《投影法绘制工程》-第三章

3.1点的投影3.1.1点的投影含义如图3-1所示，过空间一点A作H面的投射线，该投射线与投影面目的交点a，即为空间点A在H面的投影。3.1.2点的三面投影及投影规律

1．点的三面投影及投影规律点在三面投影体系中的投影规律：(1)点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴；正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴。

(2)点的水平投影至OYH轴的距离等于点的正面投影至OZ轴的距离，且均反映点到W面的距离。下-页

返回3.1点的投影2．位于投影面或投影轴上的点的投影如果点位于某投影面上，则它在该投影面上的投影与其本身重合，另外两个投影落在相应的投影轴上。如图3-4所示如果点位于某投影轴上，则点在该投影轴相应的两投影面内的投影与其本身重合，另一投影落在坐标原点上。3．根据点的两面投影，求它的第三面投影因为点的任何两个投影都可以确定点的空间位置，所以只要给出点的两面投影，就可以根据它的投影求出它的第三面投影。上-页

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返回3.1点的投影3.1.3两点的相对位置和重影点1．两点的相对位置判断两点的相对位置，即比较两点的左右、前后、上下的位置关系。根据点的坐标，x坐标反映左右，y坐标反映前后，z坐标反映上下。为了说明两个点的相对位置关系，通常先选定其中一点作为基准点，那么另一点即为比较点，判断比较点相对于基准点的位置。

2．重影点如果空间两点的某两个坐标相同，那么这两个点就位于某投影面的同一条投射线上，这两点在该投影面上的投影就重合，这两点称为该投影面的重影点。重合在一起的投影称为重影。重影中不可见的点应加括号表示。上-页

返回3.2直线的投影直线与其在各投影面上投影的夹角，称为直线与投影面的夹角，如图3-9所示。根据直线与投影面的相对位置不同，直线可分投影面的垂直线、投影面的平行线和一般位置直线。3.2.1投影面的垂直线

1．空间位置投影面垂直线垂直于某一投影面，因而平行于另外两个投影面。直线垂直于H面，称为铅垂线；直线垂直于V面，称为正垂线；直线垂直于W面，称为侧垂线。下-页

返回3.2直线的投影2．投影特性投影面垂直线在其所垂直的投影面上的投影积聚为一点。由于投影面垂直线与其他两个投影面平行，其上各点到相应的投影面距离相等，所以其他两面投影平行于相应的投影轴，并反映直线的实长。

3．读图直线只要有一面投影积聚为一点，它必然是投影面垂直线，且垂直于积聚投影所在投影面。各投影面垂直线的投影及投影特性见表3-1。上-页

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返回3.2直线的投影3.2.2投影面的平行线

1．空间位置投影面平行线平行于某一投影面，但倾斜于其余两个投影面。直线平行于H面，称为水平线；直线平行于V面，称为正平线；直线平行于W面，称为侧平线。2．投影特性投影面平行线在其平行的投影面内的投影是倾斜的，反映实长。该斜投影与投影轴的夹角反映投影面平行线对相应投影面的倾角的实形；其余两个投影平行于相应的投影轴。上-页

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返回3.2直线的投影3．读图一直线如果有一个投影平行于投影轴而另一投影倾斜时，它就是一条投影面平行线，平行于倾斜投影所在的投影面。各投影面平行线的投影及投影特性见表3-2。3.2.3投影面的一般位置直线1．一般位置直线的投影如图3-12所示，一般位置直线的投影有如下的特点．

(1)-般位置直线对各投影面都倾斜。直线对投影面的倾角，就是该直线和它在该投影面内投影的夹角。上-页

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返回3.2直线的投影(2)一般位置直线上各点到投影面的距离都不相等，所以一般位置直线在各投影面内的投影都倾斜于投影轴。

(3)一般位置直线对H、V、W面的倾角在投影面中都不反映实形。

2．一般位置直线的实长和倾角如前所述，投影面垂直线、投影面平行线在某一投影面内的投影总能反映实长及其对投影面的倾角，但一般位置直线在各投影面上的投影既不能反映它的实长，也不能反映直线对投影面的倾角。

1)直线对H面的倾角及其实长方法一如图3-13(b)所示上-页

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返回3.2直线的投影

方法二如图3-13(c)所示

2)直线对V面的倾角及其实长【作图】

方法一如图3-14(b)所示方法二如图3-14(c)所示上述利用构建直角三角形求解一般位置直线对投影面的倾角及其实长的方法，称为直角三角形法。可见，对于一般位置直线来说，要求一直线对某投影面的倾角，就以直线在该投影面内的投影为一直角边，以直线两端点到该投影面的距离差为另一直角边，构建直角三角形；直角三角形的斜边即为上-页

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返回3.2直线的投影所求一般位置直线的实长，斜边与该投影面投影的夹角即为所求一般位置直线对投影面的倾角。3.2.4直线上的点

1．直线上的点的投影特性(1)如果点在直线上，则点的投影必在直线的投影上，并符合点的投影规律。如图3-17所示

(2)点C分AB为AC和CB两段，点C的投影c也分ab为ac、cb两段。由于Cc平行于A，也平行于Bb，所以AC:CB=ac:cb，同理可得AC:CB=a'c’：c'b’=a”6”：6”c”，即直线上的点分线段的比例投影后不变。这称为直线上的点的定比性。上-页

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返回3.2直线的投影例3-7已知直线AB的两面投影，如图3-18(a)所示，试在直线上找到一点C，使得AC:CB=3:4，完成投影图。作图如图3-18(b)所示例3-8如图3-19(a)所示，已知侧平线AB和点M的两面投影，判断点M是否在侧平线AB上。方法一如图3-19(b)所示方法二如图3-19(c)所示

2．直线的迹点直线与投影面的交点，称为直线的迹点。与H面的交点，称为直线的水平迹点；与V面的交点，称为正面迹点；与W上-页

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返回3.2直线的投影面的交点，称为侧面迹点。投影面垂直线只有一个迹点，即与垂直的投影面的交点；投影面平行线有两个迹点，即直线与其不平行的两投影面的交点；一般位置线有三个迹点，即水平迹点、正面迹点和侧面迹点。因此，直线AB的正面迹点和水平迹点可以按下列方法求得。

(1)延长AB的正面投影a'b’，使之与OX轴相交，其交点m’即为直线水平迹点M的正面投影。过m’作OX轴的垂线，与水平投影ab交于点m，即为M的水平投影，m与M重合。(2)延长AB的水平投影ab，使之与OX轴相交，其交点n即为直线正面迹点Ⅳ的水平投影。上-页

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返回3.2直线的投影3.2.5两直线的相对位置空间两直线可能有三种不同的相对位置，即相交、平行和交叉。

1．平行两直线根据正投影基本性质中的平行性可知，若空间两直线相互平行，则它们的同面投影也一定平行；反之，如果两直线的各面投影都相互平行，则空间两直线平行。

(1)若两直线的三组同面投影都平行，则空间两直线平行；

(2)若两直线为一般位置直线，则只需要有两组同面投影平行，就可判定空间两直线平行，如图3-22所示上-页

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返回3.2直线的投影(3)若两直线同为某一投影面平行线，且在其平行的投影面上的投影彼此平行（或重合），则可判定空间两直线平行。

2．相交两直线空间两直线相交，则它们的同面投影除了积聚和重影之外，必相交，且交点同属于两条直线，故满足直线上的点的投影规律。

(1)若两直线的三面投影都相交，且交点满足直线上的点的投影规律，则两直线相交；(2)若直线为一般位置直线，只要有两组同面投影相交，且交点满足直线上的点的投影规律，则两直线相交；上-页

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返回3.2直线的投影(3)若两直线中有投影面平行线，必须通过直线所平行的投影面上的投影判定直线是否满足相交的条件，或者应用定比性判断投影的交点是否为直线交点的投影。

3．交叉两直线空间两直线既不平行也不相交，称为两直线交叉。虽然交叉两直线的同面投影有时候可能平行，但不可能所有的同面投影都平行，如图3-23(a)、(c)所示；交叉两直线的同面投影有时候也可能相交，但这个交点只不过是两直线上在同一投影面的两重影点的重合投影。上-页

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返回3.2直线的投影3.2.6直角投影定理相互垂直的两直线，可能是相交，也可能是交叉，若其中一直线与某一投影面平行，则这两直线在该投影面内的投影也垂直。例3-12如图3-30(a)所示，已知点4和直线BC的投影，求点A到直线的距离。作图如图3-30(b)例3-13如图3-31(a)所示，已知矩形ABCD的顶点A在直线EF上，试补全该矩形的投影。作图如图3-31(b)：上-页

返回3.3平面的投影3.3.1平面的表示法1．几何元素表示法下列各组几何元素均可表示一个平面：

(1)不在同一直线上的三个点，如图3-33(a)；

(2)一直线和直线外一点，如图3-33(b)；

(3)相交两直线，如图3-33(c)；

(4)平行两直线，如图3-33(d)；

(5)平面几何图形，如三角形等，如图3-33(e)。下-页

返回3.3平面的投影2．迹线表示法平面与投影面的交线称为平面的迹线，其中与H面的交线称为水平迹线；与V面的交线称为正面迹线；与W面的交线称为侧面迹线。实际上，用迹线表示平面是用几何元素表示平面中相交两直线表示平面的一种特例，也就是说，PH、PV、PW实际上三条特殊的相交的直线。PH直线的水平投影和其本身重合，其正面投影落在OX轴上；PV直线的正面投影和其本身重合，其水平投影落在OX轴上。上-页

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返回3.3平面的投影例3-15已知两相交直线的两面投影，如图3-36示，求作它们所确定的平面的迹线。作图如图3-36(b)所示1．空间位置投影面平行面平行于一个投影面，因此垂直于其他两个投影面。平行于H面的称为投影面平行面；平行于y面的称为投影面正平面；平行于W面的称为投影面侧平面。2．投影特性

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返回3.3平面的投影投影面平行面在其平行的投影面内的投影，反映该平面图形的实形；由于投影面平行面又垂直于其他两个投影面，所以在其他两投影面内的投影积聚为一直线，且平行于相应的投影轴。3．读图一平面只要有一投影积聚为一条平行于投影轴的直线，该平面就平行于非积聚投影所在的投影面，且此非积聚投影反映该平面图形的实形。3.3.3投影面的垂直面1．空间位置上-页

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返回3.3平面的投影1．空间位置投影面垂直面垂直于一个投影面，倾斜于其余投影面。垂直于H面的称为铅垂面；垂直于V面的称为正垂面；垂直于W面的称为侧垂面。2．投影特性投影面垂直面在其垂直的投影面内的投影积聚为一条斜直线，斜直线与相应投影轴的夹角反映了该平面对投影面的倾角。平面对投影面的倾角是指平面与投影面所夹的二面角。投影面垂直面在另两个投影面内的投影反映平面的类似形，且均比原平面实形小。上-页

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返回3.3平面的投影3．读图一平面只要有一面投影积聚为一斜直线，则该平面必垂直于积聚投影所在的投影面。各投影面垂直面的投影及投影特性见表3-4。3.3.4投影面的一般位置平面1．空间位置一般位置平面对三个投影面都是倾斜的。2．投影特性因为一般位置平面倾斜于投影面，所以三面投影都不反映实形，也没有积聚投影，而是反映原平面图形的类似形，如图3-38所示。上-页

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返回3.3平面的投影3．读图一平面的三面投影如果都是平面图形，则它必是一般位置平面。3.3.5平面内的点和线1．平面内的点1)点在平面内的几何条件如果点在平面内的一条直线上，则点必在平面内。2)投影特性如果点的投影在平面内的某一直线的同面投影上，且符合直线上的点的投影规律，则点必在平面内。上-页

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返回3.3平面的投影3)在平面内取点的方法先在平面内取线，再在线上定点。

2．平面内的线

1)直线在平面内的几何条件(1)如果直线通过已知平面内的两个点，则直线一定在已知平面内；(2)如果直线通过已知平面内的一点，且和平面内的某一直线平行，则该直线一定在已知平面内。2)投影特性

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返回3.3平面的投影(1)如果直线的投影通过已知平面内两点的同面投影，如图3-40所示，则该直线一定在平面内；(2)如果直线的投影通过平面内一点，且平行于平面内一直线的同面投影，如图3-41所示，则直线必在已知平面内。

3)平面内取线的方法(1)过平面内两点，如图3-40所示，过平面P内两点M、Ⅳ作直线MN，则直线MN必在已知平面P内。(2)过平面内一点作平面内任意一条直线的平行线。上-页

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返回3.3平面的投影3．平面内的特殊位置直线

1)平面内投影面的平行线平面内投影面的平行线有三种：平面内的水平线、正平线和侧平线。它们既符合平面内的直线的几何条件，又符合投影面平行线的投影特性。如图3-45所示，平面内的所有水平线都彼此平

2)平面上的最大坡度线平面上对某投影面的最大坡度线，就是在该平面内对该投影面倾角最大的一根直线。它必然