量子计算与金融第2章 金融学与量子力学的渊源

量子计算与金融QuantumComputingand

Finance第二章

金融学与量子力学的渊源CUEB2026年7月4

日1

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105Contents1金融学与量子力学的联系2金融数学建模基础3金融随机分析基础4金融资产价格与收益率建模5从投资组合与自融资假定到BSM的PDE形式6偏微分方程与Fokker-Planck方程7Feynman-Kac公式与资产定价8Fokker-Planck方程与Feynman-Kac公式的统一CUEB2026年7月4

日2

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105目录—

第一部分1金融学与量子力学的联系当代金融学发展概述量子力学对金融学发展有潜移默化的影响2金融数学建模基础基础金融问题从最简单的债券价格说起利率为常数利率随时间变化衍生品知识从欧式期权说起影响欧式期权价格的因素CUEB2026年7月4

日3

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105目录—

第二部分34金融随机分析基础布朗运动与扩散过程常见的布朗运动伊藤公式伊藤积分Ornstein-Uhlenbeck过程Vasicek模型CIR模型金融资产价格与收益率建模5随机利率模型股票价格与股票收益率的建模第一代股票模型第二代股票模型第三代股票模型从投资组合与自融资假定到BSM的PDE形式投资组合与自融资假定BSM公式的偏微分方程形式全面理解BSM偏微分方程CUEB2026年7月4

日4

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105目录—

第三部分67偏微分方程与Fokker-Planck方程Fokker-Planck方程吸收边界与反射边界常见的状态受限情形Feynman-Kac公式与资产定价Feynman-Kac方程：从概率视角到PDE视角与BSM

PDE的联系及推广8Fokker-Planck方程与Feynman-Kac公式的统一两个方程的基本设定与算子形式伴随算子CUEB2026年7月4

日5

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105金融学与量子力学的联系金融学与量子力学的联系CUEB2026年7月4

日6

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105金融学与量子力学的联系

当代金融学发展概述当代金融学发展：时代背景与全球化浪潮布雷顿森林体系解体与金融自由化20世纪70年代初，黄金与美元脱钩，全球全面进入信用货币时代。宽松的国际贸易与投融资环境促进资本跨境流动，掀起全球金融自由化浪潮。以美国华尔街为主导的全球金融秩序体系逐步建立。金融工具涌现与专业化发展金融工具与产品如雨后春笋般涌现，满足风险覆盖、资金匹配、财富增值等差异化需求。资产定价、风险管理、资本运作等细分环节步入专业化、精细化和科学化阶段。全球金融网络的形成跨国企业与银行“巨无霸”崛起，跨区域清算支付网络逐步成形。推动了物理IT网络、服务化虚拟网络、金融信息交互网络的全面构建。为90年代金融工程学（及量化金融学）走上历史舞台奠定坚实基础。CUEB2026年7月4

日7

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105金融学与量子力学的联系

当代金融学发展概述当代金融学发展：科学家涌入与金融工程崛起金融业对IT与技术的极致追求金融服务业在安全、速度、准确性方面的要求远高于其他行业。信息化进程水平、系统更新换代频率居各行业之首。跨界人才的“降维打击”竞争白热化与利润扁平化倒逼金融机构降本增效、精准管理。大量具有复合背景的工程师、数学家、物理学家涌入金融领域。利用前沿数学知识（随机分析、偏微分方程、数理统计）探索资产定价路径。标准化与算法化开发大量标准化金融产品定价公式，大幅缩短研发周期、降低成本。将数学公式转化为算法与程序代码，运行于交易所与金融机构系统中。科学家利用数学与计算机手段捕捉套利机会，创办对冲基金与金融科技公司，为2007年后量化对冲与金融科技产业全面崛起埋下伏笔。CUEB2026年7月4

日8

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105金融学与量子力学的联系

当代金融学发展概述当代金融学发展：BSM公式与资产定价的科学化“梦的起点”：Black-Scholes-Merton

(BSM)

公式痛点：BSM公式出现前，期权定价低效、不安全，高度依赖交易员主观判断（“拍脑袋”），存在严重信息不对称与道德风险。破局：BSM公式基本解决了欧式期权定价问题，确立了科学的定价基准。Feynman-Kac

分析框架的深远影响BSM公式背后的资产定价分析框架（Feynman-Kac公式/方程）逐渐被金融学者认知。为管理复杂金融产品提供科学分析手段，支撑估值、套利、投资与风险管理。促成全球金融监管机构共识的风险评价体系（如巴塞尔协议）。CUEB2026年7月4

日9

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105金融学与量子力学的联系

量子力学对金融学发展有潜移默化的影响量子力学与金融学的跨界桥梁两大核心数学工具在量化投资、风险管理和资产定价领域，Fokker-Planck方程与Feynman-Kac公式是两大核心工具。它们不仅提供数学分析框架，更在金融学与量子力学之间建立了深刻关联。量子力学奠基人的物理思维注入马克斯·普朗克

(Max

Planck)：量子力学先驱，提出能量量子化假说，揭示微观世界离散性。理查德·费曼

(Richard

Feynman)：量子力学创始人之一，发明路径积分，革新量子电动力学，最早提出“量子计算”概念。跨学科生命力量子计算的算法思想持续启发金融科技、量化金融等前沿研究。物理学家的开创性工作为金融研究注入了量子化视角，使人类能用更精密的数学工具探索市场的混沌与秩序。CUEB2026年7月4

日10

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105金融学与量子力学的联系

量子力学对金融学发展有潜移默化的影响Fokker-Planck方程：概率密度演化与普朗克方程本质描述随机系统中概率密度演化的偏微分方程。连接随机过程动态效应（随机微分方程）与概率密度的桥梁。在金融领域的应用广泛建模资产价格的动态行为（股票价格、利率、汇率变化等）。描述金融资产价格的随机特性、扩散特性甚至离散跳跃特性。与量子力学的深邃联系金融从业者将价格视为随机过程，从概率密度角度考虑其随时间的演化。这种建模思想与量子力学中描述微观粒子概率幅演化的薛定谔方程建立了“神奇”的数学联系。CUEB2026年7月4

日11

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105金融学与量子力学的联系

量子力学对金融学发展有潜移默化的影响Feynman-Kac公式：路径积分与费曼公式本质与灵感来源偏微分方程与随机过程期望值之间的桥梁。核心思想：将方程的解表示为随机路径的加权平均。灵感直接来自费曼的路径积分理论

(Path

Integral)，由数学家马克·卡茨迁移至金融领域。金融建模范式的彻底改变将金融变量演化视为所有可能路径的加权平均（权重由随机过程动态决定）。转化为风险中性期望

(Risk

Neutral

Expectation)：每条可能路径对应一个收益场景，期权价值为所有场景的概率加权平均。应用场景与优势广泛应用于期权定价（尤其擅长路径依赖型衍生品如亚式期权）、信用风险模型。以量子力学思维处理金融市场的非线性问题，特别是涉及时间倒向的定价问题。CUEB2026年7月4

日12

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105金融学与量子力学的联系

量子力学对金融学发展有潜移默化的影响两位量子力学的创始人：普朗克与费曼(a)

马克斯.普朗克

(b)

理查德.费曼图:

Fokker-Planck方程与Feynman-Kac公式的创始人CUEB2026年7月4

日13

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105金融学与量子力学的联系

量子力学对金融学发展有潜移默化的影响总结：自然科学与社会科学的方法论共鸣跨界产物的深远意义Fokker-Planck方程和Feynman-Kac公式作为量子力学与金融学的跨界产物，极大推动了衍生品定价、风险管理等金融领域的进步。方法论的深刻共鸣揭示了自然科学（量子物理）与社会科学（金融学）在底层数学逻辑与方法论上的高度一致性。普朗克的“离散/量子化”视角与费曼的“路径积分”全局视角，为理解金融市场的随机性、非线性和复杂性提供了降维解析工具。未来展望这种学科交融不仅解决了历史遗留的定价难题，更在量子计算时代焕发新生。未来或将催生更多颠覆性的量子金融模型与技术，重塑金融工程的底层逻辑。CUEB2026年7月4

日14

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105金融数学建模基础金融数学建模基础CUEB2026年7月4

日15

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105金融数学建模基础

基础金融问题金融世界的基本“原子”：债券与股票会计学视角下的基本要件在西方金融学中，债券和股票是构成金融世界的两个基本“原子”。会计恒等式：资产（A）=

负债（L）+

净资产（E）。债券与负债紧密关联；股票（Equities）与净资产相关。两者是构成资产负债表的两大核心要件。价格演化的数学描述差异债券价格

(Bt)：利率是影响其价格的最重要因素。若视利率为常数

r，可用简单的常微分方程（ODE）表示：dBt=

rBtdt股票价格：数学描述更为复杂，需引入随机过程概念（如维纳过程/布朗运动）来刻画其不确定性。CUEB2026年7月4

日16

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105金融数学建模基础

基础金融问题第三类证券：衍生品（Derivative）的两大特征特征一：蕴含“派生”之意（价值衍生）英文

Derivative

在微积分中意为“导数”，体现其价值“衍生”于其他资产之上。价值完全取决于对应的标的物资产（Underlying

Asset，如股票、债券、汇率、利率、股指，甚至其他衍生品）。典型案例：欧式期权（European

Option）是最常见的衍生品，其标的物通常为股票。特征二：具有被合成和复制的特性（组合复制）衍生品（尤其是期权）可被视为一种能够由基础资产（股票和债券）组成的投资组合（Portfolio）所复制（Replicate）的金融产品。CUEB2026年7月4

日17

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105金融数学建模基础

基础金融问题衍生品定价的核心思路与研究框架基于两大特征的定价逻辑推演从“价值衍生”出发（标的物建模）：核心问题：如何精确描述和建模标的物资产的价格动态？Feynman-Kac公式是当代金融资产定价与金融学的基石，提供了从标的动态到衍生品价格的转化桥梁。从“组合复制”出发（市场机制假设）：引出自融资（Self-financing）、无套利（No-arbitrage）、市场完备（MarketCompleteness）等核心概念，为定价提供严密框架。当代金融研究的两大核心命题如何对标的物的价格进行科学建模？如何基于无套利原则对衍生品进行精准定价？CUEB2026年7月4

日18

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105金融数学建模基础

从最简单的债券价格说起债券价格建模：常数利率下的ODE与金融学含义常微分方程（ODE）的构建假设债券价格为

Bt，期限为

T

（t

∈

[0,

T

]），无风险连续复利利率为常数r。债券价格的ODE形式：dBt

=

rBtdt。金融学含义的深度解析定义价格增量：dBt

:=

Bt+dt

−

Bt。变形得到变化率：

Bt+dt−Bt

=

rdt，即

dBt

=

rdt。Bt Bt经济学解释：债券价格的瞬时相对变化率，严格等于无风险利率乘以时间的微小变化。这从数学上印证了利率是决定债券价格的最主要因素。CUEB2026年7月4

日19

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105金融数学建模基础

从最简单的债券价格说起债券价格建模：连续复利公式的严谨数学推导分离变量与积分求解过程对

ODE

dBt

=

rdt

两边在

[0,

T

]

区间进行积分：Bt等式左边（价格项）：BTB0

1

Bt∫︂ (︃ )︃dBt=lnBT−

lnB0=lnBTB0(︃ )︃等式右边（时间项）：∫︂Trdt=r(T−0)=

rT0联立求解：lnBT(︃ )︃BTB0 B0=

rT

=⇒ =exp(rT)

=T 0⇒B=Bexp(rT

)最终得到债券连续复利公式：

Bt=

B0ert。CUEB2026年7月4

日20

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105金融数学建模基础

从最简单的债券价格说起债券价格建模：连续复利与离散复利的极限关系从离散计息到连续计息的微积分过渡假设将时间区间

[0,

T

]

均匀分为

n

等份。nTn定义每期的离散利率为

r

:=

r

，当

n

→

∞

时，limn→∞

nr=

0。离散复利公式经过

n

期复利计算后，债券终值为：(︃Bn=(1+

rn)nB0

= 1

+rT

n)︃nB0连续复利极限推导由初等微积分中的重要极限知识可知：lim(rn+1)n=

limn→∞ n→∞(︃rT

n+

1)︃n=

erT数学上完美证明：当计息频率趋于无穷大时，离散复利

Bn

收敛于连续复利

Bt

=

B0ert。CUEB2026年7月4

日21

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105金融数学建模基础

从最简单的债券价格说起利率随时间变化的ODE建模与均值回归特性利率非常数时的常微分方程放宽常数假设，令利率为随时间变化的

rt。t t′ drtdtt构建ODE：dr

=

c(r

−

µ)dt，或写为导数形式

r

:= =

c(r−

µ)。积分求解过程∫︁t0t 0 s两边求积分：r

=

r

+

c (r−

µ)ds求解该一阶线性常微分方程，最终得到解析解：rt

=

µ

+

ect(r0

−

µ)均值回归（Mean

Reversion）特性关键参数

c：当

c

<

0

时，随着时间

t不断增大，指数项

ect

→

0。经济学意义：利率

rt

最终会趋近于长期均衡水平

µ。符合现实中利率具有向长期均值回归的宏观经济特征。CUEB2026年7月4

日22

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105金融数学建模基础

从最简单的债券价格说起确定性ODE的局限性与随机利率模型的引入常微分方程（ODE）的本质局限ODE

仅能刻画确定性系统中变量的演化规律。将现实金融市场中的利率视为完全确定的变量是不合理的，忽略了市场波动等随机因素。合理做法：引入随机过程与SDE必须将利率看作随机过程，此时债券价格和利率无法再用简单的ODE描述。必须引入条件期望和随机微分方程（SDE）等高级数学工具。经典的随机短期利率模型Ornstein-Uhlenbeck

(OU)

模型

/

Vasicek

模型CIR

(Cox-Ingersoll-Ross)

模型延伸应用：外汇市场中汇率的建模通常也都可以直接借鉴上述利率随机建模的思路与框架。CUEB2026年7月4

日23

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105金融数学建模基础

衍生品知识欧式期权的基本概念与分类期权的两种基本类型看涨期权

(Call

Option)：赋予持有人在特定时间以特定价格买入资产的权利。看跌期权

(Put

Option)：赋予持有人在特定时间以特定价格卖出资产的权利。欧式期权

(European

Option)

的核心特征行权限制：不能提前行权，仅能在到期日

T

执行。关键要素：标的物资产

(St)、行权价/执行价格

(K)。选择权本质：持有人拥有权利而非义务，可根据市场情况决定是否行权。CUEB2026年7月4

日24

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105金融数学建模基础

衍生品知识欧式看涨期权的收益结构与数学描述到期时刻

T

的收益逻辑当

ST

>

K

时：行权，按

K

买入价值

ST

的资产，获利

ST

−

K。当

ST

≤

K

时：放弃行权，收益为

0。到期价值的数学表达CT=max(ST−K,

0)严谨性修正：引入随机过程视角标的物价格

St

是随机过程（如几何布朗运动）。期权价值

Ct

也是随机过程。更准确的表述应包含期望算子：CT

=

E[max(ST

−

K,

0)]。CUEB2026年7月4

日25

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105金融数学建模基础

衍生品知识欧式看涨期权的定价公式与时间价值考虑时间价值的定价公式假设无风险利率

r

为常数，t

∈

[0,

T

]

时刻的期权价值为：Ct

=

e−r(T

−t)E[max(ST

−

K,

0)]引入期望

E(·)

的原因：卖方需在

t

时刻给出确定性报价

Ct。初始时刻

t0

=

0

的定价C0=e−rTE[max(ST−K,

0)]概率密度函数法求解若已知条件概率密度

p(S0|ST

=

y)，则：C0=e−rT

∫︂max(y−

K,

0)p(S0|ST=

y)dyy∈Ω关键难点：参数选择必须保证概率密度反映公允性（即金融学中的风险中性测度）。CUEB2026年7月4

日26

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105金融数学建模基础

衍生品知识欧式期权价格的影响因素五大核心影响因素标的物价格

(St)：影响最为直接和显著。行权价

(K)：决定期权的内在价值基准。无风险利率

(r)：影响资金的时间价值和折现因子。到期时间

(T

−

t)：决定时间价值的大小。波动率

(Volatility)：客观存在但难以直接观测，衡量标的资产价格的不确定性。CUEB2026年7月4

日27

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105金融数学建模基础

衍生品知识看跌-看涨平价公式

(Put-Call

Parity)公式表达Pt

=

Ke−r(T

−t)

−

St

+

Ct其中

Pt

为看跌期权价格，Ct

为看涨期权价格。核心意义与应用资产合成与复制：揭示了期权、股票与债券之间的平价关系。复制策略示例：购买一份无风险债券

+

一份欧式看涨期权

-

抛出现货股票

=

合成一份欧式看跌期权。分析工具：为分析行权价、利率、时间等因素对期权价格的影响提供直观指引。定价桥梁：结合

BSM

公式与

Feynman-Kac

公式，可由

C0

推导出

P0

的定价公式。CUEB2026年7月4

日28

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105金融随机分析基础金融随机分析基础CUEB2026年7月4

日29

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105金融随机分析基础

布朗运动与扩散过程标准维纳过程（布朗运动）的定义若随机过程

{Wt}∞t=0

满足以下四条性质，则称其为标准维纳过程（即布朗运动）：增量的独立性：对任意

s

<

t，增量

Wt

−

Ws

独立于之前的过程{Wu,

0

≤

u

≤

s}。增量的正态性：对任意

t

>

s，Wt

−

Ws

∼

N

(0,

t

−

s)（均值为0，方差为t

−

s）。t路径的连续性：W

关于时间

t

几乎必然连续（t

→

s

时，a.s.t sW−−→W

）。初始状态为零：W0

=

0（或

P

(W0

=

0)

≡

1）。注：本书中“布朗运动”与“维纳过程”视为同一概念。CUEB2026年7月4

日30

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105金融随机分析基础

布朗运动与扩散过程标准维纳过程的核心特性

(1/2)积分与微分定义∫︁t0积分形式：W:= dW=W−

Wt s t 0微分形式：dWt

:=

limn→∞(Wti+1

−

Wti

)基本统计特性E(dWt)

=

0，var(dWt)

=

dt，dWt

∼

N

(0,

dt)E(Wt)

=

0，var(Wt)

=

t，Wt

∼

N

(0,

t)变差特性（Itˆo

微积分基石）二次变差：[W

]

:=

⟨W,

W

⟩

=

limt t n→∞∑︁n−1i=0ti+1ti2(W −W)≡

tItˆo

乘法规则：(dWt)2

=

dt，(dt)2

=

0，dWt

·

dt=

0高阶项：当

p

>

2

时，(dWt)p

=

0，(dt)p

=

0CUEB2026年7月4

日31

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105金融随机分析基础

布朗运动与扩散过程标准维纳过程的核心特性

(2/2)自协方差与相关系数cov(Ws,Wt)=

min{s,

t}, ρ(Wt,

Ws)

=

√︄min(s,

t)max(s,

t)矩的性质E(Wt)

=

0,

E(W

2)

=

t,

E(W

3)

=

0,

E(W

4)

=3t2,

E(W

5)

=

0t t t t概率密度函数及其与PDE的关系PDF：ρ(x,t)

=√1

2πtexp

−x22t(︂ )︂对应的偏微分方程（热传导方程）：∂ρ 1

∂2ρ=∂t 2

∂x2初值条件

(IC)：p(x,

t

=

0)

=

δ(x)（DiracDelta

函数）CUEB2026年7月4

日32

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105金融随机分析基础

常见的布朗运动常见布朗运动变体

(1/2)1.

起点非零的标准布朗运动∫︂tWt=

w0

+ dWs0带漂移项的布朗运动SDE

形式：dXt

=

rdt

+

dWt积分形式（起始点

x0）：Xt

=

x0+

rt

+

Wt算术布朗运动

(Arithmetic

Brownian

Motion)SDE

形式：dXt

=

rdt

+

σdWt积分形式（起始点

x0）：Xt

=

x0+

rt

+

σWtCUEB2026年7月4

日33

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105金融随机分析基础

常见的布朗运动常见布朗运动变体

(2/2)广义算术布朗运动SDE

形式：dXt

=

rtdt

+

σtdWt其中

rt,

σt

为随时间变化的连续确定函数（非常数）。t 0 s∫︁ ∫︁t t0 0积分形式：X

=

x

+ r

ds

+ σ

dWs s几何布朗运动

(Geometric

Brownian

Motion,

GBM)SDE

形式：dSt

=

µStdt

+

σStdWt积分形式（s

<

t）：t s122[︃(︃ )︃S=

S

exp µ

−

σ (t

−

s)

+

σ(Wts−W

)]︃重要性：BSM

模型中标的物价格的标准建模工具。CUEB2026年7月4

日34

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105金融随机分析基础

伊藤公式伊藤公式

(Itˆo’s

Formula)

的一般形式随机过程的函数变换设随机过程

Xt

满足

SDE：dXt

=

a(Xt,

t)dt

+

b(Xt,

t)dWt定义新过程

Ft

=

f

(Xt,

t)，其中

f

为光滑函数。伊藤公式表达式∂tt∂X

2∂f

∂f

1

2t tdFt

= +a(X

,

t) +b(X,

t)2∂X∂

f2t[︃ ]︃⏞⏞漂移项⏟⏟(Drift)∂ft

[︃ ]︃⏞扩散项

(⏟D⏟iffusion)⏞dt

+

b(Xt,

t)

∂X

dWt核心意义随机微积分中的“链式法则”，但比经典微积分多出一项二阶修正项2 ∂X221b2∂f

。t该项源于布朗运动的二次变差特性

(dWt)2

=

dt，是金融数学建模的基石。CUEB2026年7月4

日35

/

105金融随机分析基础

伊藤公式伊藤公式应用：求解几何布朗运动

(GBM)问题背景股票价格

SDE：dSt

=

µStdt

+

σStdWt目标：求

St

关于

t

和

Wt

的显式解析解。求解步骤变量代换：令

xt

=

ln

St

=

f

(St,

t)。∂t∂Stt2∂f

∂f

−1∂f∂S2t−2t计算偏导数：

=

0,

=

S

,

=

−S

。代入伊藤公式：t122(︃ )︃dx

= µ

−

σ dt+

σdWt两边积分（系数为常数）：t 0122(︃ )︃x−

x

= µ

−

σ t

+

σWt还原变量：得到

GBM

解析解t s122[︃(︃ )︃t sS=

S

exp µ

−

σ (t

−

s)

+

σ(W

−

W

)]︃CUEB2026年7月4

日36

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105金融随机分析基础

伊藤公式鞅过程与伊藤公式的联系鞅过程

(Martingale

Process)

定义若

E[|Mt|]

<

∞

且

E[Mt|Fs]

=

Ms

(t

>s)，则

Mt

为鞅。标准维纳过程

Wt

是典型鞅；起始点非零则不是。测度变换：通过改变概率测度可使非鞅过程变为鞅，这是风险中性定价的理论基础。伊藤公式中的鞅性判定当伊藤公式中

dt

项系数恒为零时：∂f ∂f 12

∂2f∂t

∂X

2

∂X2t t+

a +

b ≡

0∫︁tt 0 s

∂f0 ∂Xss此时

F

=

F

+ b(X

,

s) dW

为鞅过程。该性质正是

Feynman-Kac

公式成立的前提条件。CUEB2026年7月4

日37

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105金融随机分析基础

伊藤积分伊藤积分的定义与离散化基础标准布朗运动的离散化时间分割：0

=

t0

<

t1

<

·

·

·

<

tn

=

t，∆t

=

t/n。增量定义：∆Wi+1

=

Wti+1

−

Wti

∼

N

(0,

∆t)，独立同分布。伊藤积分

(Itˆo

Integration)

定义∫︂t0n−1∑︂n→∞

i=0It

:= f

(Ws,s)dWs=

lim f

(Wti

,

ti)(Wti+1

−

Wti

)核心特征：不可预见型

(Non-Anticipation)被积函数取左端点值

f

(Wti

,

ti)，而非右端点或中点。在

ti

时刻，f

(Wti

,

ti)

已知，但增量

∆Wi+1

未知且服从正态分布。因此伊藤积分本身是一个随机过程，充满随机性。CUEB2026年7月4

日38

/

105金融随机分析基础

伊藤积分伊藤积分

vs

黎曼积分

vs

Stratonovich积分黎曼积分

(Riemann)完全可预料型(Total-Anticipation)取右端点：f

(Wti+1

,

ti+1)仅用滞后信息，确定性积分伊藤积分

(Itˆo)不可预见型

(Non-Anticipation)取左端点：f

(Wti

,

ti)金融学标准选择（适应信息流）1Stratonovich

积分部分可预料型(Partial-Anticipation)取中点或两端平均：2

[f

(Wti+1

)

+

f

(Wti

)]物理学常用，金融学极罕见CUEB2026年7月4

日39

/

105金融随机分析基础

伊藤积分伊藤积分的四大核心性质∫︁t0线性性：I

±

J

= [f±g]dW

，t t s t∫︁t0cI

= cf

dWs∫︁t0t ss鞅性：I

= f

(W

,

s)dW

是鞅过程。∫︁ts s10 22t例：

W

dW

=

(W

−

t)

可验证为鞅。t零期望：E[I

]

=

E[︂∫︁t0s s]︂f

(W,

s)dW =

0伊藤等距

(Itˆo

Isometry)：tE[I2]=

E[︄(︃∫︂t)︃2]︄[︃∫︂tf

dWs =

E f

2ds]︃0 0本质：将随机积分的二阶矩转化为普通黎曼积分，是计算方差的核心工具。∫︁t0s2存在性条件：

|f(W,s)|ds<

∞（平方可积/有界）CUEB2026年7月4

日40

/

105金融随机分析基础

伊藤积分伊藤等距应用实例：方差计算t∫︁t0αss问题：求随机过程

Y

= σe

dW

的方差。求解过程期望为零：E[Yt]

=

0（伊藤积分性质③）t tt2 22t方差等于二阶矩：var(Y

)

=

E[Y

]

−

[E(Y

)]

=

E[Y

]应用伊藤等距：E(︃∫︂t0[︄ )︃2]︄[︃∫︂t0σeαsdWs =

E (σeαs)2ds]︃计算普通积分：∫︂t0σ22α= σ2e2αsds

= (e2αt−

1)[︂∫︁t0结论：var

σeαss]︂22αo 2αtdW = (e −

1)CUEB2026年7月4

日41

/

105金融随机分析基础

Ornstein-Uhlenbeck过程OU过程：定义与金融应用概览OU过程定义SDE：dZt

=

−aZtdt

+

σdWt，Z0

=1，a

>

0,

σ

>

0连续时间版本的

AR(1)

过程，具有均值回归特性。金融领域五大应用场景利率建模：Vasicek模型的基础，捕捉利率围绕长期均值波动。资产价格模拟：固定收益证券、商品价格（均值回归特征）。风险管理：模拟组合收益的均值回归，评估极端损失。期权定价：随机波动率模型中描述波动率动态。配对交易：建模相关证券价差的均值回归套利。CUEB2026年7月4

日42

/

105金融随机分析基础

Ornstein-Uhlenbeck过程OU过程的解析解与基础性质利用伊藤公式求解设中间变量

Ft

=

eatZt，代入伊藤公式得

dFt

=

σeatdWtt 0∫︁t0积分后还原：Z

=

e

Z

+

σ

e−at −a(t−s)dWs关键统计特性无条件期望：E(Zt)

=

e−atZ0tσ22a−2at无条件方差：var(Z

)

=

(1

−

e

)∞稳态分布：t

→

∞

时，Z ∼N

0,σ22a

(︂ )︂T t(︂条件分布：Z

|Z

=

z

∼

N

e−a(T

−t)σ22az, [1−

e−2a(T

−t)])︂注意：OU过程本身不是鞅，但

Ft

=

eatZt

是鞅。CUEB2026年7月4

日43

/

105金融随机分析基础

Ornstein-Uhlenbeck过程OU过程公式汇总表Zt

=

e−atZ0

+

σ

∫︁

t

e−a(t−s)dWs2a

(︂

)︂项目表达式微分形式dZt=−aZtdt+

σdWt积分形式0无条件期望e−atZ0无条件方差σ2(1−

e−2at)2a协方差σ2(e−a|t−s|−

e−a(t+s))2a条件期望e−a(T

−t)z条件方差σ2

[1

−

e−2a(T

−t)]条件PDF2Ne−a(T−t)z,σ

[1−e−2a(T−t)]2aCUEB2026年7月4

日44

/

105金融随机分析基础

Ornstein-Uhlenbeck过程广义OU过程及其离散化等价性一维广义OU过程

12t t√︁dX

=

−

β(t)X

dt

+

β(t)dWt12√︁当β(t)

≡

a, β(t)

≡

σ

时退化为标准OU过程。多维广义OU的时间离散化等价性（AI/金融前沿）12t t√︁tdX=−β(t)X

dt

+ β(t)dW⇔x

|xt

t−1√︁∼N(1−

βxt

t−1

t,β

I)其中

βt

=

β(t)∆t。证明要点t12欧拉离散化：x

=

(1

−

β

)xt t−1√+ β

εt

t

1 212 2t t t√小步长近似：(1

−

β

)

≈

1

−

β

⇒

1

−

β

≈ 1−

βt说明OU过程的离散版本即为

VAR(1)模型。CUEB2026年7月4

日45

/

105金融随机分析基础

Ornstein-Uhlenbeck过程Vasicek模型：OU过程的利率建模扩展SDE形式drt

=

a(b

−

rt)dt

+

σdWtrt：短期利率；b：长期均值；a：均值回归速度；σ：波动率当

θ

=

0（即

b

=

0）时退化为标准OU过程典型参数：b

≈

0,

a

≈

0.5,

σ

≈

0.1求解策略：线性平移变换令

Zt

=

Yt

−

θ/a，则

dZt

=

−aZtdt

+

σdWt（标准OU）直接套用OU结论后还原变量核心结果−at期望：E(Y

)

=

e

Yt 0aθ

−at+

(1

−

e

)tσ22a−2at方差：var(Y

)

=

(1

−

e

)条件PDF：T t(︂Y|Y=y∼N

e−a(T

−t)θay+(1−

e−a(T

−t)σ22a), [1−

e−2a(T

−t)])︂CUEB2026年7月4

日46

/

105金融随机分析基础

Ornstein-Uhlenbeck过程CIR模型：避免负利率的平方根扩散SDE形式drt

=

κ(θ

−

rt)dt

+

σ√rtdWt与OU/Vasicek的关键区别：扩散项含

√rt，保证利率非负。与OU过程有深层数学联系（Marc

Yor经典工作）。矩的性质−βt期望：E(r

|r

)

=

e

rt

0

0βα

−βt+

(1

−

e

)2o −βt

−2βt

ασ22β2方差：var(r

|r

)

=

r

(e

−

e

)

+

(1

−

e

)−βt

2t

0 0

β分布特性（非正态！）rt+T

服从缩放的非中心卡方分布

(Non-Central

χ2)自由度：4α/σ2；非中心参数：2crte−βTPDF涉及第一类修正Bessel函数

Iq

(2√uv)CUEB2026年7月4

日47

/

105金融随机分析基础

Ornstein-Uhlenbeck过程CIR模型的稳态分布与总结稳态分布

(t

→

∞)渐近服从Gamma分布：β˜α˜α˜−1˜ ˜f(r∞;α˜,β)=Γ(α˜)r∞

exp(−βr∞)形状参数：α˜

=

2κθ/σ2速率参数：β˜

=

2κ/σ2三大短期利率模型对比OU过程：均值回归基准，无长期均值漂移项。Vasicek：OU

+

长期均值，允许负利率，解析解简洁。CIR：Vasicek

+

平方根扩散，保证非负，分布为非中心卡方/Gamma。下一章预告：金融资产价格与收益率建模——将上述随机分析工具应用于利率与股票价格的实际建模。CUEB2026年7月4

日48

/

105金融资产价格与收益率建模金融资产价格与收益率建模CUEB2026年7月4

日49

/

105金融资产价格与收益率建模

随机利率模型一般均值回归利率模型框架统一SDE形式βt t tdr=a(b−r)dt+σr

dWta：均值回归速度；b：长期利率水平σrβ：瞬时标准差（每单位时间

dt）t经典特例对比模型参数条件特点与局限CIRβ=

1/2利率非负；

债券/期权有封闭解；

期限结构描述不足Vasicekβ=

0解析解简洁；

允许负利率（2019年欧洲曾出现）；期限结构不准确Ho-Leeb=β=

0能拟合期限结构；无均值回归；可能为负几何均值反转过程（部分文献定义）：drt

=

κ(θ

−

log

rt)rtdt

+

σrtdWtCUEB2026年7月4

日50

/

105金融资产价格与收益率建模

随机利率模型Ho-Lee修正模型及其特例体系Ho-Lee修正模型Ⅱ（通用框架）′ βdr=a(t)[b(t)−r]dt+σr

dWt t t t其中

b′(t)=

θ(t)

+

b

为时变长期利率，a(t)

为时变回归速度。a(t)优势：参数自由度增加，可精确拟合现时利率期限结构与波动率期限结构，提升衍生品定价能力。四大特例t′1/2修正CIR：β

=

1/2，dr

=

a(t)[b

(t)

−

r

]dt

+

σr

dWt t tt修正Vasicek：β

=

0，drt

=

a(t)[b′(t)

−

rt]dt

+

σdWt修正简化Ho-Lee：drt

=

a(t)dt

+

σ(t)dWtBlack-Derman-Toy：对数利率形式

dlnr=

θ(t)−∂ln

σ(t)∂tt[︃ ]︃ln

r dt+

σ(t)dWtCUEB2026年7月4

日51

/

105金融资产价格与收益率建模

股票价格与股票收益率的建模第一代模型：几何布朗运动

(GBM)连续时间SDE与解析解dSt=µStdt+

σStdWtσ2[︃(︃ )︃]︃St=

Su

exp µ

−

2 (t

−

u)

+

σ(Wt

−

Wu)

, t>

u条件分布：给定

Su，St

服从对数正态分布。离散化：对数价格与随机游走令

xt

=

ln

St，取

u

=

t

−

1，zt

=

Wt

−

Wt−1

∼

N

(0,

1)

i.i.d.xt

=

xt−1

+

m

+

σzt，其中

m

=

µ

−

σ2/2即

xt

为单位根过程/随机游走四个等价陈述股价服从GBM股价服从对数正态分布对数价格为单位根过程对数收益率

rt

∼

N

(m,

σ2)CUEB2026年7月4

日52

/

105金融资产价格与收益率建模

股票价格与股票收益率的建模第一代模型的现实缺陷GBM的核心假设与现实矛盾尖峰肥尾：实际收益率分布尾部远厚于正态分布，低估极端事件（“黑天鹅”）概率。2t−τ t波动聚集：cov(r2

,

r

)

=

0̸ ，GBM无法解释波动的时变聚类现象。杠杆效应：收益率分布不对称，下跌时波动率往往大于上涨时。跳跃现象：股价存在突发性暴涨暴跌，GBM样本路径连续，无法刻画。实务警示BSM公式基于GBM，存在严重模型风险。实际量化工作中不应直接使用GBM进行股票建模或衍生品定价。CUEB2026年7月4

日53

/

105金融资产价格与收益率建模

股票价格与股票收益率的建模第二代模型：随机波动率

(SV)模型核心思想：将常数波动率

σ

替换为时变随机过程

σt

=

√vt，以解释尖峰肥尾与波动聚集。双因子SDE系统{︄√dS=µSdt

+ vS

dWt t t

t

s,tdvt

=

k(θ

−

vt)dt

+

σv

√vtdWv,t其中

corr(dWs,t,

dWv,t)

=

ρ。参数金融含义µ：漂移项；k

>

0：方差均值回归速度θ

>

0：方差长期均值；σv

>

0：方差的波动率ρ

<

0：刻画杠杆效应（价格下跌⇒波动率上升）离散替代方案：GARCH模型（广义自回归条件异方差），σ2t+1=

ω

+

αr2

+

βσ2t tCUEB2026年7月4

日54

/

105金融资产价格与收益率建模

股票价格与股票收益率的建模第三代模型：Merton跳跃-扩散模型核心思想：在GBM基础上叠加泊松跳跃过程，刻画股价突变。SDE形式dStSt−=

(µ

−

D)dt

+

σdW

+

(J

−

1)dNt t ttN

：泊松过程，P

[N

(t)

=

k]

=(λt)

ek

−λtk!t，E(N)=

λtt i J2JJ

：跳跃幅度，ln

J

∼

N

(µ,

σ

)

i.i.d.，且

J

⊥

Nt tSt−

：左极限（c`adl`ag过程，“左极右连”）积分形式与金融含义σ2(︃ )︃Nt∑︂i=1lnSt=lnS0+µ−D

−

2 t+

σWt

+ ln

JiGBM连续演化

+

Nt

次随机跳跃∑︁iln

J

为复合泊松过程跳跃幅度分布可扩展：均匀、双指数、双Rayleigh等CUEB2026年7月4

日55

/

105金融资产价格与收益率建模

股票价格与股票收益率的建模完整版第三代模型：JDSV

(跳跃-扩散-随机波动)整合三大特性：跳跃

+

扩散

+

随机波动率⎧⎨tStdS

√=(r−

λκ)dt

+ v

dWt s,t+

U(ζ)dNt⎩dvt

=

k(θ

−

vt)dt

+

σv

√vtdWv,t关键设定说明corr(dWs,t,dWv,t)=

ρt跳跃幅度：U

(ζ)dN

=∑︁dNti=1U(ζ

)，i ii.i.d.ζ2ζζ ∼N(µ,σ

)Jt

−

1

:=

U

(ζNt

)，U

(ζi)

>

−1ζ

分布可选：正态、均匀、双指数、双Rayleigh、双均匀实务指引顶级量化机构采用含跳跃的高级模型（JDSV）忽略波动率时变性与跳跃特性

⇒

错误定价

⇒

投资决策失误股价、对数价格、收益率是“一体三面”，建模时需统一考虑CUEB2026年7月4

日56

/

105从投资组合与自融资假定到BSM的PDE形式从投资组合与自融资假定到BSM的PDE形式CUEB2026年7月4

日57

/

105从投资组合与自融资假定到BSM的PDE形式

投资组合与自融资假定投资组合构建与自融资策略定义投资组合设定市场资产：无风险债券

Bt，股票

St组合价值：Vt

=

αtSt

+

βtBt投资策略集合：ht

:=

{ht

=

(αt,

βt),

t

∈

R+}自融资

(Self-Financing)

条件Bt+dtdβt+St+dtdαt=

0(2-1)其中

dαt

:=

αt+dt

−

αt，dβt

:=

βt+dt

−

βt。金融学含义在

t

+

dt

时刻调整持仓时，购买股票的支出完全来自卖出债券的收入（或反之）。若

αt+dt

−

αt

>

0（买入股票），则必有

βt+dt

−

βt

<

0（卖出债券）。组合价值变动仅由资产价格变动驱动，无外部资金注入或抽出。CUEB2026年7月4

日58

/

105从投资组合与自融资假定到BSM的PDE形式

投资组合与自融资假定自融资条件下的组合价值微分伊藤公式展开

dVtdVt

=

Stdαt

+

Btdβt

+

αtdSt

+

βtdBt+dαtdSt+

dβtdBt（二阶交叉项

dα2,

dβ2,

dS2,

dB2

均为零）t t t t自融资假定的关键推论(2-2b)Stdαt+

Btdβt+

dαtdSt

+

dβtdBt

≡

0“干净”的组合增量表达式dVt=αtdSt+

βtdBt(2-2a)dVt

仅由

dSt

和

dBt

线性构成，系数为当前持仓比例。此结论是推导BSM

PDE的必要前提。CUEB2026年7月4

日59

/

105从投资组合与自融资假定到BSM的PDE形式

BSM公式的偏微分方程形式市场完备性与复制定价思想理想金融市场的三要素股票：dSt

=

rStdt

+

σStdWt（几何布朗运动）债券：dBt

=

rBtdt（无风险）衍生品：Ct

=

C(t,

St)市场完备性任意两种资产可复制第三种资产。风险仅来自股票的

σStdWt，衍生品用于对冲该风险。复制条件Ct

=

Vt 且dCt=

dVt即衍生品价值与复制组合的价值及其增量在每一时刻完全相等。CUEB2026年7月4

日60

/

105从投资组合与自融资假定到BSM的PDE形式

BSM公式的偏微分方程形式BSM

PDE的完整推导过程(2-3)Step

1:

组合增量代入资产动态dVt

=

(rαtSt

+

rβtBt)dt

+

σαtStdWtStep

2:

对衍生品应用伊藤公式dCt

=2

22∂C

∂C

1

∂

CrSt∂S+∂t+2σSt

∂S2(︃ )︃∂Cdt

+

σStdWt∂S(2-4)Step

3:

系数匹配（dWt

项）∂C

∂CσαtSt=∂SσSt=⇒αt=

∂SStep

4:

求解

βt∂CCt=αtSt+βtBt=⇒βtBt=Ct−∂S

StStep

5:

系数匹配（dt

项）并整理rCt−∂S

St(︃ )︃2∂C

∂C

1

2

∂2C= +

σ

St∂t

2

∂S2CUEB2026年7月4

日61

/

105从投资组合与自融资假定到BSM的PDE形式

BSM公式的偏微分方程形式BSM欧式看涨期权PDE及定解条件PDE方程（含股息率

D）(︃1

∂CC

=r ∂tt+(r

−

D)S +

σ

S2

2t2∂C

1

∂

C∂S

2

∂S2)︃, t∈[0,T

)(2-5a)终值条件

(Terminal

Condition)(2-5b)C(T,

ST

)

=

max{ST

−

K,

0}边界条件

(Boundary

Conditions)(2-5c)C(t,

St

→

0)

=

0

（标的价格为零，期权价值为零）C(t,

St

→

∞)

≈

St

（深度实值时，期权与股票完全联动）CUEB2026年7月4

日62

/

105从投资组合与自融资假定到BSM的PDE形式

全面理解BSM偏微分方程BSM

PDE的对数变换与三类子方程对数价格变换：令

x

=

ln

St，C˜(x,

t)

:=

C(St,

t)∂C˜

∂2C˜

∂C˜˜=

A2 +

A1 +

rC∂t ∂x2 ∂x221

2其中A=−σ

，121

2A=−(r−D−σ

)。PDE分解为三类经典方程反应方程：∂tv

=

rv

⇒

v(x,

t)

=

ertv0(x)（指数增长/折现）传导方程：∂tv=

A1∂xv

⇒

v(x,

t)

=

v0(x

+

A1t)（波形平移，A1

为漂移速度）扩散方程：∂tv

=

A2∂xxv（热传导型平滑效应）时间方向的关键区别标准扩散问题：时间正向

(0

→

T

)，A2

>

0221

2BSM定价问题：时间倒向

(T

→

0)，故

A

=

−

σ

<

0CUEB2026年7月4

日63

/

105偏微分方程与Fokker-Planck方程偏微分方程与Fokker-Planck方程CUEB2026年7月4

日64

/

105偏微分方程与Fokker-Planck方程金融数学中的两大核心PDE操纵金融理论的两大抛物线方程Fokker-Planck方程（Kolmogorov

Forward

Equation）：描述概率密度的时间演化Feynman-Kac方程（Kolmogorov

Backward

Equation）：连接SDE与PDE定价历史渊源Fokker

(1914)、Planck

(1917)：源于布朗运动研究Kolmogorov：严格数学定义，区分前向与倒向问题Feynman：路径积分思想，量子力学与金融的桥梁核心区别Fokker-Planck：前向方程，已知初始分布求未来密度

Feynman-Kac：倒向方程，已知终值条件求当前价格CUEB2026年7月4

日65

/

105偏微分方程与Fokker-Planck方程

Fokker-Planck方程多维与一维Fokker-Planck方程多维扩散过程SDEdXt

=

a(Xt,

t)dt