河北金太阳2025-2026学年高二下学期7月期末数学+答案

高二数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

弥

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.若复数z=7—i,则|z|=

A.6B.8C.5√2D.50

2.已知集合A={x|-3<x-1<3},B={x|x²—x-6≤0},则AUB=

A.{x|-2<x≤3}B.{x|-2≤x≤3}

C.{x|-2<x<4}D.{x|-2≤x<4}

封3.若函数f(x)=a+sin(ax—1)的最大值为,则f(x)的最小正周期为

A.πB.2πC.4πD.6π

4.若甲、乙、丙、丁等7个人排成一排照相，甲、乙相邻，且丙、丁也相邻，则不同的排法种数为

A.240B.480C.720D.960

5.若线段BC的中点为D,AD=2,且3AB+2AE=-3AC,则AE=

A.3B.6CD

6.已知抛物线C:x²=2py(p>0)的焦点为F,点B在C的准线上，且线段BF与C交于点A.

若|BA|=5√2|AF|,则直线BF的斜率为

线

A.士B.士CD

7.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x²—2-¹-2,则f(x)的零点个数为

A.3B.4C.5D.6

8.某地区记录了今年前5个月公共充电桩的累计充电量(单位：万度),数据如下表：

月份x12345

累计充电量y78173652

根据这5组数据，建立了y关于x的回归模型y=ux²+元，根据该回归模型，预测第6个月的

累计充电量为

【高二数学第1页(共4页)】

(参考公式及数据：经验回归方程=bx+a,其中

+4⁴+5⁴=979)

A.71万度B.72万度C.73万度D.74万度

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列判断正确的是

A.x>99是lgx>2的充分不必要条件

B.52l⁰es(2z-1)=9的充要条件是x=2

C.若lg2=a,lg3=b,则

D.命题“3x∈(0,1),x⁶>1”的否定是真命题

10.若(1—2x)¹⁹=a₀+a₁(x-1)+a₂(x—1)²+…+a19(x-1)¹⁹,则

A.ao=1

B.|a。|+|a₁|+|a₂|+…+|a19|=3¹⁹

C.函数f(x)=x(1-2x)¹⁹只有极大值，没有极小值

D.a₁—2a₂+…—18a₁8+19a19=-76

11.在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱BC上，且BE=3EC,P是底面

1

A₁B₁C₁D₁内的动点，则4

A.AP+EP的最小值是√89

B.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内切球的表面积为16π

C.当AP=4√2时，EP的最小值为3√2

D.当AP+EP取得最小值时，四棱锥P-CDD₁C₁的体积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.邯郸地处太行腹地，境内名山众多，海拔排名前六的高山如下：青崖寨(1898.7米),黑龙洞

山(1789米),茅草圪道(1750米),摩天岭(1747.5米),马武寨(1571米),羊大垴

(1562.9米).这六座高山的海拔数据的第40百分位数对应的山峰是▲

13.对于数列{an},{bn},若an+b=C(C为常数),则称{an}是{bm}的“C和数列”.已知{an}为

等差数列，a₁=—4,a₄=-b₂=5,且{an}是{bn}的“C和数列”,则C=.▲,{bn}的

前10项和为▲·

,分别为的左、右

14.已知双曲线C的渐近线方程为A,BC

顶点，P为C上位于第一象限的动点，设∠PBA=β,∠APB=γ,则

三.▲

【高二数学第2页(共4页)】

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC,BC⊥平面PAB.

(1)证明：PA⊥AB.

(2)若PA=AB=2,BC=3,求AC与平面PBC所成角的正切值.

16.(15分)

在△ABC中，sin2AcosA+√2sin²(B+C)=√2.

(1)求A;

(2)若AB>BC=√10,且√2sinC=3sinB,求△ABC的面积.

17.(15分)

已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,左顶点为(—2,0).点P(1,0),点M在C

上，且线段MP的中点在y轴正半轴上.设直线MP与C的另一个交点为H.

(1)求C的方程；

(2)求直线MH的斜率及点H的坐标.

【高二数学第3页(共A页1】

18.(17分)

已知函数f(x)=x³+sinx,g(x)=x³—ax²+x.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.

(2)定义集合D={φ(x)|x∈R,Vt∈(0,十∞),φ(x+t)>φ(x)}.

(i)证明：f(x)∈D.

(ii)若g(x)∈D,且3x₁∈[0,+∞],3x₂∈[1,+∞],f(x₁)+g(x₂)<1—1na,求a

的取值范围.

19.(17分)

某系统有两个AI智能体：Agent甲(快速响应型)和Agent乙(精确分析型).每次任务由当

前激活的智能体执行，规则如下：若当前智能体执行成功，则下次任务仍由该智能体执行；若

失败，则下次换另一智能体执行.甲、乙每次执行成功的概率分别为0.7,0.6,第一次执行任

务的智能体由抽签等可能性地决定.每次执行成功与否相互独立.

(1)求第二次执行任务的智能体是乙的概率.

(2)求第i(i∈N")次执行任务的智能体是甲的概率.

(3)定义随机变量Z为前n次任务中，甲成功段的个数，若连续m次成功，则这m次称为一

个长度为m的成功段(单次成功视为一个长度为1的成功段),例如，当n=10时，这

10次依次为甲成功、甲成功、甲成功、甲失败、乙失败、甲成功、甲成功、甲失败、乙失败、

甲成功，第1-3次为一个长度为3的成功段，第6—7次为一个长度为2的成功段，第10

次为一个长度为1的成功段，则Z=3,求E(Z).

附：若随机变量X;服从两点分布，且P(X;=1)=1-P(X;=0)=qi,i=1,2,…,n,则

【高一数学第4页(共4页)】-

高二数学参考答案

题序1234567891011121314

答案CDCBBACDBCDBCABD摩天岭—6;—155

【评分细则】

【1】第1～8题，凡与答案不符的均不得分.

【2】第9,11题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分；第10题，全部选对的

得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分.

【3】第12,14题，凡与答案不符的均不得分.

【4】第13题，答对第一空得2分，答对第二空得3分.

1.C【解析】本题考查复数的模，考查数学运算的核心素养.

|z|=√7²+(-1)²=5√2.

2.D【解析】本题考查集合与不等式，考查数学运算的核心素养.

由A={x|-2<x<4},B={x|-2≤x≤3},得AUB={x|-2≤x<4}.

3.C【解析】本题考查三角函数的最值和周期，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.

依题意可得,则,则

4.B【解析】本题考查排列的实际应用，考查应用意识.

由捆绑法，可得不同的排法种数为A2A2A5=480.

5.B【解析】本题考查平面向量的基本定理，考查直观想象与数学运算的核心素养.

因为线段BC的中点为D,所以AB+AC=2AD.

因为3AB+2AE=-3AC,所以3AB+3AC=-2AE,则

又AD=2,所以AE=|AE|=3|AD|=6.

6.A【解析】本题考查抛物线的定义，考查直观想象与逻辑推

理的核心素养.

如图，设点B在第四象限，过点A作准线的垂线，垂足为H.

设A|F|=t,则|BA|=5√2t,|BH|=√(5√2t)²—t²=7t,

,由对称性知，当点B在第三象限时，.故直线BF

的斜率为士

【高二数学·参考答案第1页(共7页)】

7.C【解析】本题考查函数的零点，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.

由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)=0.当x>0时，f(x)的零点个数即方程x²—2=

2x-¹的根的个数，即函数y=x²—2和y=2x-¹的图象交点个数.当x>0时，y=x²-2与y

=2#-¹的图象有两个交点(图略),则f(x)有两个零点，由f(x)是奇函数，可知当x<0时，

f(x)也有两个零点.故f(x)的零点个数为5.

8.D【解析】本题考查非线性回归方程，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

=2x²+2,当x=6时，y=74,根据该回归模型，预测第6个月的累计充电量为74万度.

9.BCD【解析】本题考查对数的运算与充分必要条件的判断，考查数学运算与逻辑推理的核心

素养.

由lgx>2,得x>100,则x>99是lgx>2的必要不充分条件，A错误.

52los(2z-1)=(2x—1)²=9,解得x=2或x=—1,又2x-1>0,所以x=2,B正确.

若lg2=a,lg3=b,则,C正确.

当x∈(0,1)时，x⁶∈(0,1),所以命题“3x∈(0,1),x⁶>1”是假命题，其否定为真命题，D

正确.

10.BC【解析】本题考查导数的应用与二项式定理，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

令x=1,得ao=-1,A错误.

设x-1=t,则x=t+1,则一(1+2t)¹⁹=a。+a₁t+a₂t²+…+a19t¹⁹,则ao,a₁,a₂,…,a19

均为负数，令t=1,得a₀+a₁+a₂+…+a19=—3¹⁹,则|ao|+|a₁|+|a₂|+…+|a19|=

3¹⁹,B正确.

由一(1+2t)¹⁹=ao+a₁t+a₂t²+…+a19t¹⁹,得—19(1+2t)¹⁸×2=a₁+2a₂t+…十

19a19t¹⁸,令t=—1,得a₁-2a₂+…-18a18+19a₁=-38,D错误.

f'(x)=(1-2x)⁹+19x(1-2x)¹⁸×(-2)=(1-2x)⁸(1—40x),令f'(x)>0,得

令f'(x)≤0,得,所以f(x)=x(1—2x)¹⁹只有极大值，没有极小值，C正确.

11.ABD【解析】本题考查立体几何初步的综合，考查直观想象与数学运算的核心素养.

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内切球的表面积为正确。

设点A关于底面A₁B₁C₁D₁的对称点为F,则AP+EP=FP+EP≥FE,当且仅当P为

直线FE与底面A₁B₁C₁D₁的交点时，等号成立，而AE²=AB²+BE²=25,AF=2AA₁=

8,则FE=√AE²+AF²=√25+8²=√89,所以AP+EP的最小值是√89,A正确.

【高二数学·参考答案第2页(共7页)】

当AP+EP取得最小值时，△A₁PF∽△AEF,则

,取AE的中点P₁,连接PP₁,则PP₁⊥底面ABCD,取AB的中

点H,连接HP₁,则,则点P₁到平面CDD₁C₁的

距离为,易证PP₁//平面CDD₁C₁,则点P到平面

CDD₁C₁的距离等于到点P₁到平面CDD₁C₁的距离，则点P到平

面CDD₁C₁的距离为,故当AP+EP取得最小值时，四棱锥P-CDD₁C₁的体积

正确.

当AP=4√2时，因为P是底面A₁B₁C₁D₁内的动点，所以A₁P=

√AP²-AA}=√(4√2)²-4²=4,所以点P的轨迹是以A₁为圆

心，4为半径的圆弧D₁B₁,如图所示，过点E作底面A₁B₁C₁D₁的

射影E₁,连接PE₁,A₁E,PE,则EP²=EE²+E₁P²=4²+E₁P².

因为A₁E₁=√A₁B{+B₁E²=√4²+3²=5,所以E₁P≥

A₁E₁-A₁P=1,当A₁,P,E₁三点共线时，等号成立，所以EP的最小值为√4²+1²=

√17,C错误.上

12.摩天岭【解析】本题考查百分位数，考查数据处理能力.

将六座高山的海拔数据按照从低到高的顺序排列为1562.9,1571,1747.5,1750,1789,

1898.7.因为6×40%=2.4,所以这6个数的第40百分位数为1747.5,对应的山峰是摩

天岭.

13.—6;—155【解析】本题考查新定义、等差数列的性质及前n项和，考查数学运算与逻辑推

理的核心素养.

设{an}的公差为d,则,则an=-4+(n—1)×3=3n—7,则a₂=-1,所以C

=a₂+b₂=-1—5=—6,则bn=—6—an=-3n+1,

14.【解析】本题考查双曲线与三角恒等变换的综合，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的

核心素养.

设P(xo,yo),,即.设∠PAB=α,

【高二数学·参考答案第3页(共7页)】

则9

15.(1)证明：因为BC⊥平面PAB,PAC平面PAB,

所以BC⊥PA.……………1分

又PA⊥AC,AC∩BC=C,………2分

所以PA⊥平面ABC.………………3分

因为ABC平面ABC,所以PA⊥AB.…………4分

(2)解：取PB的中点D,连接AD,CD.………………5分

因为PA=AB,所以AD⊥PB.……………6分

因为BC⊥平面PAB,ADC平面PAB,所以AD⊥BC7分

又PB∩BC=B,所以AD⊥平面PBC,8分

所以∠ACD是AC与平面PBC所成的角.………9分A

在△ABC中，AC=√4+9=√13,在△PAB中，PB=√4+4=2√2,

,所以CD=√AC²-AD²=√11,………………11分

则…………………12分

故AC与平面PBC所成角的正切值…………………13分

【评分细则】

【1】第(1)问中，未写“PAC平面PAB”“ABC平面ABC”,共扣

1分，不重复扣分.

【2】第(2)问还可以这样解答：

以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0),

A(2,0,0),C(0,3,0),P(2,0,2),6分

则AC=(—2,3,0),BP=(2,0,2),BC=(0,3,0).…………………8分

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则n·BP=2x+2z=0,n·BC=3y=0,……9分

令x=1,得n=(1,0,—1).…………10分

设AC与平面PBC所成的角为θ,

【高二数学·参考答案第4页(共7页)】

,…………12分

所以,故AC与平面PBC所成角的正切值………13分

16.解：(1)因为sin(B+C)=sin(π—A)=sinA,………1分

所以2sinAcos²A=√2(1-sin²A)=√2cos²A,………………2分

则cosA=0或………4分

又0<A<π,所以或或……7分

(2)设BC=a,AC=b,AB=c.

由√2sinC=3sinB及正弦定理，得√2c=3b,即…9分

因为c>a,所以C>A,则…………………11分

由余弦定理得…………12分

解得c=3√2,

所以△ABC的面积……………15分

【评分细则】

【1】第(1)问中，解方程“2sinAcos²A=√2cos²A”时，未得到“cosA=0”,扣1分.

【2】第(2)问中，从第三行开始还可以这样解答：

由余弦定理得

………………10分

当时,舍去.……………11分

当时，c=3√2>√10,b=2,……………………12分

则△ABC的面积………………13分

当时,舍去.……………14分

故△ABC的面积为3.………………15分

【高二数学·参考答案第5页(共7页)】

17.解：(1)根据题意可得a=2,……………………1分

由,得c=1,…………………2分

所以b²=a²—c²=4-1=3,……………3分

所以C的方程………4分

(2)因为线段MP的中点在y轴正半轴上，所以可设M(一1,yo)(y₀>0).…………5分

因为M在C上，所,得,即………6分

所以………………8分

则直线MH的方程为.……9分

得21x²—18x-39=0,……11分

则,………………12分

因为xm=-1,所以…………13分

则………14分

故点H的坐标为…………15分

18.(1)解：由f'(x)=3x²+cosx,…………1分

得f'(0)=1.………………2分

又f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x.…3分

(2)(i)证明：集合D为在R上单调递增的函数的集合.……………4分

令u(x)=f'(x),得u'(x)=6x-sinx,……5分

令v(x)=u'(x),得v'(x)=6—cosx>0,………6分

则v(x)在R上单调递增，即u'(x)在R上单调递增.……………7分

又u'(0)=0,所以当x<0时，u'(x)<0,当x>0时，u'(x)>0,所以u(x)在(一∞,0)上单

调递减，在(0,+∞)上单调递增，………8分

则u(x)min=u(0)=1,所以f'(x)≥1,则f(x)在R上单调递增，故f(x)∈D.……10分

(ii)解：因为g(x)∈D,所以g(x)在R上单调递增，所以g'(x)=3x²—2ax+1≥0对x∈

R恒成立，11分

【高二数学·参考答案第6页(共7页)】

则△=(-2a)²—4×3×1=4a²—12≤0,解得一√3≤a≤√3.…………12