2026年吉林省中考数学试题（教师卷）

吉林省2026年初中学业水平考试

数学试题

数学试卷共6页，包括三道大题，共22道小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考

试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域

内．

2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无

效．

一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共18分）

1.如图，将一双筷子想象成两条直线，就得到一个相交线的模型．若136，则2的度数为（）

A.30B.36C.54D.144

【答案】B

【解析】

【分析】根据对顶角相等即可得到答案．

【详解】解：∵1与2是对顶角，

∴12

∵136，

∴236．

2.吉林省光电信息“一号工程”目标是：“十五五”末光电产业产值达160000000000元，将长春市建设成

为“中国光电城”．数据160000000000用科学记数法表示为（）

A.0.161012B.1.61011C.1.61010D.161010

【答案】B

【解析】

【详解】解：数据160000000000用科学记数法表示为1.61011．

3.近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可

享受9折优惠．如果一张车票原售价为a元，那么优惠后的票价为（）

A.a9元B.9a元C.0.9a元D.0.1a元

【答案】C

【解析】

【详解】解：∵原票价为a元，

∴优惠后的票价为a0.90.9a元．

4.由两个正方体组成的几何体如图所示，它的俯视图为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【详解】解：它的俯视图为

．

5.如图，ABC是O的内接三角形，AB是O的直径，点P为边AC上不与点A，C重合的任意一

点，连接BP．若BAC60，则ABP的度数可能为（）

A.20B.35C.45D.60

【答案】A

【解析】

【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出ACB90，根据BAC60，求出

ABC906030，得出0ABP30，再进行判断即可．

【详解】解：∵AB是O的直径，

∴ACB90，

∵BAC60，

∴ABC906030，

∵点P为边AC上不与点A，C重合的任意一点，

∴0ABP30，

∵02030354560

∴四个选项中只有A选项符合题意．

6.十三世纪的《计算之书》中记载了一个数学问题：将10写成两个数的和，10除以第一个数，所得的商

1

乘第二个数，得20，这两个数分别为多少？若设第一个数为x，则所列方程为（）

4

1x1

A.x10x20B.20

410x4

101101

C.20D.10x20

x10x4x4

【答案】D

【解析】

【分析】先根据两数和为10，用x表示出第二个数，再按照题目描述的运算顺序列出方程，对比选项即可

得到结果．

【详解】解：∵设第一个数为x，两数和为10，

∴第二个数为10x，

101

∴可列方程10x20．

x4

二、填空题（每小题3分，共15分）

7.不等式x25的解集为__________．

【答案】x3

【解析】

【详解】解：x25

移项，得x52，

合并同类项，得x3，

故解集为x3．

8.因式分解：m21__________．

【答案】

m1m1

【解析】

【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键．

使用平方差公式进行因式分解即可．

【详解】解：m21m1m1．

故答案为：m1m1．

4

9.已知点A2,y，B3,y都在反比例函数y的图象上，比较y与y的大小：y__________y．

12x1212

【答案】

【解析】

【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两

点的横坐标比较纵坐标的大小即可．

4

【详解】解：∵在反比例函数y中，k40，

x

∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，

∵点A2,y1，B3,y2的横坐标都为正，

∴这两点都在第一象限，

又∵23，

∴y1y2．

10.如图，车轮的半径OA30cm，车轮边缘上一点A绕点O转过的角AOB80，则劣弧AB的长为

__________cm（结果保留π）．

4040π

【答案】π##

33

【解析】

nπr

【分析】根据弧长公式l，将已知半径和圆心角度数代入计算即可．

180

【详解】解：由题意可知，车轮半径r30cm，圆心角n80

80π30

∴劣弧AB的长

180

2400π

180

40

π．

3

11.如图，在ABC中，ACAB，点D为边AB上一点，AD2，BD1．以点C为圆心，AD长

为半径画弧，交AC于点E，连接DE．若DE∥BC，则AE__________．

【答案】4

【解析】

【分析】由作法可知，CEAD2，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．

【详解】解：由作法可知，CEAD2，

DE∥BC，

ADAE

，

BDCE

2AE

，

12

AE4．

三、解答题（本题共11小题，共87分）

2

12.先化简，再求值：a12a1，其中a5．

【答案】

原式化简结果为a2，值为5

【解析】

2

【详解】解：a12a1

a22a12a1

a2，

2

当a5时，原式55．

13.第33届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办．组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰

壶、冰球三个项目组中的一组．请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率．

【答案】

1

3

【解析】

【分析】画出树状图得到所有等可能的结果，再得出小冰和小雪被分配到同一项目组的结果数，最后根据

概率公式求解即可．

【详解】解：短道速滑、冰壶、冰球这三个项目分别用A、B、C表示，画树状图如下：

由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪被分配到同一项目组的结果有3种，

31

∴小冰和小雪被分配到同一项目组的概率为．

93

14.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且AEBF，连接DE、AF．求证：

△DAE≌△ABF．

【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴ADAB，DAEABF90，

在DAE和△ABF中，

ADBA

DAEABF

AEBF

∴DAE≌ABFSAS．

【解析】

【分析】根据正方形的性质，结合“SAS”证明全等即可．

【详解】略

15.吉林玉米黄金带是世界三大玉米黄金带之一，吉林玉米享誉全国．购买7箱“吉林一号”玉米和9箱“吉

林二号”玉米共花费580元；购买2箱“吉林一号”玉米比1箱“吉林二号”玉米多花费5元．求每箱“吉

林一号”玉米和每箱“吉林二号”玉米的售价．

【答案】每箱“吉林一号”玉米售价为25元，每箱“吉林二号”玉米售价为45元．

【解析】

【分析】设出两种玉米的单价，根据题干给出的两个等量关系列出方程组，解方程组即可得到结果．

【详解】解：设每箱“吉林一号”玉米售价为x元，每箱“吉林二号”玉米售价为y元．

7x9y580

根据题意列方程组得，

2xy5

x25

解得，

y45

答：每箱“吉林一号”玉米售价为25元，每箱“吉林二号”玉米售价为45元．

16.图①、图②均是66的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E均在格点

上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．

（1）在图①中，找一个格点M，画一个以点A，B，M为顶点的等腰三角形．

（2）在图②中，找一个格点N，画一个以点C，D，E，N为顶点的平行四边形．

【答案】（1）（答案不唯一）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据等腰三角形的定义解答即可；

（2）根据平行四边形的定义作图即可

【小问1详解】

略

【小问2详解】

略

17.某小区为了解居民生活用水情况，通过简单随机抽样，调查获得若干个家庭的月均用水量x（单位：t）．把

收集到的数据分成A1x2，B2x3，C3x4，D4x5，E5x6，

F6x7，G7x8，H8x9八组，并绘制了如下频数分布直方图．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次一共调查了多少个家庭？

（2）请直接写出这些家庭月均用水量的中位数位于哪一组．

（3）若该小区有550个家庭，根据以上调查结果，估计该小区有多少个家庭的月均用水量小于4t．

【答案】（1）此次一共调查了55个家庭；

（2）D组

（3）估计该小区有210个家庭的月均用水量小于4t．

【解析】

【分析】（1）根据频数分布直方图将八组家庭数量相加求解即可；

（2）根据中位数的定义求解即可；

（3）用小区总家庭数乘以样本中月均用水量小于4t的家庭占比求解即可．

【小问1详解】

解：271214963255（个），

答：此次一共调查了55个家庭；

【小问2详解】

解：55个家庭中，中位数为第28名家庭月均用水量，

A、B、C三组的家庭数为271221（个），A、B、C、D四组的家庭数为27121435（个），

这些家庭月均用水量的中位数位于D组；

【小问3详解】

2712

解：550210（个），

55

答：估计该小区有210个家庭的月均用水量小于4t．

18.如图，为了测量某条河的宽度，小明站在A点，到河岸的距离AB为10m，刚好正对河对岸的一棵大

树P，此时点A，B，P在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了93m，到达C点，此时测

得ACP35．求这条河的宽度PB（结果保留整数）．（参考数据：sin350.57，cos350.82，

tan350.70）

【答案】55m

【解析】

【分析】先根据三角函数求出AP的长度，减去AB的长度，即可求出PB的长度．

【详解】解：由题意知，PAC90，

在RtPAC中，PCA35，AC93m，

∴APACtan35930.765.1m，

∵AB10m，

∴PB65.11055m，

答：这条河的宽度PB为55m．

19.如图，在矩形ABCD中，AB6cm，AD3cm．动点P从点A出发，沿折线ABBC以1cm/s

的速度向终点C运动．在运动过程中，连接DP．设点P的运动时间为tst0，DP扫过的图形面积

为Scm2．

（1）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．

215

（2）当DP扫过的图形面积Scm由矩形ABCD面积的扩大到矩形ABCD面积的时，点P运动了

46

多长时间？

3

t0t6

【答案】（1）S2

3t96t9

（2）5s

【解析】

【分析】（1）分0t6和6t9两种情况建立函数关系式即可；

153

（2）分别求出矩形ABCD面积的和矩形ABCD面积的，然后分别代入St和S3t9求出对应

462

的时间，再求解时间差即可．

【小问1详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴ADBC3cm，ABC90，

113

当0t6时，SAPADt3t；

222

当6t9时，DP扫过的图形为四边形ADPB，此时BPt6cm

11

∴SBPADABt6363t9

22

3

t0t6

∴S2；

3t96t9

【小问2详解】

解：由题意得，2，

S矩形ABCDABAD3618cm

1939

当S18时，则t，解得t3s；

4222

5

当S1815时，则3t915，解得t8s

6

835s

∴点P运动了5s．

20.一位记者乘坐汽车赴330km外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公

路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单

位：h）之间的关系如图所示．

（1）求汽车在高速公路上行驶的速度．

（2）求AB所在直线对应的函数解析式．

（3）记者出发后多长时间到达采访地？

【答案】（1）90km/h

（2）y60x60

（3）4.5h

【解析】

【分析】（1）根据路程除以时间即可求解；

（2）运用待定系数法求解即可；

（3）把y330代入y60x60即可求解．

【小问1详解】

解：180290km/h，

答：汽车在高速公路上行驶的速度为90km/h；

【小问2详解】

解：设AB所在直线对应的函数解析式为ykxb，

代入2,180和3.5,270

2kb180

则

3.5kb270

k60

解得

b60

∴AB所在直线对应的函数解析式为y60x60；

【小问3详解】

解：由AB解析式，得到汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h；

330180

则汽车在普通公路上行驶时间为2.5h，

60

总用时为22.54.5h

答：记者出发后4.5h到达采访地．

21.如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB上一点，连接CE．将BCE沿CE折叠得到△FCE．点G

为CE上一点，连接FG，BG．

（1）如图②，当直线BG经过点F时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使BCF是等边

三角形，不需要说明理由．

（2）如图③，当BGCF于点H时，判断四边形EBGF的形状，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，延长CF交矩形ABCD的边于点P．若AB4，BC3，当PAPF时，直

接写出BG的长．

【答案】（1）添加条件：BCE30；

（2）解：四边形EBGF是菱形，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴ABC90，

由折叠可得△CEF≌△CEB，

∴CFECBE90，ECFECB，EBEF，

∵BHCF，

∴CHBFHB90，

∴CGHECF90，

∵CEBBCE180ABC90，

∴CGHCEB，

∵BGE=CGH，

∴BGEBEG，

∴BGBE，

∵BEFE，

∴BGEF．

∵CHBCFE90，

∴BH∥EF，

∴四边形EBGF是平行四边形，

∵EBEF，

∴EBGF是菱形．

6

（3）或2

5

【解析】

【分析】（1）由折叠可得CBCF，FCEBCE，当BCE30时，可得到BCF60，即可得

出BCF是等边三角形；

（2）连接FG．由矩形的性质得到ABC90，由折叠得到CFECBE90，ECFECB，

EBEF，根据等角的余角相等得到BGECGHGEB，从而有BGBEFE，再证明

BH∥EF，可得四边形EBGF是平行四边形，结合EBEF得出EBGF是菱形；

（3）设PAPFx，根据勾股定理构造方程，求得PA,PF，设BEEFy，在RtEFP中根据勾

股定理构造方程，求得BE,EF，由BGEF即可解答．

【小问1详解】

解：由折叠可得CBCF，FCEBCE，

当BCE30时，FCEBCE30，

∴BCFBCEFCE60，

∴BCF是等边三角形．

【小问2详解】

略

【小问3详解】

解：①如图，

设PAPFx，则BPABAP4x，

∵由翻折有CFCB3，

∴CPCFPF3x，

∵在Rt△BCP中，BC2BP2PC2，

228

∴324x3x，解得x，

7

8

∴PAPF，

7

20

∴BP．

7

20

设BEEFy，则PEBPBEy，

7

∵CFE90，

∴EFP180CFE90，

∴在RtEFP中，EF2PF2PE2，

22

2820

即yy，

77

6

解得y，

5

6

∴BEEF，

5

6

∴BGEF．

5

②如图，

设PAPFx，则DPADAP3x，

∵由翻折有CFCB3，

∴CPCFPF3x，

∵在RtDCP中，DC2DP2PC2，

224

∴423x3x，解得x，

3

4

∴PAPF，

3

5

∴DP．

3

设BEEFy，则AEBABE4y，

∵CFE90，

∴EFP180CFE90，

∴在RtEFP中，EF2PF2PE2；在RtEAP中，EA2PA2PE2，

EA2PA2EF2PF2，

即EF2AE2,EFAE，

y4y，

解得y2，

∴BEEF2，

∴BGEF2．

2

22.如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，函数yx113x0的图象记为G1，顶点

为点A．将G1向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象G2，点A的对应点为点B，图

象G1与G2合起来得到的图象记为G．

（1）填表：

图象对应的函数解析式点的坐标

A（__________，

G

12

yx113x0__________）

B（__________，

G2__________

__________）

（2）观察图象G，解答下列问题：

①直接写出当x在什么范围内取值时，y随x的增大而减小；

②当2xn时，1y0，求n的取值范围．

（3）如图②，点P为G1上一点，横坐标为m；点Q为G2上一点，横坐标为m3；点C为G2上一点，横

坐标为3．过点C作x轴的平行线l1，点Q关于直线l1的对称点为点D，过点D作x轴的平行线l2．图象G

上P，Q两点之间的部分（含P，Q两点）的最高点和最低点到直线l2的距离分别为h1，h2．

①请你判断点P，Q是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由；

②当h12h2时，直接写出m的值．

【答案】（），：2，

1A1,1G2yx240x3B2,4

（2）①3x1或0x2；②1n23

10106

（3）①是；②m1或m1或m1

253

【解析】

【分析】（1）根据顶点式写出点A的坐标，根据抛物线的平移规律写出G2的解析式，进而根据顶点式写出

顶点B的坐标，即可求解；

（2）①根据函数图象，即可求解．

②令G2：y1，求得x的值，结合函数图象即可求解；

（3）①根据横坐标，代入函数解析式，分别求得点P,Q的坐标，根据点的平移，得出P平移后的坐标，

即可求解；

②根据G1的图象，分三段讨论，当3m2时，当2m1时，当1m0时，分别画出图形，

根据函数图象，找到最高点和最低点，进而求得h1,h2，结合h12h2，列出方程，解方程，即可求解．

【小问1详解】

略

【小问2详解】

①略

2

②令G2：yx241，

解得：（舍去），

x132x232

如图，

又∵A1,1

根据函数图象可得：当1y0时，1n23

【小问3详解】

2222

①∵G1:yx11x2x，G2：yx24x4x，

2

点P为G1上一点，横坐标为m，则Pm,m2m，

2

点P向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到m3,m2m3，

222

点Q为G2上一点，横坐标为m3，m34m3m2m3，即Qm3,m2m3

∴点P，Q是平移前后的一组对应点；

②解：∵点C为G2上一点，横坐标为3．

2

∴x3时，yx24143，则C3,3，