四川绵阳市2026届高三下学期高考适应性考试数学试题

四川绵阳市2026届高三下学期高考适应性考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=1+i，则z⋅zA．2 B．2 C．0 D．−12．已知集合A=−1,0,1,2，集合B=xxA．−1,0 B．1,2,3 C．0,1,2 D．x3．已知a>0,b>0，则“ab≤1”是“a+b=2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知向量a,b满足a+A．−2 B．−1 C．1 D．05．5名工人各自在4天中选择1天休息，不同方法的种数是（）A．45 B．54 C．A56．已知各项均为正数的等比数列an，若a5−A．12 B．2 C．2 7．已知双曲线C的焦点在y轴上，且其中一条渐近线方程为x+2y=0，则该双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．5 D．58．将函数f(x)=sin2x−cosx−πA．10π B．14π C．16π D．18π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某学校开展了一次国防知识测试活动，满分为10分，用纸质统计了40名学生的成绩，如下表所示，最低分为5分，有部分格子破损．成绩／分5678910人数87107关于这40名学生的成绩，则（）A．众数为9 B．极差为5C．第30百分位数为6 D．平均数小于中位数10．在正方体ABCD−A1B1CA．直线EF、MN、CD相交于同一点B．GN和MH是异面直线C．若点K在直线AB1上，则D．E，F，G，H，M，N在同一个球面上11．已知O为坐标原点，抛物线E:x2=4y的焦点为F，点A（异于O）在抛物线E上，AB⊥x轴于点B，曲线E在点A处的切线为l，且l与xA．C为OB的中点B．△ACF可能为锐角三角形C．若∠CAF≤45°D．若l与圆心在y轴上的圆D相切于点A，且∠DAF=60°三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知随机事件A和B，其中P(A)=P(B)=12,P(A∪B)=313．若f(x)是奇函数，当x∈(0,+∞)时，f(x)=log314．融合科技和娱乐的无人机群表演深受人们欢迎．现有n架无人机A1,A2,⋯,Ann≥3依次围成一个圆形飞行表演编队（A1,An相邻）．操控员需要对每架无人机发送两种编码：频段编码（0或1）和校验编码（四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csin（1）求C；（2）若D是AB边上一点，且BD=CD=2AD，求ba16．椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1,F2，过E外的点M(0,2)且斜率为（1）求E的方程；（2）O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为k1,k17．如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠BAA1=∠CA（1）证明：EF⊥平面ABC；（2）求平面A1EF与平面18．一个袋子中装有n个大小相同的小球，编号分别为1,2,3,⋯,n，且n≥3,n∈N∗．进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出k个球，记所取球的编号组成的集合为M．第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出k个球，记所取球的编号组成的集合为N．设随机变量X表示（1）若n=4,k=2，求X的分布列；（2）若k=3，且P(X=2)=920，求（3）求X的方差D(X)（结果用k，n表示），并探究k，n具有怎样的关系时，D(X)最大？19．已知函数f(x)=2（1）证明：当a≥−32时，（2）若f(x)存在两个极大值点x1（i）当0是f(x)的极小值点时，证明：fx（ii）当x1=0时，是否存在a，使得fx

答案解析部分1．【答案】A【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；共轭复数【解析】【解答】对于复数z=1+i，其共轭复数为z=1−i，故z⋅z=1+i1−i2．【答案】C【知识点】交集及其运算【解析】【解答】由A=−1,0,1,2，B=xx<2=x|0≤x<4，则3．【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】由题可知a>0,b>0，若a+b=2，则a+b≥2ab，

当且仅当“a=b”时取“=”，则2ab≤2⇒ab≤1；

若取a=12，b=1，满足ab≤1，但a+b=1+12=32≠2，

故“4．【答案】D【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算【解析】【解答】由a⃗+b⃗=(−2,1),a⃗−b5．【答案】A【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用【解析】【解答】每一个工人都有4种选择方法，故5名工人不同方法的种数有45种.

【分析】通过题意可知，这5名工人都有4种选择方法进行休息，再根据分步计数原理即可求出这5名工人不同选择方法即可得到答案．6．【答案】B【知识点】等比数列的通项公式【解析】【解答】由题意可得q≠1，a5−a1=a1q4−1=15，a4−a2=a1q3−q当q=2时，则a1=1524−1=1【分析】利用等比数列的基本量分别用a1和q表示出a5，a4，a2结合两个式子求出q，但需要利用a1正负进行取舍确定出答案.7．【答案】C【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为双曲线C的焦点在y轴上，且其中一条渐近线方程为x+2y=0，所以−ab=−12，即ba=28．【答案】D【知识点】数列的求和；正弦函数的性质；余弦函数的性质【解析】【解答】f(x)=sin2x−cosx−π2=2sinx所以x=kπ,k∈N∗或x=π+2kπ±2π3,k∈N，

所以数列xn的前8项和为S8=【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简函数，然后利用f（x）=0直接求出相对应的零点，再进行求前8项和即可得到答案.9．【答案】A,B,D【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数【解析】【解答】A、9分人数为10人，是已知各分数段中最多，由于5分（设为x人）与6分（设为y人）总人数为8人（x+y=8），任一分数人数最多为8，不可能超过10，因此众数必为9，A符合题意；B、最低分为5分，最高分为10分，极差为10−5=5，B符合题意；C、总人数40，第30百分位数位置为0.3×40=12，即取第12和第13个数据的平均值，前8个数据为5分或6分，第9至16个数据均为7分→第12、13个数据均为7→第30百分位数为7，C不符合题意；D.中位数：第20、21个数据位于8分区间（前16个为5/6/7分，第17–23为8分）→中位数为8，平均数计算：x=5x+6(8−x)+7×8+8×7+9×10+10×740=8−x40，因x≥1，故10．【答案】A,C,D【知识点】异面直线的判定；球内接多面体；直线与平面平行的判定【解析】【解答】A、因为E,M分别是AB,C1D1的中点，所以BE//C1M又N,F分别是CC1,BC的中点，所以FN//BC1，所以FN//EM且2FN=EM，所以MN,EF共面且不平行，记其交点为W，易知W是平面ABCD和平面DCC1D1的公共点，所以点WB、易知GM//B1C1//HNC、H,F分别是BB1,BC的中点，所以HF//B1C，又B1C⊄平面HEF，HF⊂平面HEF，所以B1C//平面HEF，同理可证，AC//平面HEF，又AC,B1C是平面ACD、由正方体的几何特征可知，正方体的中心（体对角线的交点）到各棱中点的距离相等，所以E，F，G，H，M，N在以正方体的中心为球心与各棱相切的球上，D符合题意.

故答案为：ACD【分析】平面公理先判断MN,EF共面情况，再判断CD与MN,EF的关系即可判断出A；根据两组对边平行证明GHNM为平行四边形判断B；先证明面面平行即可判断C；根据正方体的特征，正方体的中心（体对角线的交点）到各棱中点的距离相等，即可判断D.11．【答案】A,C,D【知识点】导数的几何意义；抛物线的简单性质；圆锥曲线的综合【解析】【解答】A、设Ax0,14x02，由于y=14x令y=0，则x=12x0，故C1B、由于C12x0,0，F0,1,Ax0C、若∠CAF≤45°，则CFCA≤1，因此CF≤CA⇒−1D、直线AD:y=−2x0x−x0+14x02，令x=0，则y=2+14x02，故D

故答案为：ACD【分析】首先设Ax0,1412．【答案】1【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式【解析】【解答】由概率的加法公式：PA∪B=PA+PB−PAB，代入已知条件得：34=113．【答案】−2【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则【解析】【解答】由于f(3)=log33=2，且f(x)是奇函数，故f(−3)=−f3=−214．【答案】28；3【知识点】数列的递推公式；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用【解析】【解答】无人机端接收频段编码和校验编码有四种不同编码情况，分别为0,T,如图所示，当有3架无人机时，若A1,A3编码相同时，有4×1×3=12种不同方法；若A1,A3编码不同时，有4×2×2=16种不同方法，则a3考虑线性排列：第一架有4种选择，之后每架有3种选择（与前一架兼容），故线性排列数为4⋅3n−1．对于环形排列，需首尾兼容，利用对称性，固定第一架为某状态，设xn表示从该状态出发经过n由递推可得xn+1=xn−1+2⋅3n−1，初始

故答案为：28；399【分析】根据题意进行分析：A1,A3编码相以及A1,A15．【答案】（1）由正弦定理得sinC由于B∈0,π，所以sin所以sinC=cosC−整理得tanC=又C∈0,π，所以C=（2）因为BD=CD=2AD，所以BD=CD=23c在△ACD中，由余弦定理得，cos∠CDA=在△BCD中，由余弦定理得，cos∠CDB=因为∠CDA+∠CDB=π，所以cos∠CDA+即5c2−9在△ABC中，由余弦定理得c2所以12a2【知识点】两角和与差的余弦公式；解三角形；正弦定理的应用【解析】【分析】（1）利用边化角将csinB=bcosC−π（2）在△ACD和△BCD中利用余弦定理得cos∠CDA=5c2−9b24c2，（1）由正弦定理得sinC由于B∈0,π，所以sin所以sinC=cosC−整理得tanC=又C∈0,π，所以C=（2）因为BD=CD=2AD，所以BD=CD=23c在△ACD中，由余弦定理得，cos∠CDA=在△BCD中，由余弦定理得，cos∠CDB=因为∠CDA+∠CDB=π，所以cos∠CDA+即5c2−9在△ABC中，由余弦定理得c2所以12a216．【答案】（1）解：由椭圆的定义得△ABF2的周长为AF设焦距为2c,(c>0)，则F1(−c,0),F则cosM因为cos∠AMF2=1则b2=a2−（2）证明：设A(x1,由题意，得直线l的方程为y=kx+2，联立x24+则x1所以k=2k即k1+k2+2k=0【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）首先根据题目中的条件进行作图，然后通过做的图，结合椭圆的定义，可以列方程进行可得出a值，然后再根据向量求夹角公式及条件，可得c值，最后根据a,b,c的关系，可得b2（2）由题意可知，首先设A(x1,y1),B(x2,y2)，可表示直线OA，OB的斜率分别为（1）由椭圆的定义得△ABF2的周长为AF设焦距为2c,(c>0)，则F1(−c,0),F则cosM因为cos∠AMF2=1则b2=a2−（2）略17．【答案】（1）以E为坐标原点，所在平面ABC为xOy平面，建立空间直角坐标系.由题意可取E(0,0,0),B(−1,0,0),C(1,0,0),A(0,3设AA因为AA1=1又AB=(−1,−由∠BAA1=60∘同理，由∠CAA1=60∘由(2)，(3)联立可得x=0,y=−1代入(1)，得z2因为A1在平面ABC的上方，所以z=故AA于是A1因为F为上底面△A1B所以EF=(0,0,而平面ABC的方程为z=0，其一个法向量为(0,0,1).因此EF//(0,0,1)，从而EF⊥（2）由点的坐标可知，平面A1EF上各点的x坐标都为0，故平面A1又EA故平面A1C1于是两平面的夹角θ满足cosθ=|故平面A1EF与平面A1【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量研究二面角【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系求解，以E为原点，先求出点A,A（2）分别先求平面A1EF与平面（1）略（2）由点的坐标可知，平面A1EF上各点的x坐标都为0，故平面A1又EA故平面A1C1于是两平面的夹角θ满足cosθ=|故平面A1EF与平面A118．【答案】（1）X的分布列为：X表示M∩N的元素个数，可能取值为0,1,2，总取法为C4X=0表示两次取的球无公共元素，取法为C42⋅X=1表示两次取的球恰有1个公共元素，取法为C41⋅X=2表示两次取的球完全相同，取法为C42=6X的分布列为：X012P121（2）由已知，X=i表示第二次从n个球中取出3个球，其中恰有两个球的编号属于M，PX=i代入i=2，则PX=2化简得n3因式分解得(n−6)(n2+3n−20)=0，结合n≥3（3）由题，X=0,1,2,3则随机变量X服从超几何分布，则D==n固定时，D(X)的大小由k(n−k)决定，k(n−k)=−k2+nk当n为偶数时，k=n2​时当n为奇数时，k=n−12或k=n+1【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）首先确定X的所有可能取值，通过分析以及结合组合数计算每个取值对应的概率，然后即可列出X的分布列；（2）由题意可知，根据交集元素个数为2的概率公式列关于n的方程，需要解一元三次方程，然后求解符合条件n≥3的正整数即可；（3）首先判断X是服从超几何分布，代入超几何分布的方差公式得到D(X)的表达式，通过讨论n的奇偶进行分析D(X)取最大值的条件.（1）X表示M∩N的元素个数，可能取值为0,1,2，总取法为C4X=0表示两次取的球无公共元素，取法为C42⋅X=1表示两次取的球恰有1个公共元素，取法为C41⋅X=2表示两次取的球完全相同，取法为C42=6X的分布列为：X012P121（2）由已知，X=i表示第二次从n个球中取出3个球，其中恰有两个球的编号属于M，PX=i代入i=2，则PX=2化简得n3因式分解得(n−6)(n2+3n−20)=0，结合n≥3（3）由题，X=0,1,2,3则随机变量X服从超几何分布，则D==n固定时，D(X)的大小由k(n−k)决定，k(n−k)=−k2+nk当n为偶数时，k=n2​时当n为奇数时，k=n−12或k=n+119．【答案】（1）证明：∵f(x)−f(1)=(2x由于a≥−32，x∈−1,0令g(x)=(2x要证x∈(−1,0)，f(x)<f(1)，只需证：g(x)<0，g'x=g″(x)=4ln(x+1)−3x2g′′′(x)=−3x2−2x+4(x+1)∴g″(x)在(−1,0)上单调递增，∴g'(x)在−1,0上单调递减，∴g(x)在−1,0上单调递增，g(x)<g(0)=1−2ln∴当a≥−32时，x∈(−1,0)，（