小学四年级数学上册核心知识清单：乘法与除法总复习

小学四年级数学上册核心知识清单：乘法与除法总复习一、数与运算：乘法与除法的基石【基础】（一）【基础】乘法与除法的意义1.乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算。如：125×8表示8个125相加的和是多少，也表示125的8倍是多少。2.除法的意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。如：1000÷125表示已知两个因数的积是1000，其中一个因数是125，求另一个因数是多少。除法是乘法的逆运算。（二）【基础】乘法与除法各部分的名称及关系1.乘法各部分的关系：因数×因数=积逆运算关系：积÷一个因数=另一个因数2.除法各部分的关系：被除数÷除数=商……余数（余数必须小于除数）逆运算关系：被除数=商×除数+余数（验算的基本依据）除数=（被除数余数）÷商商=（被除数余数）÷除数二、【高频考点】【核心技能】口算与估算（一）【重要】口算乘法1.两位数乘一位数（积在100以内）：利用数的组成，如23×3=20×3+3×3=60+9=69。核心是分解因数，转化为表内乘法。2.几百几十的数乘一位数：先按照表内乘法计算，再在积的末尾添上一个0。如310×2，先算31×2=62，再在末尾添上0，得。3.整十数乘整十数、整百数：如30×20，先算3×2=6，再看两个因数末尾共有2个0，就在积的末尾添2个0，得600。（二）【重要】口算除法（除数是整十数）91.想乘法算除法：这是最核心的算理。如80÷20，想（）个20是80，即20×（4）=80，所以商4。2.利用表内除法计算：将被除数和除数看作几个十。如80÷20，看作8个十除以2个十，得4。150÷30，看作15个十除以3个十，得5。【★易错警示】口算整十数除法时，要特别注意商的末尾不要多写或少写0。如300÷60，应想30个十÷6个十=5，而不是50。（三）【难点】估算策略1.乘法估算：两位数乘两位数的估算，把两个因数看作与它们接近的整十数，再口算。如59×103≈60×100=6000。三位数乘两位数的估算，可以把其中一个因数看作整百数或整百整十数。如402×18≈400×20=。2.除法估算：除数是一位数或两位数的除法估算，一般把被除数看作与它接近的整百数或几百几十数，再把除数看作与它接近的整十数，再口算。如83÷20≈80÷20=4；122÷30≈120÷30=4；4350÷68≈4200÷70=60910。【★易错警示】估算时要结合生活实际灵活处理，如在解决“需要多少个箱子”这类问题时，估算结果往往要采用“进一法”。三、【高频考点】【核心技能】笔算乘法（一）【重要】三位数乘两位数的笔算法则231.基本法则：相同数位对齐，从个位乘起。先用两位数个位上的数去乘三位数，乘得的积的末位与个位对齐。再用两位数十位上的数去乘三位数，乘得的积的末位与十位对齐。最后把两次乘得的积加起来。2.算理剖析：以145×12为例，12=10+2，145×12=145×2+145×10。竖式计算中，第二步的“145”实际上表示1450，末尾的0通常省略不写，所以积的末位要与十位对齐。（二）【难点】因数中间或末尾有0的乘法231.因数末尾有0的简便算法：先把0前面的数相乘，再看两个因数末尾一共有几个0，就在乘得的积的末尾添上几个0。【★易错警示】计算时不要忘记加0，也不能多写0。如160×30，先算16×3=48，因数末尾共有两个0，积为4800。2.因数中间有0的笔算：用第二个因数每一位上的数去乘第一个因数时，第一个因数中间的0也要乘，乘完后加上进位的数。【★易错警示】计算时容易漏乘0。如106×30，用十位上的3去乘106，得到的是318个十，即3180，中间的0必须参与运算。（三）【拓展】积的变化规律【必考】2371.规律表述：两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）几。2.规律深挖：若两个因数同时变化，积要乘（或除以）每次变化的倍数。即积的变化倍数=两个因数变化倍数的乘积。例如：两个因数都乘2，积就要乘4（2×2）。若一个因数乘m，另一个因数除以n（m、n均不为0），则积要乘m再除以n。3.应用价值：利用积的变化规律可以直接写出相关算式的结果，是简便计算和检验结果的重要依据。如已知12×48=576，可直接推出120×48=5760（一个因数乘10，积也乘10）。四、【高频考点】【核心技能】笔算除法（一）【重要】除数是两位数的除法的笔算法则2471.法则核心：高位除起，逐位试商。从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位数。如果前两位数比除数小，再试除前三位数。除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面。每求出一位商，余下的数必须比除数小。2.商的位数判断【必考】：被除数的前两位大于或等于除数，商的位数=被除数的位数1（如三位数除以两位数，商是两位数）。被除数的前两位小于除数，商的位数=被除数的位数2（如三位数除以两位数，商是一位数）。（二）【难点】试商与调商的方法91.四舍五入法试商：这是最常用的方法。“四舍”法试商（除数的个位是1、2、3、4）：把除数看作与它接近的整十数（舍去个位）。用整十数试商，由于把除数看小了，商可能偏大，需要调小。“五入”法试商（除数的个位是5、6、7、8、9）：把除数看作与它接近的整十数（向十位进一）。用整十数试商，由于把除数看大了，商可能偏小，需要调大。2.灵活试商技巧：同头无除商八九：如312÷39，被除数和除数最高位相同（同头），但被除数的前两位31小于除数39（无除），可以试商8或9。除数折半商四五：如248÷48，除数的前两位24是被除数前两位24的一半（折半），可以试商5。（三）【拓展】商不变的规律【必考】1261.规律表述：在除法里，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。2.规律延伸：被除数不变，除数乘几（0除外），商反而除以几。除数不变，被除数乘几（0除外），商也乘几。3.应用价值：简便计算：利用商不变的规律可以将除数转化为整十数或一位数，使计算简便。如1200÷25，可以转化为（1200×4）÷（25×4）=4800÷100=482。解决有余数的除法：当被除数和除数末尾同时去掉相同个数的0时，商不变，但余数会发生变化，余数要加上被去掉的0。如590÷60，利用商不变规律看作59÷6，商9余5，但实际的余数应该是506。【★易错警示】商不变，但余数跟着变。在简算过程中，被除数和除数同时缩小到原来的1/10，商不变，余数也缩小到原来的1/10，所以原来的余数要扩大10倍。五、【高频考点】常见的数量关系【应用】（一）【重要】价格问题：单价、数量、总价2571.核心公式：单价×数量=总价总价÷数量=单价总价÷单价=数量2.概念辨析：单价：每件商品的价钱。（如：每千克苹果5元，每个书包48元）数量：买了多少。（如：买了3千克，买了5个）总价：一共花的钱数。3.解题策略：解决问题时，先找准题目中的单价、数量和总价分别是什么，再根据关系式列式解答。如已知总价和数量求单价，用除法。（二）【重要】行程问题：速度、时间、路程2571.核心公式：速度×时间=路程路程÷时间=速度路程÷速度=时间2.概念辨析：速度：单位时间内所行的路程。（如：每小时行60千米，写作60千米/时，读作60千米每小时）【★易错警示】速度单位是复合单位，不能只写长度单位，必须包含时间单位310。时间：行驶所用的时间。路程：一共行驶了多少路。3.解题策略：分清已知量和未知量，选择正确的公式。如已知路程和时间求速度，用除法。六、【难点】易错点深度剖析与避坑指南（一）乘法易错点341.位置错乱：用两位数十位上的数去乘三位数时，积的末位没有和十位对齐，而是和个位对齐。纠错策略：牢记“用哪一位去乘，积的末位就和哪一位对齐”。2.进位遗忘：计算连续进位乘法时，漏加进位的数。纠错策略：养成标注进位的习惯，每乘完一位，立刻加上进位数。3.0的忽视：因数末尾有0时，忘记在积的末尾添上相应个数的0；因数中间有0时，漏乘0。纠错策略：明确算法原理，分步进行。（二）除法易错点4691.商的位置错误：如143÷22，前两位14不够除，商7应写在个位上，有时学生会错误地写在十位上。纠错策略：除到哪一位商就写在那一位上面，被除数前两位不够除，说明商是一位数，只能写在个位。2.余数大于除数：试商后，余数比除数大，说明商小了，但没有调商。纠错策略：计算每一步后，都要检查余数是否小于除数，如果余数≥除数，说明商小了，要调大。3.试商用错除数：试商时把除数看作整十数，但计算时却用整十数与商相乘。纠错策略：试商只是帮我们找商的范围，乘的时候一定要用原来的除数。4.商不变规律中余数的确定：被除数和除数末尾同时去掉0，商不变，但余数要添上相同个数的0。纠错策略：理解余数的意义，简算后的余数是相对于简化后的被除数而言的，要还原到原数。七、【核心思想】数学思想与方法渗透1.转化思想：这是贯穿本单元的核心思想。三位数乘两位数转化为两位数乘一位数和两位数乘整十数；除数是两位数的除法，通过“四舍五入”转化为除数是整十数的除法；利用商不变的规律将复杂计算转化为简单计算。2.数形结合思想：通过点子图、面积模型理解乘法算理；通过线段图理解行程问题中的数量关系。3.模型思想：提炼出“单价×数量=总价”、“速度×时间=路程”这两个数学模型，并能够应用到其他类似的生活情境中（如工作问题：工作效率×工作时间=工作总量）。4.函数思想：通过积的变化规律和商的变化规律，初步感知变量之间的依赖关系，一个量变化，另一个量也随之变化。八、【命题趋势】综合考点与题型预测1.口算与估算（基础题，占10%15%）：以直接写得数、在括号里最大能填几的形式出现，考查基本计算技能。2.笔算与验算（核心题，占20%25%）：列竖式计算，带的要验算。重点考查三位数乘两位数和除数是两位数的除法的计算法则和验算方法。3.变化规律的应用（必考题，占10%）：不计算，直接根据规律写出算式结果。如根据24×15=360，直接写出240×15、48×15的结果。4.填空题与判断题（综合题，占15%20%）：考查概念理解、算理掌握、易错点辨析。如：三位数乘两位数积可能是（）位数或（）位数；在除法算式□45÷45中，要使商是两位数，□里最小填（）。5.解决问题（应用题