学的关系

定态薛定谔方程自由粒子与连续谱ℏ2

∂2ψ一维自由粒子：

V(x)

=

0，x

∈

(−∞,

∞)。−2m∂x2=

Eψ通解与色散关系：解为平面波叠加

ψ(x)

=

Aeikx

+

Be−ikx。代入方程得

E

=

ℏ2k2

=⇒

k

=

±2m√︂2mEℏ2。Aeik1x：正向传播波

(+x

方向)Be−ik2x：反向传播波

(−x

方向)注：因

k

∈

(−∞,

∞)，能量

E

的取值是连续的，属于

连续谱。CUEB2026年7月4

日26

/

111概率守恒与量子力学的关系

定态薛定谔方程自由粒子的归一化与时间演化∫︁∞−∞2为满足概率波属性

|ψ(x)|dx≡

11

√2π，取

B

=

0

并令

A

=

：1ψ(x)=√2π

eikx代入柯西问题解（传播子积分）：∫︁∞−∞0 0将

Ψ

(s)

:=

ψ(s)

代入

Ψ(x,

t)

= Ψ

(s)G(x

−

s,

t)ds：

1

Ψ(x,t)=

√2π−∞∞

∫︂ [︃√︁4π(iℏ/2m)texpiks−

4(iℏ/2m)t1 (x−s)2

]︃dsCUEB2026年7月4

日27

/

111概率守恒与量子力学的关系

定态薛定谔方程无限方阱

(Infinite

Square

Well)势场设定（一维盒子/刚性壁势）：V(x)=

{︄0,0

≤

x

≤

a∞,

其他方程与边界条件：2d

ψdx22在

0

≤

x

≤

a

内，方程化为

+kψ=

0，其中

k

=√︂2mEℏ2。边界条件：ψ(0)

=

ψ(a)

=

0。CUEB2026年7月4

日28

/

111概率守恒与量子力学的关系

定态薛定谔方程无限方阱的解与离散谱通解与系数确定：ψ(x)

=

A

sin(kx)

+

B

cos(kx)。由

ψ(0)

=

0

=⇒

B

=

0；由

ψ(a)=

0

=nπa⇒

k

= ,

n

=

1,

2,

3,

·

·

·∫︁a02由归一化

|ψ|dx=1

=a

⇒

A

=

√︂

。

最终结果（离散谱）：2n

√︃2aψ

(x)

=

sinnπ

ax(︂ )︂n2π2ℏ22ma2

,En

= n

=

1,

2,

3,

·

·

·注：空间受限导致能量

E

只能取离散值，即

离散谱。CUEB2026年7月4

日29

/

111狄拉克符号下的量子力学狄拉克符号下的量子力学CUEB2026年7月4

日30

/

111狄拉克符号下的量子力学量子力学与算子谱量子力学是关于测量的科学。波函数

Ψ

客观存在，而位置、动量、能量是特定坐标系下的“表象”。

特征方程：ξˆ|ξ′⟩=

ξ′|ξ′⟩ξˆ：算子（物理量的数学抽象）|ξ′⟩：右矢（算子的特征向量/特征函数）ξ′：特征值（具体的测量数值）算子的谱

(Spectrum)：离散谱：特征值间存在有限间隔，通常可数无限（如束缚态能量）。连续谱：特征值来自某一区间，无穷维函数空间（如位置、自由粒子动量）。注：同一算子在不同边界条件下可能表现出不同谱性质（如受限动量可为离散谱）。CUEB2026年7月4

日31

/

111狄拉克符号下的量子力学

离散谱与连续谱离散谱与连续谱的对比∑︁i|ei⟩⟨ei|=

I∫︁

|x⟩⟨x|dx=

I性质离散谱连续谱空间维度有限/可数无限不可数无限

(函数空间)基矢记号|ei⟩|x⟩,

|p⟩正交归一⟨ei|ej

⟩

=

δij⟨x|x′⟩

=

δ(x

−

x′)完备性算子形式矩阵微分算子/积分核本书约定：

位置算子

xˆ

和动量算子

pˆ

视为连续谱。CUEB2026年7月4

日32

/

111狄拉克符号下的量子力学

离散谱与连续谱希尔伯特空间的完备性条件令

{|ei⟩}∞i=1

为希尔伯特空间

H

的正交序列，以下陈述等价：{|ei⟩}

是

完备的。∀|f⟩

∈

H, |f

⟩

=∑︁∞i=1i i|e⟩⟨e|f

⟩完备性关系

(Resolution

of

Identity)：∞∑︂i=1i i|e⟩⟨e|=

I∀|f

⟩,

|g⟩

∈

H, ⟨f

|g⟩

=∑︁∞i=1i i⟨f

|e⟩⟨e|g⟩Parseval

等式：∀|f

⟩

∈

H, ||f

||2

=

∑︁∞i=1

|⟨ei|f

⟩|2CUEB2026年7月4

日33

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象量子力学的三种主要表象态矢量

|S(t)⟩（或

|φ⟩）可在不同基底下展开：坐标表象

(Position

Representation)：基矢为位置算子

xˆ

的本征态

{|x⟩}，连续谱。动量表象

(Momentum

Representation)：基矢为动量算子

pˆ

的本征态

{|p⟩}，连续谱。能量表象

(Energy

Representation)：基矢为哈密顿算子

Hˆ的本征态

{|n⟩}，通常离散谱。本节重点：一维粒子，xˆ,pˆ

为连续谱，能量讨论离散情形。CUEB2026年7月4

日34

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象坐标表象

(Position

Representation)基矢性质：⟨x|x′⟩

=

δ(x

−

x′),∫︂

|x⟩⟨x|dx=

I态矢量的展开：∫︂ ∫︂|S(t)⟩=

I|S(t)⟩

= |x⟩⟨x|S(t)⟩dx

= |x⟩Ψ(x,

t)dx波函数的定义：Ψ(x,t)≡⟨x|S(t)⟩或

ΨS(t)(x)注：波函数

Ψ(x,

t)

本质上是态矢量

|S(t)⟩

在坐标基底下的投影（分量）。CUEB2026年7月4

日35

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象坐标算子在位置基底下的作用考察

⟨x|xˆ|S(t)⟩

的物理意义：

推导过程：⟨x|xˆ|S(t)⟩=

⟨x|xˆ(︃∫︂

|x′⟩⟨x′|dx′)︃|S(t)⟩=

∫︂

⟨x|xˆ|x′⟩⟨x′|S(t)⟩dx′=

∫︂

x′δ(x

−

x′)Ψ(x′,

t)dx′=xΨ(x,

t)结论：⟨x|xˆ|S(t)⟩=

xΨ(x,t)在坐标表象中，位置算子

xˆ

的作用等价于乘以坐标变量

x。CUEB2026年7月4

日36

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象动量表象的基本性质动量算子与基矢：令动量算子为

pˆ，其特征态矢集合用

{|p⟩}

表示，视为完备基。正交归一条件：⟨p|p′⟩

=

δ(p

−

p′)完备性条件：∫︂|p⟩⟨p|dp=

I态矢量的动量表象展开：∫︂ ∫︂|S(t)⟩=

I|S(t)⟩

= |p⟩⟨p|S(t)⟩dp

= |p⟩Φ(p,

t)dp其中

Φ(p,

t)

≡

⟨p|S(t)⟩。CUEB2026年7月4

日37

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象x表象到p表象的变换函数坐标基矢与动量基矢的内积：1⟨x|p⟩=

√2πℏipx/ℏpe :=f(x)=

[⟨p|x⟩]∗12πℏx⟨p|x⟩

=

√ e−ipx/ℏ:=f

(p)物理意义：

⟨x|p⟩

表示从坐标表象

x

到动量表象

p

的变换函数。推导思路：利用动量算子的本征方程

pˆ|p′⟩

=

p′|p′⟩计算矩阵元

⟨x′|pˆ|p′⟩

的两种表达建立微分方程并求解确定归一化常数

ACUEB2026年7月4

日38

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象动量表象变换的推导

(1/3)步骤

1-2：建立微分方程(1)

动量本征方程：

pˆ|p′⟩

=

p′|p′⟩(2)

计算

⟨x′|pˆ|p′⟩：⟨x′|pˆ|p′⟩

=

⟨x′|(p′|p′⟩)

=

p′⟨x′|p′⟩

=

p′fp′

(x′)(3)

动量算子在坐标表象的微分形式：′⟨x

|pˆ

∂∂x′

∂∂x′

a′ ′|a⟩

:=

−iℏ ⟨x|a⟩

=

−iℏ f(x

)令

a

=

p′，得：′⟨x

|pˆ

∂∂x′′ ′

′|p⟩

:=

−iℏ ⟨x|p

⟩CUEB2026年7月4

日39

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象动量表象变换的推导

(2/3)步骤

3：建立并求解微分方程由前两步结果：′ ′

′

∂∂x′′

′ℏ ⟨x|p

⟩p⟨x|p⟩=

−i这是一个一阶线性常微分方程：p′ ′p

f

′

(x

)

=

−i

∂∂x′

p′ℏ f

′(x)求解：

该方程的通解为p′ ′

′f

′

(x

)

=

⟨x

|p⟩

=

A

exp′

′p

xℏi(︃ )︃其中

A

为待定常数。CUEB2026年7月4

日40

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象动量表象变换的推导

(3/3)步骤

4-8：确定归一化常数

A利用傅里叶变换确定

Aδ

函数的傅里叶变换：′′

1

2πℏ∫︂∞−∞eℏp ′′i(x−x

)dpδ(x−x)

=(6)

利用动量空间完备性：′′∫︂∞−∞⟨x|x

⟩

= ⟨x|p⟩⟨′′p|x

⟩dp(7)代入变换函数形式：′′∫︂∞−∞⟨x|x

⟩

= AA

eℏp ′′∗i(x−x

)dp(8)比较系数得：1A=

√2πℏCUEB2026年7月4

日41

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象动量表象的重要结论核心变换关系：1⟨x|p⟩=

√eipx/ℏ,1⟨p|x⟩=

√2πℏ

2πℏe−ipx/ℏ物理意义：坐标表象与动量表象之间通过傅里叶变换相互转换⟨x|p⟩

是平面波形式，体现波粒二象性2πℏ归一化常数

√

1

保证了正交归一关系应用：波函数在不同表象间的转换量子态的傅里叶分析路径积分公式的数学基础CUEB2026年7月4

日42

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象本节重要结论回顾基矢间的变换函数：12πℏipx/ℏp⟨x|p⟩

=

√ e :=f(x)=

[⟨p|x⟩]†(1)12πℏx⟨p|x⟩

=

√ e−ipx/ℏ:=f

(p)(2)位置基矢的正交归一性（δ函数的积分表示）：⟨x|x′⟩

=

δ(x

−

x′)

=

1

2πℏ∫︂∞−∞eℏp ′i(x−x

)dpCUEB2026年7月4

日43

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象波函数在坐标与动量表象间的变换利用完备性关系

I

=

∫︁

|p⟩⟨p|dp

进行表象转换：

从动量表象到坐标表象：∫︂12πℏp|S(t)⟩dp

=

√ ∫︂

eipx/ℏΦ(p,

t)dpΨ(x,t)=

⟨x|S(t)⟩

= ⟨x|p⟩⟨从坐标表象到动量表象：∫︂12πℏΦ(p,t)=

⟨p|S(t)⟩

= ⟨p|x⟩⟨x|S(t)⟩dx

=

√ ∫︂

e−ipx/ℏΨ(x,

t)dx注：坐标表象与动量表象的波函数互为傅里叶变换对。CUEB2026年7月4

日44

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象位置算子在动量表象下的表示考察位置算子

xˆ在动量基底下的作用

⟨p|xˆ|S(t)⟩：

推导过程：∫︂⟨p|xˆ|S(t)⟩

==∫︂x⟨p|x⟩Ψ(x,

t)dx12πℏx

√ e−ipx/ℏΨ(x,

t)dx∂(︃∫︂e−ipx/ℏ=

iℏ

∂p √2πℏΨ(x,

t)dx)︃∂=

iℏ

∂p

Φ(p,

t)CUEB2026年7月4

日45

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象算符在不同表象下的对应关系位置算子

xˆ

的表象表示：在位置基底（坐标表象）：⟨x|xˆ|S(t)⟩

=

xΨ(x,

t)

=⇒

xˆ→

x∂∂p在动量基底（动量表象）：⟨p|xˆ|S(t)⟩

=

iℏ Φ(p,t)

=⇒xˆ→

iℏ∂∂p∂∂x动量算子

pˆ

的表象表示：在位置基底（坐标表象）：pˆ

→

−iℏ在动量基底（动量表象）：pˆ

→

pCUEB2026年7月4

日46

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象正则对易关系的证明对易子定义：

[A,

B]

:=

AB

−

BA

证明

[xˆ,

pˆ]

=

iℏ：作用于任意波函数

φ(x)：[xˆ,pˆ]φ(x)=xˆpˆφ(x)−

pˆxˆφ(x)∂φ∂∂x

∂x

(︃ )︃ (︃ )︃=

x

−iℏ

−

−iℏ

(xφ(x))∂φ

∂φ=

−iℏx

∂x

+

iℏφ(x)

+

iℏx

∂x=

iℏφ(x)结论：[xˆ,

pˆ]

=

iℏ。狄拉克称之为“基本的量子条件”。CUEB2026年7月4

日47

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象对易关系的物理意义核心地位：量子力学数学框架的基石。直接推导“不确定性原理”（数学上利用施瓦茨不等式）。解释波粒二象性、量子纠缠与叠加等奇特现象（源于

[A,

B]

̸=

0）。物理本质：对易关系揭示了自然界在微观尺度下的不确定性。这种不确定性并非源于测量技术的限制，而是物理规律本身的内在属性。CUEB2026年7月4

日48

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象补充说明：诺特定理与动量算子本节方法的局限性：本节通过表象变换获得动量算子的方法并非最“准确”或最根本的推导。

更严谨的推导（诺特定理）：考察波函数

Ψ(x,

t)

的空间平移变换。界定平移算子，并证明其生成元即为动量算子。诺特定理：物理系统的每一种连续对称性都对应一个守恒量。空间平移对称性对应的守恒量正是动量。注：埃米·诺特（Emmy

Noether）被誉为“现代抽象代数之母”，其贡献构成了本书后续抽象代数知识的基础。CUEB2026年7月4

日49

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象能量表象的基本性质基矢选择：选取哈密顿算子

Hˆ的特征矢集合

{|n⟩}

作为完备基。正交归一条件：⟨n|m⟩=

δnm完备性条件：∑︂|n⟩⟨n|=

In物理意义：能量表象通常对应离散谱，态矢量在能量基矢上的投影

cn(t)

表征了系统处于第

n

个能级的概率幅。CUEB2026年7月4

日50

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象任意波函数的能量表象展开利用完备性关系将任意态

|S(t)⟩

在坐标表象中展开：Ψ(x,t)=

⟨x|S(t)⟩=

⟨x|I|S(t)⟩∑︂n=

⟨x|

|n⟩⟨(︄ )︄∑︂= ⟨x|n⟩⟨n|

|S(t)⟩n|S(t)⟩n定义分量：能量本征函数：ψn(x)

≡

⟨x|n⟩

（平稳态）展开系数：cn(t)

≡

⟨n|S(t)⟩CUEB2026年7月4

日51

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学视角下的三种主要表象含时演化与平稳态一般展开式：∑︂n nΨ(x,

t)

= ψ(x)c

(t)n含时薛定谔方程的解：若初始时刻系统处于能量本征态

|n⟩，则时间演化因子为

e−iEnt/ℏ：cn(t)=

cn(0)e−iEnt/ℏ于是：∞∑︂n nΨ(x,

t)

= ψ(x)c

(0)en−iE

t/ℏn=1注意：

ψn(x)

仅描述空间分布（平稳态），时间依赖性完全由系数

cn(t)

中的相位因子携带。CUEB2026年7月4

日52

/

111狄拉克符号下的量子力学

狄拉克符号下的薛定谔方程狄拉克符号下的薛定谔方程坐标表象形式（Griffiths

写法）：iℏ∂Ψ(x,

t)∂tℏ22[︃ ]︃=

−2m∇+V(x)Ψ(x,t)其中

Ψ(x,

t)

=

⟨x|S(t)⟩。抽象希尔伯特空间形式（Dirac

写法）：∂∂tˆiℏ |Ψ(t)⟩=

H|Ψ(t)⟩ˆ其中哈密顿算子

H

=pˆ22m∂∂x+

V

(xˆ)，且

pˆ

=

−iℏ

。CUEB2026年7月4

日53

/

111狄拉克符号下的量子力学

狄拉克符号下的薛定谔方程定态薛定谔方程与概念辨析定态（能量本征）方程：Hˆ|n⟩=En|n⟩或Hˆ|ψ⟩=

E|ψ⟩概念辨析：|Ψ(t)⟩

(或

Ψ(x,

t))：一般态矢量，包含系统随时间演化的全部信息，通常是多个能量本征态的线性叠加。|ψ⟩

(或

ψ(x))：特指平稳态（能量本征态），仅包含空间分布信息，时间部分仅表现为全局相位因子

e−iEt/ℏ，概率密度

|ψ(x,

t)|2

不随时间变化。CUEB2026年7月4

日54

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学的动态效应研究量子系统演化的两种等价方式在量子力学中，描述系统演化有两种等价绘景，其核心区别在于“动态要素”的分配：核心区别薛定谔绘景

(Schr¨odinger

Picture)：波函数（态右矢）随时间演化，而算子不随时间变化。海森堡绘景

(Heisenberg

Picture)：算子随时间演化，而波函数不随时间变化。注：以下讨论仅考虑一维粒子情形。CUEB2026年7月4

日55

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学的动态效应研究薛定谔绘景

(Schr¨odinger

Picture)态矢量的演化：系统状态由

|Ψ(t)⟩描述，满足薛定谔方程：∂∂tˆiℏ |Ψ(t)⟩=

H|Ψ(t)⟩时间演化算子

U

(t,

t0)：初始时刻

t0

的态

|a,

t0⟩演化至

t时刻的态

|a,

t0;

t⟩：|a,

t0;

t⟩

=

U

(t,

t0)|a,

t0⟩

或

|Ψ(t)⟩S

=

U

(t,

0)|Ψ(0)⟩S算子与测量：dt力学量算子

Aˆ

与时间无关：

dAˆ

=

0。基底不随时间变化。期望值：E(Oˆ)0:t

=

S⟨Ψ(t)|OˆS|Ψ(t)⟩S。CUEB2026年7月4

日56

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学的动态效应研究海森堡绘景

(Heisenberg

Picture)态矢量：系统的状态由不含时的初始波函数描述，不随时间变化：|Ψ(t)⟩H=

|Ψ(0)⟩算子的演化（海森堡方程）：力学量算子

AˆH(t)

随时间演化：iℏˆHdA

(t)ˆ ˆH H=[A(t),H(t)]+

iℏˆH∂A

(t)dt ∂t若算子本身不显式包含时间变量（如

xˆ,

pˆ），则偏导项为0，方程简化为：iℏˆHdA

(t)dtHˆ ˆ=[A(t),

H]CUEB2026年7月4

日57

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学的动态效应研究两种绘景的数学联系时间演化算子：薛定谔绘景下，U

(t,

0)

=

e−iHˆ

t/ℏ。U

是酉算子，满足

U

†U

=

I。

算子变换关系：定义海森堡绘景初始态

|Ψ⟩H

:=

|Ψ(0)⟩S，则两绘景下算子关系为：AˆH(t)

=

U

†(t,

0)AˆSU

(t,

0)注：薛定谔绘景下的算子

AˆS为静态算子。对

AˆH(t)

求导并利用

U

†U

=

I

及∂U∂tˆiℏ =

HU

，即可推导出海森堡方程。CUEB2026年7月4

日58

/

111狄拉克符号下的量子力学

量子力学的动态效应研究物理测量的等价性期望值的一致性：无论在哪种绘景下，测量力学量

Oˆ

的期望值必须完全一致：E(Oˆ)0:t=S⟨Ψ(t)|OˆS|Ψ(t)⟩S=

H⟨Ψ|OˆH(t)|Ψ⟩H物理意义：薛定谔绘景与海森堡绘景仅仅是数学描述框架的不同，它们对可观测物理量（如期望值、概率等）的预测是完全等价的。CUEB2026年7月4

日59

/

111不确定性原理的数学解释不确定性原理的数学解释CUEB2026年7月4

日60

/

111不确定性原理的数学解释

从傅里叶变换的基本性质说起傅里叶变换的定义与

Plancherel

定理傅里叶变换及其逆变换的定义：∫︂∞−∞ixkˆf

(x)

= e f

(k)

dkˆ∫︂∞−ixkf

(k)

= e f

(x)

dx−∞其中

f,

fˆ

∈

C，且设定归一化条件：∫︂∞2|f(x)|dx≡

1−∞Plancherel

定理（Parseval-Plancherel

定理）：

1

2π∞ˆ|f

(k)|2∫︂ ∫︂∞−∞ −∞2dk≡

1

≡ |f(x)|

dx它是连接傅里叶变换和傅里叶逆变换的桥梁，保证了能量（概率）在时域和频域的守恒。CUEB2026年7月4

日61

/

111不确定性原理的数学解释

从傅里叶变换的基本性质说起概率密度、期望与标准差2 1

2πˆ2将

|f

(x)|

和

|f

(k)|

分别视为随机变量

X

和

K

的概率密度函数：2ρ(x):=|f

(x)|,

1

2πˆρˆ(k)

:= |f

(k)|2期望（均值）：x∫︂∞−∞2E(X)=

m

= x|f(x)|

dx,kE(K)=m

=

1

2π∫︂∞−∞ˆ2k|f(k)|

dk标准差：σx

=[︃∫︂∞−∞2 2(x−mx)|f

(x)|dx]︃1/2σk

=

1

2π[︃ ∫︂∞−∞(k−mk)|fˆ(k)|

dk2 2]︃1/2CUEB2026年7月4

日62

/

111不确定性原理的数学解释

从傅里叶变换的基本性质说起傅里叶变换的基本不等式与

Schwarz

不等式基本性质：1σxσk≥

2证明思路：

需要利用

Schwarz

不等式：⃓⃓∞

⃓2⃓f

(x)g(x)

dx

≤∫︂ [︃∫︂∞2|f(x)|

dx]︃

[︃∫︂∞−∞ −∞ −∞2|g(x)|

dx]︃通过构造合适的函数并应用

Schwarz

不等式，可以严格推导出上述标准差的下界。CUEB2026年7月4

日63

/

111不确定性原理的数学解释

位置与动量彼此间不确定的解释量子力学视角：从波数

k

到动量

p在一维量子力学中，波函数

Ψ(x,

t)

∈

C

客观存在，位置概率密度为

ρ

≡

|Ψ|2，且满足：∫︂∞2|Ψ(x,t)|dx≡

1−∞根据物理结论，动量与波数满足关系：p

=

ℏk。对

Ψ(x,

t)

进行傅里叶变换

Ψ(x,

t)

→

Ψˆ

(k,

t)，并转换为关于

p

的函数

Φ(p,

t)：12πℏˆℏ(︂ )︂p

1Φ(p,t)

=

√ Ψ ,t=

√2πℏ∫︂∞−∞e−ipx/ℏΨ(x,

t)

dx1Ψ(x,t)=

√2πℏ∫︂∞−∞eipx/ℏΦ(p,

t)

dpCUEB2026年7月4

日64

/

111不确定性原理的数学解释

位置与动量彼此间不确定的解释位置与动量的概率分布及统计量位置概率密度：ρ(x,

t)

≡

|Ψ(x,

t)|2动量概率密度：ρ˜(p,

t)

≡

|Φ(p,

t)|2两者均满足归一化条件：∫︂∞−∞∫︂∞−∞2 2|Ψ(x,t)|

dx

= |Φ(p,t)|dp≡

1均值与标准差：x∫︂∞−∞2m

= x|Ψ|

dx,p∫︂∞−∞2m

= p|Φ|

dpσx

=[︃∫︂∞−∞]︃1/22 2(x−mx)

|Ψ|

dx , σp

=[︃∫︂∞−∞2 2(p−mp)|Φ|

dp]︃1/2CUEB2026年7月4

日65

/

111不确定性原理的数学解释

位置与动量彼此间不确定的解释不确定性原理及其物理含义x

k12利用前文推导的

σ

σ

≥

，代入

p

=

ℏk，立即得到：x

poσ

≥ℏ2这就是著名的

不确定性原理。物理含义：2如果试图同时测准位置

x

和动量

p，这两个值标准差的最小乘积就是

ℏ

，这是测量的绝对“极限”。深层原因：

Ψ(x,

t)

和

Φ(p,

t)

彼此之间受到傅里叶变换的“羁绊”，如同“一体两面”。概率密度函数

|Ψ(x,

t)|2

和

|Φ(p,

t)|2

的这种内在联系，直接决定了

σx

和σp

无法同时任意小。CUEB2026年7月4

日66

/

111不确定性原理的数学解释

位置与动量彼此间不确定的解释经典物理中的波与粒子经典波动方程（双曲线型偏微分方程）：∂2w(x,

t)∂t2=

c2∆w ⇒ w(x,

t)

=

ei(kx−ωt)其中

c

为波速，ω

为角频率。波矢与波数：三维情形：位置与波矢的关系为

k

·

x，波矢

k

描述波传播方向。一维情形：退化为

kx，此时波矢大小等于波数，即

|k|

=

k。机械波（水波、声波）的波数：k=

2π/λ（λ

为波长）。经典物理的局限：

在经典物理中，粒子的宏观特性（如动量

p

=

m

dx

，用热dt传导方程描述）与波的特性（波长、波矢，用波动方程描述）之间没有直接关系。CUEB2026年7月4

日67

/

111不确定性原理的数学解释

位置与动量彼此间不确定的解释量子力学的诞生：p

=

ℏk

与波粒二象性德布罗意物质波：

电子的德布罗意波长

λ

=

h/p，从而建立了动量与波数（波矢）的关系：p

=

ℏk (一维), p

=

ℏk

(三维)能量与频率的关系（光电效应）：

量子力学中，基本粒子的能量与频率直接相关：E=ℏω

=

hν ν

=ω2π(︂ )︂波粒二象性的体现：

(ω,

k)

代表波的特性，(E,

p)

代表粒子的特性。粒子实际运动的速度（群速度）为：dω dEvg=dk=

dpCUEB2026年7月4

日68

/

111不确定性原理的数学解释

位置与动量彼此间不确定的解释不确定性原理的数学本质与对易关系本节的核心前提：

解释“不确定性原理”完全利用傅里叶变换的数学性质及数理统计思想（期望值和标准差）。唯一用到的物理学知识是

p

=

ℏk。甚至不需要用到薛定谔方程。另一种视角：对易关系

位置算子与动量算子存在对易关系（一维）：[xˆ,pˆ]=

iℏ若将此对易关系作为“第一性原则”，同样可以深刻理解不确定性原理与波粒二象性。最早利用该关系揭示不确定性原理的是保罗·狄拉克。CUEB2026年7月4

日69

/

111路径积分与

Feynman-Kac

公式路径积分与

Feynman-Kac

公式CUEB2026年7月4

日70

/

111路径积分与

Feynman-Kac

公式三位量子力学的重要奠基人(a)

沃纳.海森堡(b)

埃尔温.薛定谔(c)

保罗.狄拉克CUEB2026年7月4

日71

/

111路径积分与

Feynman-Kac

公式路径积分的引入与狄拉克符号背景：

金融数学中的

Feynman-Kac

公式源自量子力学的路径积分。物理设定：

假设一维粒子在初始时刻

ti

处于位置

xi，在最终时刻

tf

到达位置

xf。狄拉克符号表示：

最终时刻

tf

的波函数写为：ψ(xf

,

tf

)

:=

⟨xf

|ψ(tf

)⟩（或写为

⟨xf

|S(tf

)⟩，本节采用物理学家介绍路径积分时的常用写法）。CUEB2026年7月4

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111路径积分与

Feynman-Kac

公式

用通俗的语言理解费曼的路径积分通俗理解费曼路径积分：量子大合唱核心思想：没有唯一正确的路线在量子力学中，电子从点

A

到点

B

会同时走过所有可能的路径。每条路径都像一个“分身”，自带一个“权重”（概率幅，类似于波的振动幅度）。叠加原理：

相位相同则互相加强，相位相反则互相抵消。观测结果：

最终观测到的概率是所有路径权重叠加后的“总振动幅度”的平方。这如同无数条路径的“分身”同时跳舞，观测结果是这场“集体舞蹈”的最终效果。CUEB2026年7月4

日73

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111路径积分与

Feynman-Kac

公式

用通俗的语言理解费曼的路径积分经典极限与路径积分的本质为什么宏观物体有确定轨迹？经典轨迹（如最短路径）附近的路径权重往