吉林省长春市九台区第三十一中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

吉林省长春市九台区第三十一中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列方程是一元一次方程的是（）A．5x+2=0 B．5x−2y=0 C．x2−2=5 2．若x<y，则下列式子中错误的是（）A．x−2<y−2 B．x+2<y+2 C．−2x>−2y D．x3．已知某三角形的三边长分别为3、9、m，则m的值可以是（）A．3 B．6 C．9 D．124．如图，D、E分别是AB、BC的中点．若△DEC的面积是2，则△ABC的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．125．如果不等式组x<8x>mA．4≤m≤5 B．4≤m<5 C．4<m<5 D．4<m≤56．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠B=40°，∠C=64°，则∠DAE的度数是（）A．10° B．12° C．15° D．18°7．规定mina,b表示两数中较小的数，例如：min6,9=6，按照这个规定，关于xA．x=0 B．x=2 C．x=0或2 D．无解8．明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（）A．x+3y=368x+6y=108 B．C．3x+y=368x+6y=108 D．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．9．如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是.10．已知关于x的方程2x+a−4=0的解是x=−1，则a的值为．11．若关于x，y的二元一次方程组2x+4y=a+77x+5y=2a−5的解x，y满足x+y<1，则满足题意的最大整数a是12．将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为．13．如图，正五边形ABCDE与正方形AFGH有公共的顶点A，DE与HG相交于点M，∠BAH=40°，则∠EMH=．14．如图，在△ABC中，∠CAB是直角，AC=12，BC=15，AB=9，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法中正确的是．①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠FAG=2∠ACF；③∠AFC=∠AGF；④AD=27⑤△ABE的周长比△BCE的周长小7．三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．解方程：4x−3=2x−116．解方程组：3x−2y=117．解不等式组2x+1>x−14x−1≤x+218．从甲地到乙地的长途汽车原行驶7小时，开通高速公路后，路程减少了30千米，而车速平均每小时增加了30千米，只需4小时即可到达．求甲、乙两地之间高速公路的路程？19．如图是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③中三角形的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图．（1）如图①，在AB上作格点M，连接CM，使得S（2）如图②，在△ABC的内部作格点M，连接AM、BM、CM，使得S△ABM（3）如图③，在△DEF内部作格点M，连接DM、EM、FM，使得S△DMF20．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE是∠CAB的角平分线，交BD于点E，∠AEB=120°，∠CBA=40°，求∠C的度数．21．学校给七年级男生安排宿舍，如果安排4人一间，还有26人安排不下，如果安排6人一间，则只有一间宿舍未住满，且该间宿舍也有人住，那么，学校给七年级男生分配的宿舍可能有多少间？22．教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页的部分内容．如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．解：∵BP平分∠ABC（已知），∴∠PBC=1同理可得∠PCB=________°．∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°（），∴∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB（等式的性质）=180°−40°−________=________．（1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．问题推广：（2）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2=96°，则∠BPC=________度．（3）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB=82°，则∠PBH=________度．23．数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为11.5cm，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为16cm．（1）请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米；（2）设一摞碗由n个碗组成，高度是Lcm，则L=______cm（用含n的代数式表示）；（3）一摞碗的高度能否为18.5cm，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由．24．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．BD是中线，作点B关于AC的对称点E，连接DE．动点P从E点出发，以2cm/s的速度沿E→C→A向终点A运动，设点P运动的时间为ts，△PDB的面积为S（1）当t=______时，点P运动到点C；（2）当点P在AC上运动，且点P在点D下方时，PD的长度为______cm（用含t的代数式表示）；（3）在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S；（4）当S<8时，请直接写出t的取值范围．

答案解析部分1．【答案】A【知识点】一元一次方程的概念【解析】【解答】解：A．5x+2=0，只含有一个未知数，且未知数的次数是1，是整式方程，因此是一元一次方程，符合题意；B．5x−2y=0，含有两个未知数，不是一元一次方程，不合题意；C．x2D．2x故选：A．【分析】只含一个未知数、未知数最高次数为1的整式方程是一元一次方程，按此定义判别.2．【答案】D【知识点】不等式的性质【解析】【解答】解：A、∵x<y，∴不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得x−2<y−2，故此选项正确，不符合题意；B、∵x<y，∴不等式两边同时加2，不等号方向不变，可得x+2<y+2，故此选项正确，不符合题意；C、∵x<y，∴不等式两边同时乘−2，不等号方向改变，可得−2x>−2y，故此选项正确，不符合题意；D、∵x<y，∴不等式两边同时除以2，2是正数，不等号方向不变，可得x2<y2，与选项式子不符，故此选项错误，符合题意.3．【答案】C【知识点】三角形三边关系【解析】【解答】解：∵三角形三边长为3，9，m，∴根据三角形三边关系得9−3<m<9+3，即6<m<12，选项中只有9满足该范围，故答案为：C．

【分析】根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”建立出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围，从而即可逐一判断得出答案.4．【答案】B【知识点】利用三角形的中线求面积【解析】【解答】解：∵E是BC的中点，∴S△CDE=S△BDE=2，∴S△BCD=S△CDE+S△BDE=4，∵D是AB的中点，∴S△ACD=S△BCD=4，∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=8.

故答案为：B.

【分析】由等底同高三角形面积相等可得三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，据此可得S△CDE=S△BDE=2，由图形构成得出S△BCD=S△CDE+S△BDE=4，进而再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形得S△ACD=S△BCD=4，从而结合图形即可得出△ABC的面积.5．【答案】B【知识点】解一元一次不等式组【解析】【解答】∵不等式组x<8x>m有且仅有3个整数解

∴不等式组的整数解为7、6、5，

∴故答案为：B【分析】不等式组x<8x>m6．【答案】B【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余【解析】【解答】解：∵AD⊥BC, ∠C=64°，∴∠CAD=90°−64°=26°，∵∠B=40°，∠C=64°，∴∠BAC=180°−40°−64°=76°，又∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE=1∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=38°−26°=12°．

故答案为：B.

【分析】先由直角三角形两锐角互余求出∠CAD的度数，然后根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，进而根据角平分线的定义求出∠CAE的度数，最后根据角的构成，由∠DAE=∠CAE-∠CAD可算出答案.7．【答案】B【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；分类讨论【解析】【解答】解：分两种情况讨论：情况1：当x−3≥3，即x≥6时∵min∴原方程为3=3−2x解得x=0∵0<6，不满足x≥6，

∴舍去该解；情况2：当x−3<3，即x<6时∵min∴原方程为x−3=3−2x移项得3x=6解得x=2∵2<6，满足条件，

∴x=2是原方程的解．综上，原方程的解为x=2，

故答案为：B．

【分析】根据新定义运算法则，分当x-3≥3，即x≥6时，与x-3＜3，即x＜6时两种情况列出关于字母x的方程，分别求解方程后，验证解是否满足对应情况的条件，舍去不符合的解，即可得到答案．8．【答案】D【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组【解析】【解答】解：设哪吒有x个，夜叉有y个，然后根据题意可得：3x+y=366x+8y=108故选D．

【分析】设哪吒有x个，夜叉有y个，然后根据题意列出二元一次方程组3x+y=366x+8y=1089．【答案】三角形的稳定性【知识点】三角形的稳定性【解析】【解答】解：松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，其中的数学道理是三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．【分析】结合图形，利用三角形的稳定性，即可求解．10．【答案】6【知识点】已知一元一次方程的解求参数【解析】【解答】解：∵x=1是方程2x+a−4=0的解，将x=1代入原方程得−2+a−4=0，解得a=6，故答案为：6．【分析】本题考查了方程的解，以及一元一次方程的求解，将x=1代入原方程，得到关于a的一元一次方程−2+a−4=0，求得a的值，即可得到答案.11．【答案】2【知识点】一元一次不等式的特殊解；加减消元法解二元一次方程组【解析】【解答】解：由2x+4y=a+7①①+②得：9x+9y=3a+2，解得：x+y=3a+2∵x+y<1，∴3a+29解得，a<7∴满足题意的最大整数a是2，故答案为：2．【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，利用两式相加，得到9x+9y=3a+2，求得x+y=3a+29，根据x+y<1，得到12．【答案】15°【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余【解析】【解答】解：由题意可知∠EAD=90°−45°=45°，∴根据三角形外角性质，∠FBA=∠EAD−∠F=45°−30°=15°，所以∠FBA的度数为15°．故答案为：15°．

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠EAD=45°，然后根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和可得∠FBA=∠EAD-∠F，从而代值计算可得答案.13．【答案】94°【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴正五边形ABCDE的内角∠BAE=∠E=∵∠BAH=40°∴∠HAE=∠BAE−∠BAH=108°−40°=68°∵四边形AFGH是正方形∴∠H=90°∵四边形MHAE内角和为360°∴∠EMH=360°−∠H−∠HAE−∠E=94°．故答案为：94°．【分析】本题考查了正多边形的内角和，根据正五边形的内角和，求得∠BAE=∠E=108°，进而求得∠HAE=68°，再由四边形AFGH是正方形，结合∠EMH=360°−∠H−∠HAE−∠E，即可求解.14．【答案】①②③【知识点】余角；直角三角形的两锐角互余；等积变换；利用三角形的中线求面积【解析】【解答】解：∵BE是中线，∴AE=EC．∴S△ABE=∵∠BAC=90°，∴∠FAG+∠DAC=90°．∵∠ADC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°．∴∠FAG=∠ACD．∵CF平分∠ACB，∴∠ACD=2∠ACF．∴∠FAG=2∠ACF，故②正确；∵∠ADC=90°，∠BAC=90°，∴∠AFC+∠ACF=90°，∠DGC+∠DCG=90°，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠DCG．∴∠AFG=∠DGC=∠AGF，故③正确；∵S∴AD=AB·ACBC=∵C∴△ABE的周长比△BCE的周长小6，故⑤错误．

故答案为：①②③.

【分析】利用等底同高的两个三角形可得三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，据此可判断①；根据角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠FAG=∠ACB，再利用角平分线的定义即可判断②；由直角三角形两锐角互余、等角的余角相等及对顶角相等推出∠AFG=∠DGC=∠AGF，从而可判断③；由三角形的面积公式及等面积法建立方程即可得到AD的长，从而判断④；由中线的定义及三角形周长得计算方法可得△ABE的周长与BCE的周长的差等于BC-AB，从而代值计算可判断⑤．15．【答案】解：4x−3=2去括号，得：4x−3=2x−2移项，得：4x−2x=−2+3合并，得：2x=1系数化1，得：x=1【知识点】解含括号的一元一次方程【解析】【分析】先去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.16．【答案】解：3x−2y=1①②×2+①，得解得：x=−1，把x=−1代入①，得−3−2y=1解得：y=−2，∴方程组的解为x=−1y=−2【知识点】加减消元法解二元一次方程组【解析】【分析】观察方程组中两个方程未知数项的系数特点，用方程②×2+①消去y求出x的值，然后将x的值代入①方程求出y的值，从而即可求出方程组的解.17．【答案】解：解不等式2x+1>x−1，得：x>−2，解不等式4x−1≤x+2，得：x≤1，

∴不等式组的解集为：−2<x≤1．将不等式组的在数轴上表示如图：

【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；数形结合【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.18．【答案】解：设甲、乙两地之间高速公路的路程是x千米，x4﹣x+30x=320故甲，乙两地之间的高速公路是320千米【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题【解析】【分析】设甲、乙两地之间高速公路的路程是x千米，根据从甲地到乙地的长途汽车原行驶7小时，开通高速公路后，路程减少了30千米，而车速平均每小时增加了30千米，只需4小时即可到达可列方程求解．19．【答案】（1）解：如图所示，点M即为所求；（2）解：如图所示，点M即为所求；（3）解：如图所示，点M即为所求．【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点，取AB的中点M，连接CM，由等底同高三角形面积相等可得三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形可得S△ACM=S△BCM，故点M即为所求；（2）如图，取格点M，连接AM、BM、CM，利用方格纸的特点可得△ABM与△BCM的底边AB=BC，△ABM中AB边上的高是△BCM中BC边上高的2倍，由等底三角形面积之间得关系就是对应底之间的关系可得S△ABM=2S△BCM，故点M即为所求；（3）如图，取格点M，连接DM、EM、FM，利用方格纸的特点及割补法，根据S△DFM=S△DEF-S△DEM-S△EFM可得△DMF的面积为72（1）解：如图所示，点M即为所求；（2）解：如图所示，点M即为所求；（3）解：如图所示，点M即为所求．20．【答案】解：∵BD⊥AC，∴∠∵∠∴∠∵AE是∠CAB∴∠∵∠∴∠C=180°−∠CAB−∠CBA=180°−60°−40°=80°．【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念【解析】【分析】由BD⊥AC，根据垂直的定义可知∠ADB=90°，由∠AEB是△ADE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠AEB=∠ADB+∠DAE，则∠DAE=∠AEB−∠ADB=30°，因为AE是∠CAB的角平分线，根据角平分线的定义可知

∠CAB=2∠DAE=60°，在△ABC中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为180°即可求解∠C的度数。21．【答案】解：设学校给七年级男生分配的宿舍有x间，则七年级男生共有4x+26人，

由题意得4x+26>6x−14x+26<6x，

解得13<x<16，

∵x为整数，

∴x取值为14或15，

答：学校给七年级男生分配的宿舍可能有14或【知识点】一元一次不等式组的应用【解析】【分析】设学校给男年级女生分配的宿舍有x间，则七年级男生共有4x+26人，根据题意列一元一次不等式组4x+26>6x−122．【答案】（1）25；三角形的内角和等于180°；25°；115°；（2）114；（3）49【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念【解析】【解答】解：（1）∵BP平分∠ABC（已知），∴∠PBC=12∠ABC=12×80°=40°．

同理可得∠PCB=25°．

∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°（三角形内角和定理），

∴∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB（等式的性质）

=180°−40°−25°

=115°．

故答案为：25°，三角形内角和定理，25°，115°；

（2）由折叠的性质可得∠AED=∠PED，∠ADE=∠PDE，

∵∠1+∠AEP=180°，∠2+∠ADP=180°，∠1+∠2=96°，

∴2∠AED+2∠ADE=264°，

∴∠AED+∠ADE=132°，

∴∠A=180°−∠AED−∠ADE=48°，

∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=132°，

∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，

∴2∠PBC+2∠PCB=132°，

即∠PBC+∠PCB=66°，

∴∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB=114°，

故答案为：114；

（3）∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM，

∴∠BAC=2∠BAP，∠CBM=2∠PBM，

∵∠CBM=∠BAC+∠ACB，即2∠PBM=2∠BAP+∠ACB，∠ACB=82°，

∴∠PBM=∠BAP+12∠ACB=∠BAP+41°，

∴∠P=∠PBM−∠BAP=41°，

∵BH⊥AP，

即∠BHP=90°，

∴∠PBH=180°−∠P−∠BHP=49°；

故答案为：49；

【分析】（1）由BP平分∠ABC，求得∠PBC=12∠ABC=40°，且∠PCB=25°，再由三角形的内角和定理，结合∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB，即可求解；

（2）由折叠的性质，可得∠AED=∠PED，∠ADE=∠PDE，得到∠AED+∠ADE=132°，进而求得∠ABC+∠ACB=132°，再由（3）由AP平分∠BAC，BP平分∠CBM，得到∠BAC=2∠BAP，∠CBM=2∠PBM，再由三角形外角的性质，得到∠PBM=∠BAP+41°，求得∠P=41°，根据BH⊥AP，结合∠PBH=180°−∠P−∠BHP，即可求解.23．【答案】（1）解：设一个碗的高度是x厘米，每增加一个碗增加的高度是y厘米，根据题意得：x+3y=11.5x+6y=16解得：x=7y=1.5答：一个碗的高度是7厘米，每增加一个碗增加的高度是1.5厘米（2）1.5n+5.5（3）解：一摞碗的高度不能为18.5cm，理由如下：假设一摞碗的高度能为18.5cm，根据题意得：1.5n+5.5=18.5，解得：n=26∵n为正整数，∴n=26∴假设不成立，即一摞碗的高度不能为18.5cm【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用；反证法【解析】【解答】解：（2）根据题意可得：

L=7+1.5n−1=1.5n+5.5

故答案为：1.5n+5.5；

[【分析】（1）设单个碗的高度为x厘米，每多叠放一个碗，高度增加y厘米，题目给出“4个碗叠放总高度为11.5cm，7个碗叠放总高度为16cm”，根据这两个条件可以列出关于x和y的二元一次方程组，解方程组就能得到单个碗高度和每增加一个碗的高度增量；

（1）解：设一个碗的高度是x厘米，每增加一个碗增加的高度是y厘米，根据题意得：x+3y=11.5x+6y=16解得：x=7y=1.5答：一个碗的高度是7厘米，每增加一个碗增加的高度是1.5厘米；（2）解：根据题意得：L=7+1.5n−1（3）解：一摞碗的高度不能为18.5cm，理由如下：假设一摞碗的高度能为18.5cm，根据题意得：1.5n+5.5=18.5，解得：n=26∵n为正整数，∴n=26∴假设不成立，即一摞碗的高度不能为18.5cm．24．【答案】（1）3s（2）10−2t（3）解：由题意知，点P运动到点D时，t=6+4点P运动到点A时，t=6+8当0≤t≤3时，点P在EC上运动，△PDB的面积S=1当3<t≤5时，点P在CD上运动，△PDB的面积S=1当5<t≤7时，点P在AD上运动，PD=2t−EC−DC=2t−6−4=