河北保定市唐县第一中学2025-2026学年下学期高二期末质量检测数学试题含答案

2025～2026学年度高二年级期末质量检测7.已知a≠0,则“a≤2b”是“函数f(x)=ax²+4bx—3在(-1,+∞)上是单调函数”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

数学8.已知1+2ˣ=3-1=5-2,则下列不等关系一定不成立的是

A.x>y>zB.y>x>zC.x>z>yD.y>z>x

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。9.已知变量x和y满足经验回归方程y=-0.78x+11.84,且变量x和y之间的一组相关数据

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。如下表所示，则下列说法正确的是

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡

实

上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上56912

各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作y87m2.4

答无效。A.m=5B.当x=13时，=1.7

4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，一轮复习：集合与常用逻辑用语，一元二次C.变量z和y呈负相关D.该经验回归直线必过点(9,5)

函数，方程和不等式，函数与基本初等函数，一元函数的导数及其应用。

10.已知x,y∈(0,十∞),设M=2x+y,N=xy,则以下四个命题中正确的是

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符A.若M=1,则

合题目要求的。

B.若M=N,则M有最大值8

1.已知集合M=(1,3,5),N=(1,2,3),则M∩N=

C.若N=1,则M有最小值√2

A.(1}B.(3)C.(1,3}D.(1,2,3,5)

若则有最大值

2.已知函数f(x)=x²,则f(9)=D.M+N=6,N2

11.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)=f(x)+f(y)—2zy-1,则下列说法正确的是

AB.3C.2D

A.f(2)+f(-2)=-6

的展开式中的第2项是B.函数y=f(x)+x²是奇函数

C.若f(1)<5,则f(2)<5

A.-80BC.40x⁵D.—10x¹D.若f(100)=1,则f(1)=100

4.若随机变量X～N(6,a²),且P(X<3)=0.2,则P(3≤X≤9)=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

A.0.8B.0.6C.0.4D.0.212.若幂函数f(x)的图象过点(4,2),则f(25)=

5.甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利80周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一13.定向师范生是一项由各地政府制定的政策，旨在解决农村地区基础教育教师资源紧缺的现

排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有状.这一政策主要通过“三定向”来实现，即“定向招生、定向培养、定向就业”.4名定向师范

A.12种B.24种C.48种D.120种生毕业后被安排到3所小学任教，其中每名定向师范生只能去一所小学，每所小学至少去一

名定向师范生，则不同的安排方案的种数是.(用数字作答)

6.甲、乙两位旅游博主准备周末去A,B,C,D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示

甲、乙至少有1人去景点，事件表示甲、乙去相同的景点，则P(N|M)=

AN14.若函数的定义域为[0,π],且f(x)在x=x₁处取得最大值，在x=xa处

ABCD取得最小值，则xcosx₁+f(x₂)=

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.(本小题满分17分)

15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=ax²-ax+Inx(a∈R).

某大学想了解本校学生对食堂的满意度情况，对该大学的100名学生进行食堂满意度调查，(1)当a=2时，求f(x)的图象在x=1处的切线方程；

调查结果如表所示：(2)当a>0时，讨论f(x)的单调性；

满意不满意合计(3)当a=0时，求证：f(x)<e¹-2.

大一或大二20

大三或大四2060

合计100

(1)补全2×2列联表；

(2)根据小概率值a=0.1的独立性检验，分析该大学的学生对食堂的满意度是否与年级有

关联.

附x=(a+b)(c+d)(a+o)(b+a),n=a+b+c+d.

19.(本小题满分17分)

α0.10.050.01

已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)>0,令函数F(x)=log.f(x),其中a>1,若F(x)关

工2.7063.8416.635

于点中心对称，则称函数f(x)为“对数型中心对称函数”,点(m,n)称为函数

f(x)的“对数型中心对称点”.

(1)判断函数是否为“对数型中心对称函数”;

16.(本小题满分15分)

(2)是否存在“对数型中心对称函数”其图象上的所有点都是的“对数型中心对

一个不透明的袋子中有6个大小相同的球，其中有3个白球、3个黑球，从中随机依次摸出h(x),h(x)

称点”?如果存在，求出所有满足题意的h(x);如果不存在，请说明理由；

3个球作为样本，用X表示样本中白球的个数.

(3)若函数φ(是“对数型中心对称函数”,且φ(的图象是一条连续曲线.已知点

(1)若有放回地摸球，求X≥2的概率；x)x)b<c,

都是(的对数型中心对称点证明：函数(在上单调递减是

(2)若不放回地摸球，求X的分布列与数学期望.(b,c),(c,b)φx)“”,“φx)R”

“对任意x,z₂,当b<x₁<z₂<c时，均有[φ(x₁)-φ(b)]·[φ(x₂)-φ(x₁)]·

[φ(c)φ(x₂)]<0”的充要条件.

17.(本小题满分15分)

已知二次函数f(x)满足f(x+2)一f(x)=4x—4(x∈R),且f(x)的最小值为5.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若对Vz∈R,不等式；恒成立，求实数m的取值范围.

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2025～2026学年度高二年级期末质量检测·数学

参考答案、提示及评分细则

1.C由M={1,3,5},N={1,2,3},得M∩N={1,3}.故选C.

2.A由题意知,所以.故选A.

3.D展开式中的第2项为.故选D.

4.B因为随机变量X～N(6,σ2²),所以正态曲线的对称轴是x=6,所以P(X>9)=P(X<3)=0.2,所以

P(3≤X≤9)=1-P(X<3)-P(X>9)=1—0.2—0.2=0.6.故选B.

5.B甲、乙相邻，将甲、乙捆绑在一起看作一个元素，共有A{A种排法，甲、乙相邻且在两端有CA³A3种排

法，故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有A4A²一C2A³A²=24(种).故选B.

6.A.故选A.

7.D当a>0时，f(x)=ax²+4bx-3的单调减区间为,单调增区间为,由a≤2b

得;当a<0时，f(x)=ax²+4bx-3的单调增区间为,单调减区间为

由a≤2b得;所以“a≤2b”不能得到“f(x)=ax²+4bx-3在(-1,+∞)上是单调函数”.反之，

f(x)=ax²+4bx—3在(一1,十∞)上是单调函数时，,所以,当a>0时，得a≤2b;当a<0

时，得a≥2b,所以由“f(x)=ax²+4bx-3在(一1,+∞)上是单调函数”不能得到“a≤2b”.故选D.

8.C由题意得，2+2²=3=5²-1,令5²-1=t,法一：则由y=2+2=,y=3²,y=5²-1的图象与直线y=t的

交点用排除法得C不成立.法二：则x=log₂(t—2),y=logst,z=logs(t+1),t>2.令f(t)=x-y=log₂(t-2)一

,所以f(t)在区间(2,十∞)上

单调递增.令g(t)=y-z,h(t)=x—z,同理g(t),h(t)在区间(2,+∞)上都单调递增，因为g(2)=log₃2-

,所以存在t₁∈(2,3),使得g(t₁)=0,t∈(2,t₁),g(t)

=y-z<0,t∈(t₁,十∞)时，g(t)=y-z>0;显然h(4)=0,t∈(2,4)时，h(t)=x-z<0,t∈(4,+∞)时，h(t)

=x-z>0;因为f(4)=1-log₃4<0,f(6)=2-log₃6=log₃9-log₃6>0,所以存在t₂∈(4,6),f(t₂)=0,t∈

(2,t₂),f(t)=x-y<0,t∈(t₂,十∞)时，f(t)=x-y>0.综上，t∈(2,t₁)时，x<y<z;t=t₁时，x<y=z;t∈

(t₁,4)时，x<z<y;t=4时，x=z<y;t∈(4,t₂)时，z<x<y;t=t₂时，z<x=y;t∈(t₂,+∞)时，z<y<x,所

以C不可能成立.故选C.

9.ABC对于A,因为变量x和y满足经验回归方程=-0.78x+11.84,又

4,解得m=5,故A正确；对于B,因为变量x和

y满足经验回归方程y=-0.78x+11.84,当x=13时，y=-0.78×13+11.84=1.7,故B正确；对于C,因

为变量x和y满足经验回归方程y=-0.78x+11.84,k=—0.78<0,所以变量x和y呈负相关，故C正确；

对于D,由选项A知，x=8,y=5.6,该经验回归直线必过点(8,5.6),不一定过样本点，故D错误.故

选ABC.

10.AD由题意知，x,y∈(0,+∞),M=2x+y,N=xy,对于A,当M=2x+y=1时，1=2x+y≥2√2xy,当

且仅当2x=y,即时等号成立，所以,得,所以,故A正

确；对于B,当2x+y=xy时，得,所以

【高二年级期末质量检测·数学参考答案第1页(共4页)】26—L-717B

,当且仅当,即x=2,y=4时取等号，即M有最小值8,故B错误；对于C,当N=

xy=1时，M=2x+y≥2√2xy=2√2,当且仅当2x=y,即,y=√2时等号成立，所以M的最小值为

2√2,故C错误；对于D,当M+N=2x+y+xy=6时，6=2x+y+xy≥2√2xy+xy,当且仅当2x=y时等

号成立，令t=√xy,则t>0,且t+2√2t-6≤0,解得0<t≤√2,即0<√xy≤√2,解得0<xy≤2,所以0<

N≤2,即N有最大值2,当且仅当x=1,y=2时取等号，故D正确.故选AD.

11.AD取x=y=0,得f(0)=1,取y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+2x²—1,所以f(x)+f(一x)=2-

2x²,f(2)+f(一2)=-6,A正确；f(一x)+(一x)²+f(x)+x²=f(x)+f(一x)+2x²=2,函数y=

f(x)+x²不是奇函数，B错误；取y=1,得f(x+1)一f(x)=f(1)—2x—1,所以f(2)一f(1)=f(1)-2×

1-1,f(3)一f(2)=f(1)-2×2-1,…,f(n)一f(n-1)=f(1)-2(n-1)-1,所以f(n)一f(1)=

(n—1)f(1)-n(n-1)—(n—1),f(n)=nf(1)-n²+1,若f(1)=4,则f(2)=2f(1)-3=5,C错误；

f(100)=100f(1)-100²+1=1,f(1)=100,D正确.故选AD.

12.5设幂函数f(x)=x,由题意得4=2=42,解得,所以f(x)=x2,f(25)=252=5.

13.36先将4名定向师范生分成3组，则有C²=6种情况，再将3组定向师范生分配给3所小学，则有A³=

6种情况.综上，共有6×6=36种不同的安排方案.

,令g(x)=5+6xcosx,

则g'(x)=6(cosx-xsinx),当时，g'(x)<0,g(x)单调递减，又

2π<0,所以存在,使得g(xo)=0,f(x₀)=0.又当时，g(x)>0,所以x∈(0,xo)

时，f(x)>0,x∈(xo,π)时，f(x)<0,所以f(x)在[0,xo]上单调递增，在[xo,π]上单调递减，又f(0)=

所以f(x)在x=xo处取得最大值，在x=0处取得最小值，所以x₁=xo,xz=0,

且5+6x₁cosx₁=0,

15.解：(1)2×2列联表如下：

满意不满意合计

大一或大二202040

大三或大四402060

合计6040100

…………………5分

(2)零假设H₀:该校学生对食堂的满意度与年级无关.……………………7分

经计算得………10分

依据小概率值α=0.1的独立性检验，推断零假设H₀不成立，即该校学生对食堂的满意度与年级有关联，此

推断犯错误的概率不大于0.1.…………13分

16.解：(1)若有放回地摸球，每次摸到白球的概率为,且各次摸球之间的结果是独立的，所以

…………………3分

即X≥2的概率为·………………………6分

(2)若不放回地摸球，则X服从超几何分布，且X的所有可能取值为0,1,2,3,…………8分

所以

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X的分布列为

X0123

P

………………12分

.……………………15分

17.解：(1)设f(x)=ax²+bx+c(a≠0),

由f(x+2)一f(x)=4x-4,得a(x+2)²+b(x+2)+c—(ax²+bx+c)=4x—4,

即4ax+4a+2b=4x—4,

所以解得…………3分

所以f(x)=x²—4x+c=(x-2)²+c—4,当x=2时，f(x)取到最小值c—4.

又f(x)的最小值为5,所以c—4=5,解得c=9.……………6分

所以f(x)=x²—4x+9.……………7分

(2)由(1)知f(x)=x²—4x+9,所以不等式

当m<0时，不等式不可能对Vx∈R恒成立；………………8分

当m=0时，不等式即0≥0,其对Vx∈R恒成立；………9分

当m>0时，不等式即

因为对Vx∈R,不等式恒成立，

所以艮…………………11分

化简可,所以(5m—11)(m—2)≥0且m—2≠0,解得m<2或

又m>0,所以0<m<2或.…………14分

综上所述，0≤m<2或,即实数m的取值范围是(0,2)U.…………15分

18.(1)解：当a=2时，f(x)=2x²—2x+1nx,所以f(1)=0,

所以f(1)=4-2+1=3,

所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为y—0=3(x—1),即3x-y-3=0.……3分

(2)解：f(x)的定义域为(0,+∞),

当a>0时，若a²—8a≤0,即0<a≤8,f(x)≥0,所以f(x)在(0,十∞)上单调递增；……………7分

若a²—8a>0,即a>8,令f(x)>0,解得,令f(x)<0,解得

,所以f(x)在上单调递增，在

上单调递减，在上单调递增.………………9分

综上，当0<a≤8时，f(x)在(0,十∞)上单调递增；

当a>8时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在

上单调递增.………………………10分

【高二年级期末质量检测·数学参考答案第3页(共4页)】26—L-717B

(3)证明：当a=0时，f(x)=lnx,要证f(x)<e²-2,即证e²—Inx—2>0.

令g(x)=e²—1nx-2(x>0),则,易得g'(x)在(0,+∞)上单调递增，

g'(1)=e—1>0,所以3,使得g'(xo)=0,故

………………13分

当x∈(0,xo)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(xo,+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

,所以f(x)<e-2.………17分

19.解：若f(x)是“对数型中心对称函数”,则F(x)关于点中心对称，所以F(m—x)+F(m+x)=

logan,

即log。f(m-x)+log。f(m+x)=loga[f(m—x)f(m+x)]=logan,所以f(m-x)f(m+x)=n.

所以对于任意的实数x,都有f(x)>0且f(m-x)f(m+x)=n成立，则称函数f(x)是“对数型中心对

称函数”,点(m,n)称为函数f(x)的“对数型中心对称点”.……………2分

(1)对于Vx∈R,

所以函数是“对数型中心对称函数”.……………………4分

(2)若存在“对数型中心对称函数”h(x),其图象上的所有点都是h(x)的“对数型中心对称点”,则对于任意

的实数x和m,都有h(m—x)h(m+x)=h(m),

令x=0,可得h(m)h(m)=h(m),所以对任意实数m,h(m)只能取0或1,

又h(x)>0