小学五年级数学《除数是整数的小数除法（“添0继续除”与“商0占位”）知识清单》

小学五年级数学《除数是整数的小数除法（“添0继续除”与“商0占位”）知识清单》一、核心概念建构：除数是整数的小数除法的深层意义与运算基石（一）小数除法的本质溯源小数除法的意义与整数除法的意义完全相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算【重要】。在本课“打扫卫生”的情境中，买笤帚花费18.9元，数量是6把，求单价，就是已知总价（积）和数量（一个因数），求单价（另一个因数）。这不仅是运算形式的过渡，更是数量关系分析能力的延续。学生需要深刻理解，当总数（被除数）不是整数时，平均分的过程依然可以进行，只是分的单位更细了【基础】。（二）本课知识定位：小数除法教学的分水岭《打扫卫生》是北师大版五年级上册第一单元《小数除法》的第二课时，它在第一课时《精打细算》（除数是整数，除到被除数末尾刚好除尽，商是有限小数且无需补0）的基础上，实现了两大关键性突破：1.突破“余数终结”的定势：当除到被除数末尾仍有剩余时，不再像整数除法那样写余数，而是利用小数的基本性质（在商的十分位、百分位上添0，将被除数的剩余部分看成更小的计数单位），将除法进行到底【难点】。2.突破“商0”的认知盲区：当被除数的某一位不够除时（如整数部分比除数小，或商的十分位、百分位上不够商1），必须用0来占位，这极大丰富了学生对“0”在运算中作用的认识【高频考点】。（三）核心思想方法：转化思想与数形结合本课贯穿始终的数学思想是“转化”。即把未知的小数除法转化为已知的整数除法步骤，再将结果通过小数点定位还原为小数。例如，计算18.9÷6，先按189÷6计算，再通过商的小数点与被除数小数点对齐来还原。而在处理余数“3”时，将其转化为“30个0.1”或“300个0.01”，更是对“细分单位”这一数学思想的直观体现。二、方法体系精析：“添0继续除”与“商0占位”的算理与算法（一）情形一：除到被除数末尾有余数，需要“添0继续除”【核心案例】买6把笤帚花了18.9元，每把笤帚多少元？【模型建立】单价=总价÷数量→18.9÷6【估算定位】18÷6=3（元），0.9元平均分成6份，每份约0.15元，所以结果应在3.15元左右，大于3元。【规范竖式与算理深度解析】3.15＿＿＿＿＿6)18.918←第一步：整数部分18÷6，商3，表示3个一，写在个位。━━━9←第二步：落下十分位上的9，表示9个0.1。9÷6，商1，写在十分位。6表示1个0.1，即0.1元（1角）。━━━30←第三步：【核心步骤】余数3表示3个0.1，在商的十分位已除过后，余下3个0.1，可看成30个0.01。在余数3的后面添上0（即30个0.01），继续除。3030个0.01÷6=5个0.01，商5，写在百分位。━━━0【算理阐释】这里的“添0”不是数学上的凭空添加，而是根据小数的基本性质（小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变），将余数转化为更小的计数单位（从十分位细化到百分位、千分位……），使除法得以继续，直至除尽（或达到要求的精确度）。每一步的商都对应着不同数位上的数值，体现了“计数单位细分”的过程。【结论】18.9÷6=3.15（元）。答：每把笤帚3.15元。（二）情形二：被除数的整数部分不够除，需要“商0占位”【核心案例】买4个簸箕花了26元，每个簸箕多少元？【模型建立】26÷4【估算定位】26÷4，4×6=24，4×7=28，所以结果应在6和7之间，是一个6点几的小数。【规范竖式与算理深度解析】6.5＿＿＿＿＿4)2624←整数部分26÷4，商6，写在个位。表示每个簸箕6元。━━━2←余下2元。【重点】此处整数部分除完，应在商的个位6的右下角点上小数点，与被除数的小数点对齐。20←【核心步骤】将余数2元看成20个0.1元（即20角），在余数2后面添0，继续除。＿＿＿＿＿4)26.024━━━2020←20个0.1÷4=5个0.1，商5，写在十分位。━━━0【特别提示】在竖式计算中，为了保持数位对齐，我们通常在被除数26的后面补上小数点和一个0，写作“26.0”，这不改变原数的大小，却为“添0继续除”提供了清晰的书写格式。【结论】26÷4=6.5（元）。答：每个簸箕6.5元。（三）情形三：商的中间（某一位）不够商1，需要“商0占位”【核心案例】霸王龙玩具每盒12个，共12.6元。平均每个多少元？【模型建立】12.6÷12【估算定位】12÷12=1，所以结果应该略大于1元。【规范竖式与算理深度解析】1.05＿＿＿＿＿＿12)12.612←整数部分12÷12，商1，写在个位。━━━06←落下十分位上的6，表示6个0.1。6个0.1÷12，不够商1个0.1。【核心步骤】此时必须在商的十分位上写“0”占位，表示十分位是0。60←将6个0.1看成60个0.01，在6后面添0，继续除。＿＿＿＿＿＿12)12.6012━━━06060←60个0.01÷12=5个0.01，商5，写在百分位。━━━0【难点辨析】很多学生容易忽略十分位上的“0”，直接商“1.5”，导致结果扩大了10倍。必须强调：哪一位不够除，就在那一位上商0。这个0起着“占位”的关键作用，保证了商每个数位的正确性。【结论】12.6÷12=1.05（元）。答：平均每个1.05元。（四）情形四：被除数的整数部分小于除数，商的最高位是0【核心案例】剑龙玩具每盒24个，共18元。平均每个多少元？【模型建立】18÷24【估算定位】18元平均分给24个，不够1元，所以结果应小于1，是一个纯小数。【规范竖式与算理深度解析】0.75＿＿＿＿＿＿24)18【核心步骤】整数部分18（个位）比24小，不够商1个（一）。必须在商的个位写“0”占位，并在0的右下角点上小数点。180←将18看成180个0.1（即在18后面添上小数点和一个0），用180个0.1÷24。＿＿＿＿＿＿24)18.00168←180个0.1÷24，商7个0.1，7写在十分位。表示0.7元。━━━120←余下12个0.1，看成120个0.01，继续除。120←120个0.01÷24=5个0.01，商5，写在百分位。━━━0【结论】18÷24=0.75（元）。答：平均每个0.75元。三、重点难点突围：易错点诊断与规范养成（一）高频易错点清单【非常重要】1.“0”的漏商：在情形三和情形四中，学生极易忘记商0占位，如将12.6÷12算成1.5，将18÷24算成7.5（漏掉个位0和十分位，直接当整数除法算）。错误根源在于对位值原则理解不深，认为“没有就不写”，而不知“没有必须用0占位”【高频考点】。2.“添0”时机混乱：在没有明确细分单位前，随意添0，导致数位错乱。例如在计算18.9÷6时，个位除完余0，就立即在个位后面添0，而不是落下十分位的9。3.小数点遗忘或点错位置：在竖式计算过程中，忘记点商的小数点；或者在被除数移动了小数点的除法中（后续课时），仍按原小数点位置对齐【基础】。4.余数处理不当：认为整数除法必须有小于除数的余数，而不能接受用小数形式将除法进行到底。例如认为18.9÷6应等于3余0.9，而不是3.15。（二）解题步骤规范（SOP）【标准流程】1.一列：正确列出竖式，注意被除数是小数时，其小数点位要清晰。2.二看：先看整数部分，够除商在个位；不够除商0占位（商0点小数点），再看下一位。3.三除：按照整数除法法则去除。4.四定：商的小数点必须与被除数的小数点对齐。5.五续：除到被除数末尾有余数，在余数后面添0继续除；商的某一位不够商1，在该位商0占位后，继续看下一位。（三）计算法则精炼总结“除数是整数的小数除法，按照整数除法法则去除。商的小数点要和被除数的小数点对齐。如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。如果整数部分不够商1，要先在个位商0占位，点上小数点后再继续除。”【重要】四、考点考向透视：题型解析与能力提升（一）基础计算与改错题【典型题例】用竖式计算并验算：30÷445.9÷642÷8【考点】直接考查“添0继续除”的基本技能。【易错警示】30÷4，注意整数部分30够除，商7后余2，要在2后添0，在商的7后点小数点再继续除，得7.5。42÷8同理，得5.25。45.9÷6要注意个位除完后落下十分位9，商7后余3，再添0，得7.65。【常见题型】“森林医生”改错题，呈现学生漏商0、小数点错位等典型错误，要求学生诊断并修正【高频考点】。（二）理解算理的选择题与填空题【典型题例1】计算18.9÷6时，竖式中余数“3”后面添0继续除，这个“30”表示（）。A.30个一B.30个0.1C.30个0.01D.30个0.001【解析】正确答案为B或C，取决于添0的数位。在18.9÷6的竖式中，第一次添0是在十分位余3之后，这个3表示3个0.1，添0后变成30个0.01。此题精准考查了对算理的理解。【典型题例2】在算式5.46÷13的竖式中，个位商0后，被除数十分位上的4落下来，表示（）个（）。【解析】整数部分5比13小，商0占位。落下十分位4，合在一起是54，表示54个0.1。（三）解决实际问题的应用题【热点】【典型情境】课本配套练习：15个长方体礼盒用去16.2m彩带，20个正方体礼盒用去19m彩带。平均每个长方体礼盒和每个正方体礼盒各用去多少米彩带？【考查方式】将小数除法与生活实际结合，考查学生从情境中提取信息、正确列式并计算的能力。【解答要点】1.长方体：16.2÷15列竖式时注意：整数部分16够除，商1余1，落下十分位2得12，12÷15不够商1，在商的十分位写0占位（注意这是关键的占位0），然后将12看成120个0.01，继续除得8，商为1.08。2.正方体：19÷20整数部分19<20，个位商0点小数点，19看成190个0.1，190÷20商9（在十分位）余10，10后面添0看成100个0.01，100÷20商5（在百分位），商为0.95。【易错点】长方体的计算中，十分位的“0”极易漏掉，导致结果错为1.8。（四）综合拓展与思维训练【思考题】已知一个数的4倍是26，求这个数。（列式计算）【本质】此题是26÷4的另一种表述，将除法意义与文字叙述结合，考查逆向思维。五、跨学科视野与知识拓展（一）数学与生活伦理：劳动教育融合“打扫卫生”这一情境不仅是一个数学问题的载体，更是学校劳动教育的缩影。购置清洁工具、计算费用，本身就是班级自主管理的一部分。在教学中，可以引申探讨如何合理采购、节约班费，培养学生的主人翁意识和对公共财物的爱护之心，体现“五育并举”的教育理念。（二）数学与历史：除法的文化源流【拓展视野】除法的使用历史悠久。在我国先秦时期的《筭数书》中，就有关于除法的多种表示和计算方法。古人使用算筹来进行除法运算，其原理与现代除法竖式有异曲同工之妙，都是通过逐次减去除数的倍数来求得结果。现行使用的除法符号“÷”是由瑞士数学家雷恩（JohannHeinrichRahn）在1659年所著《代数》一书中首次使用，后经翻译传播，逐渐被广泛接受。这个符号像一条分数线把两个圆点分开，形象地表示了平均分的过程【基础文化素养】。六、分层练习与能力检测（模拟题库）（一）基础巩固层1.直接写得数：2.4÷2=4.8÷4=3.6÷3=6.3÷3=2.列竖式计算：12.3÷220.7÷536.3÷330÷4（二）综合应用层1.妈妈买了5千克苹果，共花了32.5元，每千克苹果多少元？2.一辆汽车行驶36千米耗油4.5升，平均每千米耗油多少升？（得数保留两位小数，初步渗透近似数概念）3.一个长方形的面积是28.8平方米，长是12米，宽是多少米？（三）思维拓展层1.已知甲数的小数点向左移动一位就等于乙数，且甲、乙两数的和是28.6，求甲、乙两数各是多少？【解题思路提示】此题将小数点移动规律与和倍问题结合。甲数小数点左移一位得乙数，说明甲数是乙数的10倍。将乙数看作1份，甲数就是10份，总份数11份对应28.6，先求乙数，再求甲数。2.在算式9.□5÷5中，如果商的最高位在个位，□里最小可以填（）；如果商的最高位在十分位，□里最大可以填（）。【解题思路提示】本题考查商的位数判断。商的最高位在个位，说明整数部分9.□5中的整数部分（9和□构成的数）必须大于或等于5，显然9已经大于5，所以无论□填