小学三年级数学乘除法应用综合辨析导学案

小学三年级数学乘除法应用综合辨析导学案

一、教材与学情分析

（一）教材分析

【基础】本课内容选自小学数学三年级上册第六单元“多位数乘一位数”与第七单元“长方形和正方形”之后，是建立在学生已经初步掌握了乘除法意义、表内乘除法、多位数乘一位数以及有余数除法基础上的综合应用课。【核心】本课并非简单的新知讲授，而是对乘除法意义、数量关系及其应用的一次系统性梳理、辨析与提升。它在整个小学数学课程体系中占据着承上启下的关键位置，既是低年级表内乘除法应用的自然延伸，也是后续学习两位数乘两位数、三位数除以一位数、乃至四则混合运算解决问题的重要基石。【重要】教材编排至此，旨在引导学生跳出单一运算的框架，从更深层次理解除法是乘法的逆运算，能够在复杂的现实情境中，准确区分何时使用乘法、何时使用除法，并能够解释选择运算方法背后的道理，从而培养学生的运算能力、推理意识和模型意识。

（二）学情分析

【基础】三年级学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们已经掌握了基本的乘除法计算技能，但对于乘除法内在的关联性、条件性理解还不够深刻。在面对实际应用问题时，学生常常出现“见多就乘、见少就除”的机械模仿，或者不能根据问题情境中“每份数、份数、总数”的关系进行正确建模。【难点】具体表现为：能正确计算，但无法解释为什么用乘法或除法；能在单一情境下正确列式，但在信息复杂、需要辨析的题目中容易混淆；对“平均分”两种不同情形（等分除与包含除）的区分不够清晰；对于“归一”和“归总”问题的结构特征及解题策略的掌握还不够稳固。【非常重要】因此，本课的设计核心在于创设丰富且对比强烈的现实情境，引导学生在分析、比较、辩驳中，主动建构乘除法问题的解决模型，实现从“会算”到“会想”，再到“会说（道理）”的质的飞跃。

二、教学目标与核心素养

（一）教学目标

1.【基础】结合具体情境，进一步理解乘除法的意义，掌握乘除法应用题的基本结构和数量关系（每份数×份数=总数，总数÷份数=每份数，总数÷每份数=份数）。

2.【重要】能够综合运用乘、除法知识解决生活中的实际问题，经历“阅读与理解—分析与解答—回顾与反思”的完整解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。

3.【核心】通过题组对比、变式辨析、合作交流等活动，能根据问题特征准确判断用乘法还是除法，并清晰地表达自己的思考过程，初步形成模型意识和推理意识。

4.【热点】在解决与“归一”、“归总”相关的实际问题中，体会解题策略的多样性，感受数学与生活的密切联系，增强应用意识。

（二）核心素养指向

本课着重培养学生的【数学眼光】：能够从现实情境中抽象出数量关系，发现乘除法问题；【数学思维】：能够运用分析、综合、比较、概括等方法进行合情推理与演绎推理，厘清解题思路；【数学语言】：能够用准确、简洁的语言描述数量关系，表达自己的解题过程与依据。

三、教学重难点

（一）教学重点

【重要】在具体情境中，准确分析乘除法应用题的数量关系，能根据问题正确选择运算方法列式解答。

（二）教学难点

【核心】【难点】深入理解乘法与除法之间的互逆关系，能够灵活辨析在“归一”和“归总”问题中，第一步求什么、用什么方法，以及第二步如何根据问题选择运算。

四、教学准备

多媒体课件（包含超市购物、工程队修路、校园文化布置等情境图）、实物投影仪、学习任务单（含基础练习、变式练习、拓展练习）。

五、教学实施过程

【非常重要】本环节将严格遵循“三阶段”认知规律，通过多层次、多维度、螺旋上升的活动设计，力求让学生在辨析中建构，在应用中深化。

（一）激活经验，情境导入——初感“关系”

1.创设情境：课件出示学校“红领巾爱心超市”的场景。货架上整齐地摆放着各种文具：笔记本每本6元，钢笔每支8元，橡皮每块2元，文具盒每个15元。

2.提供信息：小华带了48元钱，准备为班级采购一些物品。

3.提出问题（一）：如果全部买笔记本，可以买多少本？

（1）【基础】学生独立思考后，指名列式：48÷6=8（本）。

（2）追问：为什么用除法？你是怎么想的？

（3）【基础】引导学生说出：要求可以买多少本，就是求48里面有几个6，所以用除法。这是“包含除”的模型。

4.提出问题（二）：如果买4支钢笔，需要多少钱？

（1）【基础】学生列式：8×4=32（元）。

（2）追问：为什么这次用乘法？

（3）【基础】引导学生说出：要求4支钢笔的总价，就是求4个8元是多少，所以用乘法。这是“求几个几”的乘法模型。

5.提出问题（三）：小华用剩下的16元钱买了同样的橡皮，正好用完。他买了多少块橡皮？

（1）学生尝试解答，并说明理由。

（2）【重要】预设学生回答：16÷2=8（块）。因为总价16元，每块2元，求能买多少块就是求16里面有几个2。

6.核心辨析：【高频考点】教师引导对比三个问题：“同学们，同样是买东西，为什么有的用乘法，有的用除法？乘法和除法之间有什么联系吗？”

（1）组织小组讨论，引导学生初步感知：乘法是求“几个几”的总和；而除法是已知总数和每份数求份数（包含除），或者已知总数和份数求每份数（等分除）。乘法和除法是互为逆运算的关系。

7.揭示课题：今天我们就来上一节“乘除法应用综合辨析课”，看看谁能成为辨析小能手，准确找到解决问题的那把钥匙。（板书课题：乘除法应用综合辨析）

（二）题组对比，深度辨析——建构“模型”

【非常重要】本环节是本课的核心，通过精心设计的题组，让学生在比较中主动建构乘除法问题的模型。

1.第一组：基本结构的辨析（“等分除”与“包含除”的对比）

（1）情境呈现：为了美化教室，同学们分成3个小组做纸花。第一组做了36朵，第二组做了40朵，第三组做了32朵。

（2）问题A：【基础】如果把这些花平均插在6个花瓶里，每个花瓶插几朵？

[1]学生独立分析、解答。教师巡视，收集典型解法。

[2]汇报交流：先求总朵数（36+40+32=108朵），再求每瓶几朵（108÷6=18朵）。

[3]重点追问：第一步是求和，第二步为什么用除法？引导学生说出：这是把108朵花“平均分成”6份，求每份是多少，是“等分除”。

（3）问题B：【重要】如果每个花瓶插9朵，需要几个花瓶？

[1]学生对比分析：这个问题和刚才有什么不同？

[2]汇报交流：总朵数还是108朵，但这次是求108朵花，每9朵插一瓶，能插几瓶？也就是求108里面有几个9。

[3]【核心】引导学生明确：这是“包含除”。虽然都用除法，但问题A是“平均分（等分）”，问题B是“包含分”，意义不同。一个是求“每份数”，一个是求“份数”。

（4）【高频考点】即时练习：学校买来45个篮球。

A.平均分给5个年级，每个年级分得几个？（等分除）

B.每个年级分9个，可以分给几个年级？（包含除）

学生口头列式并说明选择除法的理由。

2.第二组：互逆关系的辨析（乘除法对比）

（1）情境呈现：承接上面做纸花的情境。如果第一组做的花，每6朵扎成一束。

（2）问题A：【基础】第一组做的花可以扎成几束？

[1]列式：36÷6=6（束）。提问：这个算式表示什么？

（3）问题B：【重要】如果将这些花束送给3个班，平均每个班分得几束？

[1]学生尝试：先求总束数（6束），再平均分（6÷3=2束）。

（4）问题C：【核心辨析】如果已知第一组做了36朵，扎成6束，求每束有几朵？

[1]列式：36÷6=6（朵）。学生很快完成。

[2]教师提问：请大家仔细观察A、B、C三个算式以及刚才的乘法问题。你们发现了什么？

[3]小组讨论后汇报：A、B、C其实都在围绕36、6、6这三个数量进行变换。当求“总朵数（36）”时，用乘法（每份数×份数）；当求“每份数（6）”或“份数（6）”时，都用除法。深刻印证了“除法是乘法的逆运算”。（板书：总数=每份数×份数，每份数=总数÷份数，份数=总数÷每份数）

3.第三组：两步计算“归一”与“归总”的辨析

【难点】【热点】本环节聚焦学生易混淆的两步应用题模型。

（1）情境一：归一问题（求总数）

课件出示：学校开展节约用水活动，3个星期节约用水21吨。

问题A：【基础】照这样计算，7个星期一共可以节约多少吨水？

[1]学生独立审题，尝试解答。

[2]展示两种典型思路：

第一种：先算1个星期节约多少吨？21÷3=7（吨）。再算7个星期：7×7=49（吨）。

第二种（对于部分学优生）：21÷3×7。

[3]核心追问：“照这样计算”是什么意思？为什么要先求“1个星期节约的吨数”？引导学生明确：这是解决“归一”问题的关键，先求出“单一量”。

问题B：【重要】照这样计算，要节约49吨水，需要几个星期？

[1]学生尝试解答。

[2]汇报：先求单一量：21÷3=7（吨）；再求49里面有几个7：49÷7=7（个）。

[3]【核心辨析】教师引导学生对比A、B两题：“这两道题有什么相同点和不同点？”

相同点：第一步都要先求出“单一量”（每份数），都是用除法计算。

不同点：第二步，问题A是求“几个单一量是多少”，用乘法（求总数）；问题B是求“总数里面有几个单一量”，用除法（求份数）。

（2）情境二：归总问题（求单一量）

课件出示：工程队修一条路，如果每天修8米，9天可以修完。

问题C：【基础】如果要求6天修完，平均每天要修多少米？

[1]学生独立分析，尝试解答。

[2]汇报：先求这条路的总长度：8×9=72（米）。再求平均每天修多少米：72÷6=12（米）。

[3]追问：为什么第一步用乘法，第二步用除法？

问题D：【重要】如果平均每天修12米，需要几天修完？

[1]学生对比解答：8×9=72（米），72÷12=6（天）。

[2]【核心辨析】引导学生对比C、D两题：“这两题又有什么奥秘？”

相同点：第一步都要先求出“总量”（总数），都是用乘法计算。

不同点：第二步，问题C是已知份数（6天），求每份数（每天修多少米），用除法；问题D是已知每份数（每天12米），求份数（几天），也用除法，但意义不同。

（3）【非常重要】归纳建模：

教师引导学生系统梳理：

①归一问题：核心是“找单一量”。从“几个几”求出“一个几”（用除法）。然后，求总数（几个几）用乘法，求份数（总数里有几个单一量）用除法。

②归总问题：核心是“找总量”。从“几个几”求出“总数”（用乘法）。然后，已知份数求每份数，用除法；已知每份数求份数，也用除法。

教师板书关键词：【归一（找单一量，先除）】→求总数（再乘），求份数（再除）；【归总（找总量，先乘）】→求每份数（再除），求份数（再除）。

（三）分层练习，巩固应用——强化“模型”

【重要】本环节设计三个层次的练习，旨在让不同水平的学生都能得到发展，进一步巩固和深化对乘除法模型的理解。

1.基础练习：我会判

（1）出示题目，不要求计算，只判断“用什么方法”，并简单说明理由。

[1]小明看一本故事书，每天看12页，4天看完。这本故事书有多少页？（乘法，求4个12）

[2]把24个苹果平均分给6个小朋友，每人分几个？（除法，等分除）

[2]有15个梨，每5个装一盘，可以装几盘？（除法，包含除）

[4]修一条72米长的水渠，已经修了8天，还剩16米没修。平均每天修了多少米？（先减后除，但本质是两步问题，引导学生辨析）

对于第4题，组织学生讨论：这道题和前面学习的归一问题有什么不同？它没有“照这样计算”的条件，不能直接求单一量，需要先求出已修的长度。这为后续学习更复杂的问题做铺垫。

2.变式练习：我会选（关键信息辨析）

【高频考点】呈现一组信息复杂、需要辨析的题目。

（1）题目一：3只猴子5天吃了30个桃子。照这样计算，5只猴子3天能吃多少个桃子？

[1]先让学生说说这道题的“麻烦”之处。两个条件都在变。

[2]小组合作探究，鼓励学有余力的学生尝试解决。对于大部分学生，引导他们思考：无论怎么变，都需要先抓住什么是不变的？——“一只猴子一天吃的桃子数”是固定不变的（单一量）。

[3]师生共同分析：先求一只猴子一天吃几个：30÷3÷5=2（个）。再求5只猴子3天吃的个数：2×5×3=30（个）。此题旨在拓展学生对“归一”问题的认识，单一量可以是“双归一”。

（2）题目二：一辆卡车从A城开往B城，前3小时行了120千米。照这样的速度，还要行2小时才能到达B城。A、B两城相距多少千米？

[1]引导学生审题：“照这样的速度”是关键。问题是求总路程，总路程包括已行的和未行的。

[2]学生分析：先求速度（单一量）：120÷3=40（千米/时）；再求总时间：3+2=5（小时）；最后求总路程：40×5=200（千米）。

[3]【难点】对比分析：为什么这里求总路程用乘法，而不用再除？强调：速度（单一量）×时间（总量）=总路程（总数），这是一个典型的乘法模型。让学生明白，“归一”之后，是根据问题选择乘法还是除法，取决于要求的是总数还是份数。

3.拓展练习：我会编（开放性问题）

【热点】呈现一个算式：24÷4=6（个），请学生根据这个算式，编一个生活中的数学故事。

（1）学生独立思考后，在全班交流。

（2）预设学生可能编出：

[1]妈妈买了24个苹果，平均分给4个小朋友，每个小朋友分得6个。（等分除）

[2]有24个同学做操，每4人一排，可以站6排。（包含除）

[3]小丽有24元钱，买一种笔正好花完，每支笔4元，她买了6支。（包含除）

（3）【核心素养】教师引导：为什么同一个算式，可以表示这么多不同的故事？因为它们都符合“总数÷每份数=份数”或者“总数÷份数=每份数”的数学模型。通过编题，加深了学生对除法意义和模型的理解。

（四）总结提升，内化迁移——升华“模型”

1.课堂总结：同学们，通过今天这节“综合辨析课”，你有什么收获？

（1）引导学生从知识、方法、情感三个维度进行总结。

（2）知识上：进一步明确了乘除法的意义和它们互逆的关系，掌握了乘除法应用题的基本数量关系（每份数×份数=总数及其变形）。

（3）方法上：解决乘除法问题，关键是要找准“每份数”、“份数”和“总数”，理清题目要求的是哪一个量。对于两步应用题，如果是“归一”问题，关键要先找“单一量”（先除）；如果是“归总”问题，关键要先找“总量”（先乘）。

（4）情感上：数学就在我们身边，只要细心观察，认真分析，就能用数学知识解决很多实际问题。

2.内化迁移：【重要】教师出示一个更具挑战性的问题，作为本节课思维提升的延伸，不要求当堂全部解答，而是鼓励课后思考。

“小红读一本故事书，前4天读了28页。照这样的速度，她又读了6天，正好把书读完。这本书一共有多少页？小红读完这本书一共用了多少天？”

此题旨在引导学生将“归一”和“归总”的思想融合，部分条件需要间接求出，是对学生综合运用能力的一次挑战。

（五）当堂检测，反馈矫正——检验“模型”

【基础】为了及时了解学生对本课知识的掌握情况，设计5分钟左右的当堂检测。

1.基础题：学校买了6盒羽毛球，每盒8个，一共花了240元。

（1）平均每个羽毛球多少元？

（2）如果每个羽毛球降价2元，现在买6盒需要多少元？

2.变式题：小明和小华进行打字比赛。小明3分钟打了96个字，小华2分钟打了72个字。谁打字的速度快？

3.思考题（选做）：王师傅前3小时生产了24个零件。照这样计算，生产64个零件需要几小时？

学生独立完成后，同桌互批，教师针对共性问题进行集中讲解，特别是第2题比较速度的题目，要引导学生明确必须先求“单一量”（每分钟打字个数），再比较。

六、板书设计

乘除法应用综合辨析

一、基本关系

总数=每份数×份数

每份数=总数÷份数（等分除）

份数=总数÷每份数（包含除）

二、两步模型

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